Theorem ltletrd 8209

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltadd2d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd2d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltletrd.4	|- ( ph -> A < B )
ltletrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltletrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltadd2d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltadd2d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		ltadd2d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		ltletr 7877	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1217	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 430	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   RRcr 7643   < clt 7824   <_ cle 7825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltwlin 7757

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830

This theorem is referenced by:  lelttrdi  8212  lediv12a  8676  btwnapz  9205  rpgecl  9499  fznatpl1  9887  elfz1b  9901  exbtwnzlemstep  10056  ceiqle  10117  modqabs  10161  mulp1mod1  10169  seq3f1olemqsumk  10303  expgt1  10362  leexp2a  10377  bernneq3  10445  expnbnd  10446  nn0opthlem2d  10499  cvg1nlemres  10789  resqrexlemlo  10817  resqrexlemnmsq  10821  resqrexlemga  10827  abssubap0  10894  icodiamlt  10984  rpmaxcl  11027  reccn2ap  11114  divcnv  11298  cvgratnnlembern  11324  cvgratnnlemabsle  11328  efcllemp  11401  sin01bnd  11500  cos01bnd  11501  sin01gt0  11504  cos12dec  11510  eirraplem  11519  dvdslelemd  11577  dvdsbnd  11681  znnen  11947  cnopnap  12802  dedekindeulemlu  12807  suplociccreex  12810  dedekindicclemlu  12816  dedekindicc  12819  ivthinclemlopn  12822  limcimolemlt  12841  limccnp2lem  12853  coseq00topi  12964  cosordlem  12978  logdivlti  13010