Theorem ltletrd 8444

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltadd2d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd2d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltletrd.4	|- ( ph -> A < B )
ltletrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltletrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltadd2d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltadd2d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		ltadd2d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		ltletr 8111	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   RRcr 7873   < clt 8056   <_ cle 8057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltwlin 7987

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062

This theorem is referenced by:  lelttrdi  8447  lediv12a  8915  btwnapz  9450  rpgecl  9751  fznatpl1  10145  elfz1b  10159  exbtwnzlemstep  10319  ceiqle  10387  modqabs  10431  mulp1mod1  10439  seq3f1olemqsumk  10586  seqf1oglem1  10593  expgt1  10651  leexp2a  10666  bernneq3  10736  expnbnd  10737  nn0opthlem2d  10795  cvg1nlemres  11132  resqrexlemlo  11160  resqrexlemnmsq  11164  resqrexlemga  11170  abssubap0  11237  icodiamlt  11327  rpmaxcl  11370  reccn2ap  11459  divcnv  11643  cvgratnnlembern  11669  cvgratnnlemabsle  11673  fprodntrivap  11730  efcllemp  11804  sin01bnd  11903  cos01bnd  11904  sin01gt0  11908  cos12dec  11914  eirraplem  11923  dvdslelemd  11988  dvdsbnd  12096  isprm5  12283  1arith  12508  znnen  12558  nninfdclemp1  12610  cnopnap  14790  dedekindeulemlu  14800  suplociccreex  14803  dedekindicclemlu  14809  dedekindicc  14812  ivthinclemlopn  14815  hoverb  14827  limcimolemlt  14843  limccnp2lem  14855  coseq00topi  15011  cosordlem  15025  logdivlti  15057  gausslemma2dlem0c  15208  lgsquadlem1  15234