Theorem ltletrd 8662

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltadd2d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd2d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltletrd.4	|- ( ph -> A < B )
ltletrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltletrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltadd2d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltadd2d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		ltadd2d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		ltletr 8328	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8091   < clt 8273   <_ cle 8274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-pre-ltwlin 8205

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279

This theorem is referenced by:  lelttrdi  8665  lediv12a  9133  btwnapz  9671  rpgecl  9978  fznatpl1  10373  elfz1b  10387  exbtwnzlemstep  10570  ceiqle  10638  modqabs  10682  mulp1mod1  10690  seq3f1olemqsumk  10837  seqf1oglem1  10844  expgt1  10902  leexp2a  10917  bernneq3  10987  expnbnd  10988  nn0opthlem2d  11046  cvg1nlemres  11625  resqrexlemlo  11653  resqrexlemnmsq  11657  resqrexlemga  11663  abssubap0  11730  icodiamlt  11820  rpmaxcl  11863  reccn2ap  11953  divcnv  12138  cvgratnnlembern  12164  cvgratnnlemabsle  12168  fprodntrivap  12225  efcllemp  12299  sin01bnd  12398  cos01bnd  12399  sin01gt0  12403  cos12dec  12409  eirraplem  12418  dvdslelemd  12484  bitsmod  12597  bitsinv1lem  12602  dvdsbnd  12607  isprm5  12794  1arith  13020  2expltfac  13092  znnen  13099  nninfdclemp1  13151  cnopnap  15422  dedekindeulemlu  15432  suplociccreex  15435  dedekindicclemlu  15441  dedekindicc  15444  ivthinclemlopn  15447  hoverb  15459  limcimolemlt  15475  limccnp2lem  15487  coseq00topi  15646  cosordlem  15660  logdivlti  15692  pellexlem2  15792  gausslemma2dlem0c  15870  lgsquadlem1  15896  clwwlkext2edg  16363