Theorem sefvex 5555

Description: If a function is set-like, then the function value exists if the input does. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sefvex	⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem sefvex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2755	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ∈ V)
3		simp3 1001	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝐴𝐹𝑥)
4		simp2 1000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝐴 ∈ V)
5		brcnvg 4826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥◡𝐹𝐴 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
6	1, 4, 5	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → (𝑥◡𝐹𝐴 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
7	3, 6	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥◡𝐹𝐴)
8		breq1 4021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦◡𝐹𝐴 ↔ 𝑥◡𝐹𝐴))
9	8	elrab 2908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ↔ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑥◡𝐹𝐴))
10	2, 7, 9	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
11		elssuni 3852	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝐹𝑥) → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
13	12	3expia 1207	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴𝐹𝑥 → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴}))
14	13	alrimiv 1885	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑥(𝐴𝐹𝑥 → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴}))
15		fvss 5548	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝐴𝐹𝑥 → 𝑥 ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴}) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
16	14, 15	syl 14	. 2 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴})
17		seex 4353	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V)
18		uniexg 4457	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V → ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V)
19	17, 18	syl 14	. 2 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V)
20		ssexg 4157	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ⊆ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∧ ∪ {𝑦 ∈ V ∣ 𝑦◡𝐹𝐴} ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
21	16, 19, 20	syl2anc 411	1 ⊢ ((◡𝐹 Se V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980  ∀wal 1362   ∈ wcel 2160  {crab 2472  Vcvv 2752   ⊆ wss 3144  ∪ cuni 3824   class class class wbr 4018   Se wse 4347  ^◡ccnv 4643  ‘cfv 5235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-se 4351  df-cnv 4652  df-iota 5196  df-fv 5243

This theorem is referenced by: (None)