ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sefvex Unicode version

Theorem sefvex 5555
Description: If a function is set-like, then the function value exists if the input does. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
sefvex  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( F `  A )  e.  _V )

Proof of Theorem sefvex
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2755 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
21a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V  /\  A F x )  ->  x  e.  _V )
3 simp3 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V  /\  A F x )  ->  A F x )
4 simp2 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V  /\  A F x )  ->  A  e.  _V )
5 brcnvg 4826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x `' F A 
<->  A F x ) )
61, 4, 5sylancr 414 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V  /\  A F x )  ->  (
x `' F A  <-> 
A F x ) )
73, 6mpbird 167 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V  /\  A F x )  ->  x `' F A )
8 breq1 4021 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
y `' F A  <-> 
x `' F A ) )
98elrab 2908 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { y  e. 
_V  |  y `' F A }  <->  ( x  e.  _V  /\  x `' F A ) )
102, 7, 9sylanbrc 417 . . . . . 6  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V  /\  A F x )  ->  x  e.  { y  e.  _V  |  y `' F A } )
11 elssuni 3852 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e. 
_V  |  y `' F A }  ->  x 
C_  U. { y  e. 
_V  |  y `' F A } )
1210, 11syl 14 . . . . 5  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V  /\  A F x )  ->  x  C_ 
U. { y  e. 
_V  |  y `' F A } )
13123expia 1207 . . . 4  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( A F x  ->  x  C_ 
U. { y  e. 
_V  |  y `' F A } ) )
1413alrimiv 1885 . . 3  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A. x
( A F x  ->  x  C_  U. {
y  e.  _V  | 
y `' F A } ) )
15 fvss 5548 . . 3  |-  ( A. x ( A F x  ->  x  C_  U. {
y  e.  _V  | 
y `' F A } )  ->  ( F `  A )  C_ 
U. { y  e. 
_V  |  y `' F A } )
1614, 15syl 14 . 2  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( F `  A )  C_ 
U. { y  e. 
_V  |  y `' F A } )
17 seex 4353 . . 3  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V )  ->  { y  e.  _V  |  y `' F A }  e.  _V )
18 uniexg 4457 . . 3  |-  ( { y  e.  _V  | 
y `' F A }  e.  _V  ->  U. { y  e.  _V  |  y `' F A }  e.  _V )
1917, 18syl 14 . 2  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V )  ->  U. {
y  e.  _V  | 
y `' F A }  e.  _V )
20 ssexg 4157 . 2  |-  ( ( ( F `  A
)  C_  U. { y  e.  _V  |  y `' F A }  /\  U. { y  e.  _V  |  y `' F A }  e.  _V )  ->  ( F `  A )  e.  _V )
2116, 19, 20syl2anc 411 1  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( F `  A )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980   A.wal 1362    e. wcel 2160   {crab 2472   _Vcvv 2752    C_ wss 3144   U.cuni 3824   class class class wbr 4018   Se wse 4347   `'ccnv 4643   ` cfv 5235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-se 4351  df-cnv 4652  df-iota 5196  df-fv 5243
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator