Theorem neii2 14539

Description: Property of a neighborhood. (Contributed by NM, 12-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
neii2	|- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) )

Distinct variable groups:   g, J   g, N   S, g

Proof of Theorem neii2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2204	. . 3 |- U. J = U. J
2	1	neiss2 14532	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> S C_ U. J )
3	1	isnei 14534	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> ( N C_ U. J /\ E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) ) ) )
4		simpr 110	. . . 4 |- ( ( N C_ U. J /\ E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) ) -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) )
5	3, 4	biimtrdi 163	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) ) )
6	5	impancom 260	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> ( S C_ U. J -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) ) )
7	2, 6	mpd 13	1 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2175   E.wrex 2484   C_ wss 3165   U.cuni 3849   ` cfv 5268   Topctop 14387   neicnei 14528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-top 14388  df-nei 14529

This theorem is referenced by:  neiss  14540  ssnei  14541  ssnei2  14547  innei  14553  opnneiid  14554  neissex  14555  cnpnei  14609  neitx  14658