Theorem sefvex 5374

Description: If a function is set-like, then the function value exists if the input does. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sefvex	⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem sefvex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2644	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ∈ V)
3		simp3 951	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝐴𝐹𝑥)
4		simp2 950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝐴 ∈ V)
5		brcnvg 4658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥◡𝐹𝐴 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
6	1, 4, 5	sylancr 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → (𝑥◡𝐹𝐴 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
7	3, 6	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥◡𝐹𝐴)
8		breq1 3878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦◡𝐹𝐴 ↔ 𝑥◡𝐹𝐴))
9	8	elrab 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥◡𝐹𝐴))
10	2, 7, 9	sylanbrc 411	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
11		elssuni 3711	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
13	12	3expia 1151	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴𝐹𝑥 → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴}))
14	13	alrimiv 1813	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑥(𝐴𝐹𝑥 → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴}))
15		fvss 5367	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝐴𝐹𝑥 → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴}) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
16	14, 15	syl 14	. 2 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
17		seex 4195	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V)
18		uniexg 4299	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V → ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V)
19	17, 18	syl 14	. 2 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V)
20		ssexg 4007	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∧ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
21	16, 19, 20	syl2anc 406	1 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 930  ∀wal 1297   ∈ wcel 1448  {crab 2379  Vcvv 2641   ⊆ wss 3021  ∪ cuni 3683   class class class wbr 3875   Se wse 4189  ^◡ccnv 4476  ‘cfv 5059

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-se 4193  df-cnv 4485  df-iota 5024  df-fv 5067

This theorem is referenced by: (None)