Theorem ltletrd 8531

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltadd2d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd2d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltletrd.4	|- ( ph -> A < B )
ltletrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltletrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltadd2d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltadd2d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		ltadd2d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		ltletr 8197	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   RRcr 7959   < clt 8142   <_ cle 8143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-ltwlin 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148

This theorem is referenced by:  lelttrdi  8534  lediv12a  9002  btwnapz  9538  rpgecl  9839  fznatpl1  10233  elfz1b  10247  exbtwnzlemstep  10427  ceiqle  10495  modqabs  10539  mulp1mod1  10547  seq3f1olemqsumk  10694  seqf1oglem1  10701  expgt1  10759  leexp2a  10774  bernneq3  10844  expnbnd  10845  nn0opthlem2d  10903  cvg1nlemres  11411  resqrexlemlo  11439  resqrexlemnmsq  11443  resqrexlemga  11449  abssubap0  11516  icodiamlt  11606  rpmaxcl  11649  reccn2ap  11739  divcnv  11923  cvgratnnlembern  11949  cvgratnnlemabsle  11953  fprodntrivap  12010  efcllemp  12084  sin01bnd  12183  cos01bnd  12184  sin01gt0  12188  cos12dec  12194  eirraplem  12203  dvdslelemd  12269  bitsmod  12382  bitsinv1lem  12387  dvdsbnd  12392  isprm5  12579  1arith  12805  2expltfac  12877  znnen  12884  nninfdclemp1  12936  cnopnap  15198  dedekindeulemlu  15208  suplociccreex  15211  dedekindicclemlu  15217  dedekindicc  15220  ivthinclemlopn  15223  hoverb  15235  limcimolemlt  15251  limccnp2lem  15263  coseq00topi  15422  cosordlem  15436  logdivlti  15468  gausslemma2dlem0c  15643  lgsquadlem1  15669