Theorem ltletrd 8299

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltadd2d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd2d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltletrd.4	|- ( ph -> A < B )
ltletrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltletrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltadd2d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltadd2d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		ltadd2d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		ltletr 7967	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1220	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 430	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   class class class wbr 3966   RRcr 7732   < clt 7913   <_ cle 7914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-pre-ltwlin 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-br 3967  df-opab 4027  df-xp 4593  df-cnv 4595  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919

This theorem is referenced by:  lelttrdi  8302  lediv12a  8766  btwnapz  9295  rpgecl  9590  fznatpl1  9979  elfz1b  9993  exbtwnzlemstep  10151  ceiqle  10216  modqabs  10260  mulp1mod1  10268  seq3f1olemqsumk  10402  expgt1  10461  leexp2a  10476  bernneq3  10544  expnbnd  10545  nn0opthlem2d  10599  cvg1nlemres  10889  resqrexlemlo  10917  resqrexlemnmsq  10921  resqrexlemga  10927  abssubap0  10994  icodiamlt  11084  rpmaxcl  11127  reccn2ap  11214  divcnv  11398  cvgratnnlembern  11424  cvgratnnlemabsle  11428  fprodntrivap  11485  efcllemp  11559  sin01bnd  11658  cos01bnd  11659  sin01gt0  11662  cos12dec  11668  eirraplem  11677  dvdslelemd  11739  dvdsbnd  11844  znnen  12169  nninfdclemp1  12223  cnopnap  13036  dedekindeulemlu  13041  suplociccreex  13044  dedekindicclemlu  13050  dedekindicc  13053  ivthinclemlopn  13056  limcimolemlt  13075  limccnp2lem  13087  coseq00topi  13198  cosordlem  13212  logdivlti  13244