ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpgecl GIF version

Theorem rpgecl 9497
Description: A number greater or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rpgecl ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpgecl
StepHypRef Expression
1 simp2 983 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 0red 7789 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 0 ∈ ℝ)
3 rpre 9475 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
433ad2ant1 1003 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 rpgt0 9480 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
653ad2ant1 1003 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 0 < 𝐴)
7 simp3 984 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
82, 4, 1, 6, 7ltletrd 8207 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 0 < 𝐵)
9 elrp 9470 . 2 (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
101, 8, 9sylanbrc 414 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 963  wcel 1481   class class class wbr 3935  cr 7641  0cc0 7642   < clt 7822  cle 7823  +crp 9468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1re 7736  ax-addrcl 7739  ax-rnegex 7751  ax-pre-ltwlin 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-br 3936  df-opab 3996  df-xp 4551  df-cnv 4553  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-ltxr 7827  df-le 7828  df-rp 9469
This theorem is referenced by:  divge1  9538  rpgecld  9551  logge0  13002
  Copyright terms: Public domain W3C validator