ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sefvex Unicode version

Theorem sefvex 5408
Description: If a function is set-like, then the function value exists if the input does. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
sefvex  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( F `  A )  e.  _V )

Proof of Theorem sefvex
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2661 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
21a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V  /\  A F x )  ->  x  e.  _V )
3 simp3 966 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V  /\  A F x )  ->  A F x )
4 simp2 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V  /\  A F x )  ->  A  e.  _V )
5 brcnvg 4688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x `' F A 
<->  A F x ) )
61, 4, 5sylancr 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V  /\  A F x )  ->  (
x `' F A  <-> 
A F x ) )
73, 6mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V  /\  A F x )  ->  x `' F A )
8 breq1 3900 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
y `' F A  <-> 
x `' F A ) )
98elrab 2811 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { y  e. 
_V  |  y `' F A }  <->  ( x  e.  _V  /\  x `' F A ) )
102, 7, 9sylanbrc 411 . . . . . 6  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V  /\  A F x )  ->  x  e.  { y  e.  _V  |  y `' F A } )
11 elssuni 3732 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e. 
_V  |  y `' F A }  ->  x 
C_  U. { y  e. 
_V  |  y `' F A } )
1210, 11syl 14 . . . . 5  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V  /\  A F x )  ->  x  C_ 
U. { y  e. 
_V  |  y `' F A } )
13123expia 1166 . . . 4  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( A F x  ->  x  C_ 
U. { y  e. 
_V  |  y `' F A } ) )
1413alrimiv 1828 . . 3  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V )  ->  A. x
( A F x  ->  x  C_  U. {
y  e.  _V  | 
y `' F A } ) )
15 fvss 5401 . . 3  |-  ( A. x ( A F x  ->  x  C_  U. {
y  e.  _V  | 
y `' F A } )  ->  ( F `  A )  C_ 
U. { y  e. 
_V  |  y `' F A } )
1614, 15syl 14 . 2  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( F `  A )  C_ 
U. { y  e. 
_V  |  y `' F A } )
17 seex 4225 . . 3  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V )  ->  { y  e.  _V  |  y `' F A }  e.  _V )
18 uniexg 4329 . . 3  |-  ( { y  e.  _V  | 
y `' F A }  e.  _V  ->  U. { y  e.  _V  |  y `' F A }  e.  _V )
1917, 18syl 14 . 2  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V )  ->  U. {
y  e.  _V  | 
y `' F A }  e.  _V )
20 ssexg 4035 . 2  |-  ( ( ( F `  A
)  C_  U. { y  e.  _V  |  y `' F A }  /\  U. { y  e.  _V  |  y `' F A }  e.  _V )  ->  ( F `  A )  e.  _V )
2116, 19, 20syl2anc 406 1  |-  ( ( `' F Se  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( F `  A )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945   A.wal 1312    e. wcel 1463   {crab 2395   _Vcvv 2658    C_ wss 3039   U.cuni 3704   class class class wbr 3897   Se wse 4219   `'ccnv 4506   ` cfv 5091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-se 4223  df-cnv 4515  df-iota 5056  df-fv 5099
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator