Theorem ltletrd 8570

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltadd2d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd2d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltletrd.4	|- ( ph -> A < B )
ltletrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltletrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltadd2d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltadd2d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		ltadd2d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		ltletr 8236	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 7998   < clt 8181   <_ cle 8182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-pre-ltwlin 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187

This theorem is referenced by:  lelttrdi  8573  lediv12a  9041  btwnapz  9577  rpgecl  9878  fznatpl1  10272  elfz1b  10286  exbtwnzlemstep  10467  ceiqle  10535  modqabs  10579  mulp1mod1  10587  seq3f1olemqsumk  10734  seqf1oglem1  10741  expgt1  10799  leexp2a  10814  bernneq3  10884  expnbnd  10885  nn0opthlem2d  10943  cvg1nlemres  11496  resqrexlemlo  11524  resqrexlemnmsq  11528  resqrexlemga  11534  abssubap0  11601  icodiamlt  11691  rpmaxcl  11734  reccn2ap  11824  divcnv  12008  cvgratnnlembern  12034  cvgratnnlemabsle  12038  fprodntrivap  12095  efcllemp  12169  sin01bnd  12268  cos01bnd  12269  sin01gt0  12273  cos12dec  12279  eirraplem  12288  dvdslelemd  12354  bitsmod  12467  bitsinv1lem  12472  dvdsbnd  12477  isprm5  12664  1arith  12890  2expltfac  12962  znnen  12969  nninfdclemp1  13021  cnopnap  15285  dedekindeulemlu  15295  suplociccreex  15298  dedekindicclemlu  15304  dedekindicc  15307  ivthinclemlopn  15310  hoverb  15322  limcimolemlt  15338  limccnp2lem  15350  coseq00topi  15509  cosordlem  15523  logdivlti  15555  gausslemma2dlem0c  15730  lgsquadlem1  15756