Theorem subrngsubg 13700

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by AV, 14-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subrngsubg	|- ( A e. (SubRng ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )

Proof of Theorem subrngsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngrcl 13699	. . 3 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> R e. Rng )
2		rnggrp 13434	. . 3 |- ( R e. Rng -> R e. Grp )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> R e. Grp )
4		eqid 2193	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
5	4	subrngss 13696	. 2 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> A C_ ( Base ` R ) )
6		eqid 2193	. . . 4 |- ( R ↾s A ) = ( R ↾s A )
7	6	subrngrng 13698	. . 3 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Rng )
8		rnggrp 13434	. . 3 |- ( ( R ↾s A ) e. Rng -> ( R ↾s A ) e. Grp )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> ( R ↾s A ) e. Grp )
10	4	issubg 13243	. 2 |- ( A e. (SubGrp ` R ) <-> ( R e. Grp /\ A C_ ( Base ` R ) /\ ( R ↾s A ) e. Grp ) )
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1183	1 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> A e. (SubGrp ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   C_ wss 3153   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   ↾_s cress 12619   Grpcgrp 13072  SubGrpcsubg 13237  Rngcrng 13428  SubRngcsubrng 13693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-subg 13240  df-abl 13357  df-rng 13429  df-subrng 13694

This theorem is referenced by:  subrngringnsg  13701  subrngbas  13702  subrng0  13703  subrngacl  13704  issubrng2  13706  subrngintm  13708  rng2idl0  14015  rng2idlsubg0  14018