Theorem neii2 13511

Description: Property of a neighborhood. (Contributed by NM, 12-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
neii2	|- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) )

Distinct variable groups:   g, J   g, N   S, g

Proof of Theorem neii2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . 3 |- U. J = U. J
2	1	neiss2 13504	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> S C_ U. J )
3	1	isnei 13506	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) <-> ( N C_ U. J /\ E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) ) ) )
4		simpr 110	. . . 4 |- ( ( N C_ U. J /\ E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) ) -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) )
5	3, 4	syl6bi 163	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( N e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) ) )
6	5	impancom 260	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> ( S C_ U. J -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) ) )
7	2, 6	mpd 13	1 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   E.wrex 2456   C_ wss 3129   U.cuni 3809   ` cfv 5214   Topctop 13357   neicnei 13500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-top 13358  df-nei 13501

This theorem is referenced by:  neiss  13512  ssnei  13513  ssnei2  13519  innei  13525  opnneiid  13526  neissex  13527  cnpnei  13581  neitx  13630