Theorem sefvex 5596

Description: If a function is set-like, then the function value exists if the input does. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sefvex	|- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem sefvex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2774	. . . . . . . 8 |- x e. _V
2	1	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x e. _V )
3		simp3 1001	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> A F x )
4		simp2 1000	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> A e. _V )
5		brcnvg 4858	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ A e. _V ) -> ( x `' F A <-> A F x ) )
6	1, 4, 5	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> ( x `' F A <-> A F x ) )
7	3, 6	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x `' F A )
8		breq1 4046	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( y `' F A <-> x `' F A ) )
9	8	elrab 2928	. . . . . . 7 |- ( x e. { y e. _V | y `' F A } <-> ( x e. _V /\ x `' F A ) )
10	2, 7, 9	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x e. { y e. _V | y `' F A } )
11		elssuni 3877	. . . . . 6 |- ( x e. { y e. _V | y `' F A } -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
13	12	3expia 1207	. . . 4 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( A F x -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } ) )
14	13	alrimiv 1896	. . 3 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> A. x ( A F x -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } ) )
15		fvss 5589	. . 3 |- ( A. x ( A F x -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } ) -> ( F ` A ) C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( F ` A ) C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
17		seex 4381	. . 3 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> { y e. _V | y `' F A } e. _V )
18		uniexg 4485	. . 3 |- ( { y e. _V | y `' F A } e. _V -> U. { y e. _V | y `' F A } e. _V )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> U. { y e. _V | y `' F A } e. _V )
20		ssexg 4182	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. { y e. _V | y `' F A } /\ U. { y e. _V | y `' F A } e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
21	16, 19, 20	syl2anc 411	1 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   A.wal 1370   e. wcel 2175   {crab 2487   _Vcvv 2771   C_ wss 3165   U.cuni 3849   class class class wbr 4043   Se wse 4375   `'ccnv 4673   ` cfv 5270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-se 4379  df-cnv 4682  df-iota 5231  df-fv 5278

This theorem is referenced by: (None)