Theorem subrngsubg 13760

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subrngsubg	|- ( A e. (SubRng ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )

Proof of Theorem subrngsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngrcl 13759	. . 3 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> R e. Rng )
2		rnggrp 13494	. . 3 |- ( R e. Rng -> R e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> R e. Grp )
4		eqid 2196	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5	4	subrngss 13756	. 2 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> A C_ ( Base ` R ) )
6		eqid 2196	. . . 4 |- ( R ↾s A ) = ( R ↾s A )
7	6	subrngrng 13758	. . 3 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Rng )
8		rnggrp 13494	. . 3 |- ( ( R ↾s A ) e. Rng -> ( R ↾s A ) e. Grp )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Grp )
10	4	issubg 13303	. 2 |- ( A e. (SubGrp ` R ) <-> ( R e. Grp /\ A C_ ( Base ` R ) /\ ( R ↾s A ) e. Grp ) )
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1183	1 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   C_ wss 3157   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   ↾_s cress 12679   Grpcgrp 13132  SubGrpcsubg 13297  Rngcrng 13488  SubRngcsubrng 13753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-subg 13300  df-abl 13417  df-rng 13489  df-subrng 13754

This theorem is referenced by:  subrngringnsg  13761  subrngbas  13762  subrng0  13763  subrngacl  13764  issubrng2  13766  subrngintm  13768  rng2idl0  14075  rng2idlsubg0  14078