ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssnei GIF version

Theorem ssnei 12334
Description: A set is included in any of its neighborhoods. Generalization to subsets of elnei 12335. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
ssnei ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆𝑁)

Proof of Theorem ssnei
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neii2 12332 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
2 sstr 3105 . . 3 ((𝑆𝑔𝑔𝑁) → 𝑆𝑁)
32rexlimivw 2545 . 2 (∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁) → 𝑆𝑁)
41, 3syl 14 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1480  wrex 2417  wss 3071  cfv 5123  Topctop 12178  neicnei 12321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-top 12179  df-nei 12322
This theorem is referenced by:  elnei  12335  0nnei  12336  opnneissb  12338  opnssneib  12339  tpnei  12343
  Copyright terms: Public domain W3C validator