Theorem sefvex 5615

Description: If a function is set-like, then the function value exists if the input does. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sefvex	|- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem sefvex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2776	. . . . . . . 8 |- x e. _V
2	1	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x e. _V )
3		simp3 1002	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> A F x )
4		simp2 1001	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> A e. _V )
5		brcnvg 4872	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ A e. _V ) -> ( x `' F A <-> A F x ) )
6	1, 4, 5	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> ( x `' F A <-> A F x ) )
7	3, 6	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x `' F A )
8		breq1 4057	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( y `' F A <-> x `' F A ) )
9	8	elrab 2933	. . . . . . 7 |- ( x e. { y e. _V | y `' F A } <-> ( x e. _V /\ x `' F A ) )
10	2, 7, 9	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x e. { y e. _V | y `' F A } )
11		elssuni 3887	. . . . . 6 |- ( x e. { y e. _V | y `' F A } -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
13	12	3expia 1208	. . . 4 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( A F x -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } ) )
14	13	alrimiv 1898	. . 3 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> A. x ( A F x -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } ) )
15		fvss 5608	. . 3 |- ( A. x ( A F x -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } ) -> ( F ` A ) C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( F ` A ) C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
17		seex 4395	. . 3 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> { y e. _V | y `' F A } e. _V )
18		uniexg 4499	. . 3 |- ( { y e. _V | y `' F A } e. _V -> U. { y e. _V | y `' F A } e. _V )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> U. { y e. _V | y `' F A } e. _V )
20		ssexg 4194	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. { y e. _V | y `' F A } /\ U. { y e. _V | y `' F A } e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
21	16, 19, 20	syl2anc 411	1 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   A.wal 1371   e. wcel 2177   {crab 2489   _Vcvv 2773   C_ wss 3170   U.cuni 3859   class class class wbr 4054   Se wse 4389   `'ccnv 4687   ` cfv 5285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-se 4393  df-cnv 4696  df-iota 5246  df-fv 5293

This theorem is referenced by: (None)