ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sefvex GIF version

Theorem sefvex 5374
Description: If a function is set-like, then the function value exists if the input does. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
sefvex ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem sefvex
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2644 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
21a1i 9 . . . . . . 7 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ∈ V)
3 simp3 951 . . . . . . . 8 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝐴𝐹𝑥)
4 simp2 950 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝐴 ∈ V)
5 brcnvg 4658 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥𝐹𝐴𝐴𝐹𝑥))
61, 4, 5sylancr 408 . . . . . . . 8 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → (𝑥𝐹𝐴𝐴𝐹𝑥))
73, 6mpbird 166 . . . . . . 7 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥𝐹𝐴)
8 breq1 3878 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐹𝐴𝑥𝐹𝐴))
98elrab 2793 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥𝐹𝐴))
102, 7, 9sylanbrc 411 . . . . . 6 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴})
11 elssuni 3711 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} → 𝑥 {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴})
1210, 11syl 14 . . . . 5 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴})
13123expia 1151 . . . 4 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴𝐹𝑥𝑥 {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴}))
1413alrimiv 1813 . . 3 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑥(𝐴𝐹𝑥𝑥 {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴}))
15 fvss 5367 . . 3 (∀𝑥(𝐴𝐹𝑥𝑥 {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴}) → (𝐹𝐴) ⊆ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴})
1614, 15syl 14 . 2 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹𝐴) ⊆ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴})
17 seex 4195 . . 3 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∈ V)
18 uniexg 4299 . . 3 ({𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∈ V → {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∈ V)
1917, 18syl 14 . 2 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∈ V)
20 ssexg 4007 . 2 (((𝐹𝐴) ⊆ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∧ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦𝐹𝐴} ∈ V) → (𝐹𝐴) ∈ V)
2116, 19, 20syl2anc 406 1 ((𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹𝐴) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 930  wal 1297  wcel 1448  {crab 2379  Vcvv 2641  wss 3021   cuni 3683   class class class wbr 3875   Se wse 4189  ccnv 4476  cfv 5059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-se 4193  df-cnv 4485  df-iota 5024  df-fv 5067
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator