ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssnei GIF version

Theorem ssnei 13284
Description: A set is included in any of its neighborhoods. Generalization to subsets of elnei 13285. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
ssnei ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆𝑁)

Proof of Theorem ssnei
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neii2 13282 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
2 sstr 3163 . . 3 ((𝑆𝑔𝑔𝑁) → 𝑆𝑁)
32rexlimivw 2590 . 2 (∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁) → 𝑆𝑁)
41, 3syl 14 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2148  wrex 2456  wss 3129  cfv 5211  Topctop 13128  neicnei 13271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-top 13129  df-nei 13272
This theorem is referenced by:  elnei  13285  0nnei  13286  opnneissb  13288  opnssneib  13289  tpnei  13293
  Copyright terms: Public domain W3C validator