Theorem subrngid 14593

Description: Every non-unital ring is a subring of itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrngss.1	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
subrngid	|- ( R e. Rng -> B e. (SubRng ` R ) )

Proof of Theorem subrngid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( R e. Rng -> R e. Rng )
2		subrngss.1	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3	2	rngressid 14337	. 2 |- ( R e. Rng -> ( R ↾s B ) e. Rng )
4		ssidd 3269	. 2 |- ( R e. Rng -> B C_ B )
5	2	issubrng 14591	. 2 |- ( B e. (SubRng ` R ) <-> ( R e. Rng /\ ( R ↾s B ) e. Rng /\ B C_ B ) )
6	1, 3, 4, 5	syl3anbrc 1212	1 |- ( R e. Rng -> B e. (SubRng ` R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13404   ↾_s cress 13405  Rngcrng 14315  SubRngcsubrng 14589

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-iress 13412  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-cmn 14173  df-abl 14174  df-mgp 14302  df-rng 14316  df-subrng 14590

This theorem is used by: (None)