Theorem ltletrd 8498

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltadd2d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltadd2d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd2d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltletrd.4	|- ( ph -> A < B )
ltletrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	|- ( ph -> A < C )

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		ltletrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltadd2d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltadd2d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		ltadd2d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		ltletr 8164	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B <_ C ) -> A < C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A < C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   RRcr 7926   < clt 8109   <_ cle 8110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-pre-ltwlin 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-cnv 4684  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115

This theorem is referenced by:  lelttrdi  8501  lediv12a  8969  btwnapz  9505  rpgecl  9806  fznatpl1  10200  elfz1b  10214  exbtwnzlemstep  10392  ceiqle  10460  modqabs  10504  mulp1mod1  10512  seq3f1olemqsumk  10659  seqf1oglem1  10666  expgt1  10724  leexp2a  10739  bernneq3  10809  expnbnd  10810  nn0opthlem2d  10868  cvg1nlemres  11329  resqrexlemlo  11357  resqrexlemnmsq  11361  resqrexlemga  11367  abssubap0  11434  icodiamlt  11524  rpmaxcl  11567  reccn2ap  11657  divcnv  11841  cvgratnnlembern  11867  cvgratnnlemabsle  11871  fprodntrivap  11928  efcllemp  12002  sin01bnd  12101  cos01bnd  12102  sin01gt0  12106  cos12dec  12112  eirraplem  12121  dvdslelemd  12187  bitsmod  12300  bitsinv1lem  12305  dvdsbnd  12310  isprm5  12497  1arith  12723  2expltfac  12795  znnen  12802  nninfdclemp1  12854  cnopnap  15116  dedekindeulemlu  15126  suplociccreex  15129  dedekindicclemlu  15135  dedekindicc  15138  ivthinclemlopn  15141  hoverb  15153  limcimolemlt  15169  limccnp2lem  15181  coseq00topi  15340  cosordlem  15354  logdivlti  15386  gausslemma2dlem0c  15561  lgsquadlem1  15587