Theorem sefvex 5647

Description: If a function is set-like, then the function value exists if the input does. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sefvex	|- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem sefvex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2802	. . . . . . . 8 |- x e. _V
2	1	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x e. _V )
3		simp3 1023	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> A F x )
4		simp2 1022	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> A e. _V )
5		brcnvg 4902	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ A e. _V ) -> ( x `' F A <-> A F x ) )
6	1, 4, 5	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> ( x `' F A <-> A F x ) )
7	3, 6	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x `' F A )
8		breq1 4085	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( y `' F A <-> x `' F A ) )
9	8	elrab 2959	. . . . . . 7 |- ( x e. { y e. _V | y `' F A } <-> ( x e. _V /\ x `' F A ) )
10	2, 7, 9	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x e. { y e. _V | y `' F A } )
11		elssuni 3915	. . . . . 6 |- ( x e. { y e. _V | y `' F A } -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
13	12	3expia 1229	. . . 4 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( A F x -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } ) )
14	13	alrimiv 1920	. . 3 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> A. x ( A F x -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } ) )
15		fvss 5640	. . 3 |- ( A. x ( A F x -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } ) -> ( F ` A ) C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( F ` A ) C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
17		seex 4425	. . 3 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> { y e. _V | y `' F A } e. _V )
18		uniexg 4529	. . 3 |- ( { y e. _V | y `' F A } e. _V -> U. { y e. _V | y `' F A } e. _V )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> U. { y e. _V | y `' F A } e. _V )
20		ssexg 4222	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. { y e. _V | y `' F A } /\ U. { y e. _V | y `' F A } e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
21	16, 19, 20	syl2anc 411	1 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   A.wal 1393   e. wcel 2200   {crab 2512   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   U.cuni 3887   class class class wbr 4082   Se wse 4419   `'ccnv 4717   ` cfv 5317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-se 4423  df-cnv 4726  df-iota 5277  df-fv 5325

This theorem is referenced by: (None)