Theorem ltletrd 8603

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltadd2d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd2d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltletrd.4	|- ( ph -> A < B )
ltletrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltletrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltadd2d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltadd2d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		ltadd2d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		ltletr 8269	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1273	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   RRcr 8031   < clt 8214   <_ cle 8215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-ltwlin 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220

This theorem is referenced by:  lelttrdi  8606  lediv12a  9074  btwnapz  9610  rpgecl  9917  fznatpl1  10311  elfz1b  10325  exbtwnzlemstep  10508  ceiqle  10576  modqabs  10620  mulp1mod1  10628  seq3f1olemqsumk  10775  seqf1oglem1  10782  expgt1  10840  leexp2a  10855  bernneq3  10925  expnbnd  10926  nn0opthlem2d  10984  cvg1nlemres  11563  resqrexlemlo  11591  resqrexlemnmsq  11595  resqrexlemga  11601  abssubap0  11668  icodiamlt  11758  rpmaxcl  11801  reccn2ap  11891  divcnv  12076  cvgratnnlembern  12102  cvgratnnlemabsle  12106  fprodntrivap  12163  efcllemp  12237  sin01bnd  12336  cos01bnd  12337  sin01gt0  12341  cos12dec  12347  eirraplem  12356  dvdslelemd  12422  bitsmod  12535  bitsinv1lem  12540  dvdsbnd  12545  isprm5  12732  1arith  12958  2expltfac  13030  znnen  13037  nninfdclemp1  13089  cnopnap  15354  dedekindeulemlu  15364  suplociccreex  15367  dedekindicclemlu  15373  dedekindicc  15376  ivthinclemlopn  15379  hoverb  15391  limcimolemlt  15407  limccnp2lem  15419  coseq00topi  15578  cosordlem  15592  logdivlti  15624  gausslemma2dlem0c  15799  lgsquadlem1  15825  clwwlkext2edg  16292