Theorem ltletrd 8178

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltadd2d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd2d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltletrd.4	|- ( ph -> A < B )
ltletrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltletrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltadd2d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltadd2d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		ltadd2d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		ltletr 7846	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1216	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 429	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   RRcr 7612   < clt 7793   <_ cle 7794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltwlin 7726

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799

This theorem is referenced by:  lelttrdi  8181  lediv12a  8645  btwnapz  9174  rpgecl  9463  fznatpl1  9849  elfz1b  9863  exbtwnzlemstep  10018  ceiqle  10079  modqabs  10123  mulp1mod1  10131  seq3f1olemqsumk  10265  expgt1  10324  leexp2a  10339  bernneq3  10407  expnbnd  10408  nn0opthlem2d  10460  cvg1nlemres  10750  resqrexlemlo  10778  resqrexlemnmsq  10782  resqrexlemga  10788  abssubap0  10855  icodiamlt  10945  rpmaxcl  10988  reccn2ap  11075  divcnv  11259  cvgratnnlembern  11285  cvgratnnlemabsle  11289  efcllemp  11353  sin01bnd  11453  cos01bnd  11454  sin01gt0  11457  cos12dec  11463  eirraplem  11472  dvdslelemd  11530  dvdsbnd  11634  znnen  11900  cnopnap  12752  dedekindeulemlu  12757  suplociccreex  12760  dedekindicclemlu  12766  dedekindicc  12769  ivthinclemlopn  12772  limcimolemlt  12791  limccnp2lem  12803  coseq00topi  12905  cosordlem  12919