ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpgecl GIF version

Theorem rpgecl 9656
Description: A number greater or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rpgecl ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpgecl
StepHypRef Expression
1 simp2 998 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 0red 7936 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 0 ∈ ℝ)
3 rpre 9634 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
433ad2ant1 1018 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 rpgt0 9639 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
653ad2ant1 1018 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 0 < 𝐴)
7 simp3 999 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
82, 4, 1, 6, 7ltletrd 8357 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 0 < 𝐵)
9 elrp 9629 . 2 (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
101, 8, 9sylanbrc 417 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 978  wcel 2148   class class class wbr 4000  cr 7788  0cc0 7789   < clt 7969  cle 7970  +crp 9627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886  ax-rnegex 7898  ax-pre-ltwlin 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4628  df-cnv 4630  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-rp 9628
This theorem is referenced by:  divge1  9697  rpgecld  9710  logge0  13934
  Copyright terms: Public domain W3C validator