Theorem ltletrd 8467

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltadd2d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd2d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltletrd.4	|- ( ph -> A < B )
ltletrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltletrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltadd2d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltadd2d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		ltadd2d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		ltletr 8133	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   RRcr 7895   < clt 8078   <_ cle 8079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-pre-ltwlin 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084

This theorem is referenced by:  lelttrdi  8470  lediv12a  8938  btwnapz  9473  rpgecl  9774  fznatpl1  10168  elfz1b  10182  exbtwnzlemstep  10354  ceiqle  10422  modqabs  10466  mulp1mod1  10474  seq3f1olemqsumk  10621  seqf1oglem1  10628  expgt1  10686  leexp2a  10701  bernneq3  10771  expnbnd  10772  nn0opthlem2d  10830  cvg1nlemres  11167  resqrexlemlo  11195  resqrexlemnmsq  11199  resqrexlemga  11205  abssubap0  11272  icodiamlt  11362  rpmaxcl  11405  reccn2ap  11495  divcnv  11679  cvgratnnlembern  11705  cvgratnnlemabsle  11709  fprodntrivap  11766  efcllemp  11840  sin01bnd  11939  cos01bnd  11940  sin01gt0  11944  cos12dec  11950  eirraplem  11959  dvdslelemd  12025  bitsmod  12138  bitsinv1lem  12143  dvdsbnd  12148  isprm5  12335  1arith  12561  2expltfac  12633  znnen  12640  nninfdclemp1  12692  cnopnap  14931  dedekindeulemlu  14941  suplociccreex  14944  dedekindicclemlu  14950  dedekindicc  14953  ivthinclemlopn  14956  hoverb  14968  limcimolemlt  14984  limccnp2lem  14996  coseq00topi  15155  cosordlem  15169  logdivlti  15201  gausslemma2dlem0c  15376  lgsquadlem1  15402