Theorem rpre 10011

Description: A positive real is a real. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpre	|- ( A e. RR+ -> A e. RR )

Proof of Theorem rpre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rp 10005	. . 3 |- RR+ = { x e. RR | 0 < x }
2		ssrab2 3327	. . 3 |- { x e. RR | 0 < x } C_ RR
3	1, 2	eqsstri 3274	. 2 |- RR+ C_ RR
4	3	sseli 3238	1 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   {crab 2526   class class class wbr 4114   RRcr 8142   0cc0 8143   < clt 8324   RR+crp 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rab 2531  df-in 3220  df-ss 3227  df-rp 10005

This theorem is referenced by:  rpxr  10012  rpcn  10013  rpssre  10015  rpge0  10017  rprege0  10019  rpap0  10021  rprene0  10022  rpreap0  10023  rpaddcl  10028  rpmulcl  10029  rpdivcl  10030  rpgecl  10033  ledivge1le  10077  addlelt  10119  iccdil  10350  expnlbnd  11051  caucvgre  11691  rennim  11712  rpsqrtcl  11751  qdenre  11912  rpmaxcl  11933  rpmincl  11948  xrminrpcl  11984  2clim  12011  cn1lem  12024  climsqz  12045  climsqz2  12046  climcau  12057  efgt1  12408  ef01bndlem  12467  sinltxirr  12472  bdmet  15493  bdmopn  15495  dveflem  15717  reeff1o  15764  logleb  15866  logrpap0b  15867  cxple3  15912  rpcxpsqrt  15913  rpcxpsqrtth  15921  dceqnconst  16972  dcapnconst  16973