Theorem subrngid 13548

Description: Every non-unital ring is a subring of itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrngss.1	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
subrngid	|- ( R e. Rng -> B e. (SubRng ` R ) )

Proof of Theorem subrngid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( R e. Rng -> R e. Rng )
2		subrngss.1	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3	2	rngressid 13308	. 2 |- ( R e. Rng -> ( R ↾s B ) e. Rng )
4		ssidd 3191	. 2 |- ( R e. Rng -> B C_ B )
5	2	issubrng 13546	. 2 |- ( B e. (SubRng ` R ) <-> ( R e. Rng /\ ( R ↾s B ) e. Rng /\ B C_ B ) )
6	1, 3, 4, 5	syl3anbrc 1183	1 |- ( R e. Rng -> B e. (SubRng ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   C_ wss 3144   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   Basecbs 12512   ↾_s cress 12513  Rngcrng 13286  SubRngcsubrng 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-ltxr 8027  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-ndx 12515  df-slot 12516  df-base 12518  df-sets 12519  df-iress 12520  df-plusg 12602  df-mulr 12603  df-0g 12763  df-mgm 12832  df-sgrp 12865  df-mnd 12878  df-grp 12948  df-minusg 12949  df-cmn 13225  df-abl 13226  df-mgp 13275  df-rng 13287  df-subrng 13545

This theorem is referenced by: (None)