Theorem subrngss 13696

Description: A subring is a subset. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrngss.1	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
subrngss	|- ( A e. (SubRng ` R ) -> A C_ B )

Proof of Theorem subrngss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngss.1	. . 3 |- B = ( Base ` R )
2	1	issubrng 13695	. 2 |- ( A e. (SubRng ` R ) <-> ( R e. Rng /\ ( R ↾s A ) e. Rng /\ A C_ B ) )
3	2	simp3bi 1016	1 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> A C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   C_ wss 3153   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   ↾_s cress 12619  Rngcrng 13428  SubRngcsubrng 13693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-subrng 13694

This theorem is referenced by:  subrngsubg  13700  subsubrng  13710