Theorem ltletrd 8752

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltadd2d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd2d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltletrd.4	|- ( ph -> A < B )
ltletrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltletrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltadd2d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltadd2d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		ltadd2d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		ltletr 8415	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 |- ( ph -> A < C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   < clt 8360   <_ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-pre-ltwlin 8292

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366

This theorem is used by:  lelttrdi  8755  lediv12a  9226  btwnapz  9780  rpgecl  10093  fznatpl1  10493  elfz1b  10507  exbtwnzlemstep  10692  ceiqle  10763  modqabs  10807  mulp1mod1  10815  seq3f1olemqsumk  10962  seqf1oglem1  10969  expgt1  11027  leexp2a  11042  bernneq3  11113  expnbnd  11114  nn0opthlem2d  11173  cvg1nlemres  11765  resqrexlemlo  11793  resqrexlemnmsq  11797  resqrexlemga  11803  abssubap0  11871  icodiamlt  11961  rpmaxcl  12004  reccn2ap  12095  divcnv  12280  cvgratnnlembern  12306  cvgratnnlemabsle  12310  fprodntrivap  12367  efcllemp  12441  sin01bnd  12540  cos01bnd  12541  sin01gt0  12545  cos12dec  12551  eirraplem  12560  dvdslelemd  12626  bitsmod  12739  bitsinv1lem  12744  dvdsbnd  12749  isprm5  12937  sqrtrirr  13005  1arith  13166  2expltfac  13239  znnen  13338  nninfdclemp1  13390  cnopnap  15761  dedekindeulemlu  15771  suplociccreex  15774  dedekindicclemlu  15780  dedekindicc  15783  ivthinclemlopn  15786  hoverb  15798  limcimolemlt  15814  limccnp2lem  15826  coseq00topi  15986  cosordlem  16000  logdivlti  16033  logdivlt  16046  logdivle  16047  birthdaylem3  16146  pellexlem2  16149  ppiqfi  16158  ppiqltx  16183  bpos1  16208  bposlem1  16209  bposlem2  16210  gausslemma2dlem0c  16268  lgsquadlem1  16294  clwwlkext2edg  16761