ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sefvex GIF version

Theorem sefvex 5555
Description: If a function is set-like, then the function value exists if the input does. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
sefvex ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem sefvex
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2755 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
21a1i 9 . . . . . . 7 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ∈ V)
3 simp3 1001 . . . . . . . 8 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝐴𝐹𝑥)
4 simp2 1000 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝐴 ∈ V)
5 brcnvg 4826 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥𝐹𝐴𝐴𝐹𝑥))
61, 4, 5sylancr 414 . . . . . . . 8 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → (𝑥𝐹𝐴𝐴𝐹𝑥))
73, 6mpbird 167 . . . . . . 7 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥𝐹𝐴)
8 breq1 4021 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐹𝐴𝑥𝐹𝐴))
98elrab 2908 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥𝐹𝐴))
102, 7, 9sylanbrc 417 . . . . . 6 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴})
11 elssuni 3852 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} → 𝑥 {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴})
1210, 11syl 14 . . . . 5 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴})
13123expia 1207 . . . 4 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴𝐹𝑥𝑥 {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴}))
1413alrimiv 1885 . . 3 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑥(𝐴𝐹𝑥𝑥 {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴}))
15 fvss 5548 . . 3 (∀𝑥(𝐴𝐹𝑥𝑥 {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴}) → (𝐹𝐴) ⊆ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴})
1614, 15syl 14 . 2 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹𝐴) ⊆ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴})
17 seex 4353 . . 3 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∈ V)
18 uniexg 4457 . . 3 ({𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∈ V → {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∈ V)
1917, 18syl 14 . 2 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∈ V)
20 ssexg 4157 . 2 (((𝐹𝐴) ⊆ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∧ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∈ V) → (𝐹𝐴) ∈ V)
2116, 19, 20syl2anc 411 1 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹𝐴) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980  wal 1362  wcel 2160  {crab 2472  Vcvv 2752  wss 3144   cuni 3824   class class class wbr 4018   Se wse 4347  ccnv 4643  cfv 5235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-se 4351  df-cnv 4652  df-iota 5196  df-fv 5243
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator