Theorem sucinc 6471

Description: Successor is increasing. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
sucinc.1	|- F = ( z e. _V |-> suc z )

Assertion

Ref	Expression
sucinc	|- A. x x C_ ( F ` x )

Distinct variable group:   x, z

Allowed substitution hints:   F( x, z)

Proof of Theorem sucinc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sssucid 4433	. . 3 |- x C_ suc x
2		vex 2755	. . . 4 |- x e. _V
3	2	sucex 4516	. . . 4 |- suc x e. _V
4		suceq 4420	. . . . 5 |- ( z = x -> suc z = suc x )
5		sucinc.1	. . . . 5 |- F = ( z e. _V |-> suc z )
6	4, 5	fvmptg 5613	. . . 4 |- ( ( x e. _V /\ suc x e. _V ) -> ( F ` x ) = suc x )
7	2, 3, 6	mp2an 426	. . 3 |- ( F ` x ) = suc x
8	1, 7	sseqtrri 3205	. 2 |- x C_ ( F ` x )
9	8	ax-gen 1460	1 |- A. x x C_ ( F ` x )

Syntax hints:   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   C_ wss 3144   |-> cmpt 4079   suc csuc 4383   ` cfv 5235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-suc 4389  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243

This theorem is referenced by: (None)