Theorem sefvex 5656

Description: If a function is set-like, then the function value exists if the input does. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sefvex	⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem sefvex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2803	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ∈ V)
3		simp3 1023	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝐴𝐹𝑥)
4		simp2 1022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝐴 ∈ V)
5		brcnvg 4909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥◡𝐹𝐴 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
6	1, 4, 5	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → (𝑥◡𝐹𝐴 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
7	3, 6	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥◡𝐹𝐴)
8		breq1 4089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦◡𝐹𝐴 ↔ 𝑥◡𝐹𝐴))
9	8	elrab 2960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥◡𝐹𝐴))
10	2, 7, 9	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
11		elssuni 3919	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
13	12	3expia 1229	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴𝐹𝑥 → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴}))
14	13	alrimiv 1920	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑥(𝐴𝐹𝑥 → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴}))
15		fvss 5649	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝐴𝐹𝑥 → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴}) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
16	14, 15	syl 14	. 2 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
17		seex 4430	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V)
18		uniexg 4534	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V → ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V)
19	17, 18	syl 14	. 2 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V)
20		ssexg 4226	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∧ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
21	16, 19, 20	syl2anc 411	1 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002  ∀wal 1393   ∈ wcel 2200  {crab 2512  Vcvv 2800   ⊆ wss 3198  ∪ cuni 3891   class class class wbr 4086   Se wse 4424  ^◡ccnv 4722  ‘cfv 5324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-se 4428  df-cnv 4731  df-iota 5284  df-fv 5332

This theorem is referenced by: (None)