Theorem neii2 15014

Description: Property of a neighborhood. (Contributed by NM, 12-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
neii2	|- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) )

Distinct variable groups:   g, J   g, N   S, g

Proof of Theorem neii2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . 3 |- U. J = U. J
2	1	neiss2 15007	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> S C_ U. J )
3	1	isnei 15009	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> ( N C_ U. J /\ E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) ) ) )
4		simpr 110	. . . 4 |- ( ( N C_ U. J /\ E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) ) -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) )
5	3, 4	biimtrdi 163	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) ) )
6	5	impancom 260	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> ( S C_ U. J -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) ) )
7	2, 6	mpd 13	1 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   E.wrex 2521   C_ wss 3211   U.cuni 3914   ` cfv 5352   Topctop 14862   neicnei 15003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-top 14863  df-nei 15004

This theorem is referenced by:  neiss  15015  ssnei  15016  ssnei2  15022  innei  15028  opnneiid  15029  neissex  15030  cnpnei  15084  neitx  15133