Theorem ltletrd 8496

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltadd2d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd2d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltletrd.4	|- ( ph -> A < B )
ltletrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltletrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltadd2d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltadd2d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		ltadd2d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		ltletr 8162	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   RRcr 7924   < clt 8107   <_ cle 8108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-pre-ltwlin 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113

This theorem is referenced by:  lelttrdi  8499  lediv12a  8967  btwnapz  9503  rpgecl  9804  fznatpl1  10198  elfz1b  10212  exbtwnzlemstep  10390  ceiqle  10458  modqabs  10502  mulp1mod1  10510  seq3f1olemqsumk  10657  seqf1oglem1  10664  expgt1  10722  leexp2a  10737  bernneq3  10807  expnbnd  10808  nn0opthlem2d  10866  cvg1nlemres  11296  resqrexlemlo  11324  resqrexlemnmsq  11328  resqrexlemga  11334  abssubap0  11401  icodiamlt  11491  rpmaxcl  11534  reccn2ap  11624  divcnv  11808  cvgratnnlembern  11834  cvgratnnlemabsle  11838  fprodntrivap  11895  efcllemp  11969  sin01bnd  12068  cos01bnd  12069  sin01gt0  12073  cos12dec  12079  eirraplem  12088  dvdslelemd  12154  bitsmod  12267  bitsinv1lem  12272  dvdsbnd  12277  isprm5  12464  1arith  12690  2expltfac  12762  znnen  12769  nninfdclemp1  12821  cnopnap  15083  dedekindeulemlu  15093  suplociccreex  15096  dedekindicclemlu  15102  dedekindicc  15105  ivthinclemlopn  15108  hoverb  15120  limcimolemlt  15136  limccnp2lem  15148  coseq00topi  15307  cosordlem  15321  logdivlti  15353  gausslemma2dlem0c  15528  lgsquadlem1  15554