Theorem sucinc 6349

Description: Successor is increasing. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
sucinc.1	|- F = ( z e. _V |-> suc z )

Assertion

Ref	Expression
sucinc	|- A. x x C_ ( F ` x )

Distinct variable group:   x, z

Allowed substitution hints:   F( x, z)

Proof of Theorem sucinc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sssucid 4345	. . 3 |- x C_ suc x
2		vex 2692	. . . 4 |- x e. _V
3	2	sucex 4423	. . . 4 |- suc x e. _V
4		suceq 4332	. . . . 5 |- ( z = x -> suc z = suc x )
5		sucinc.1	. . . . 5 |- F = ( z e. _V |-> suc z )
6	4, 5	fvmptg 5505	. . . 4 |- ( ( x e. _V /\ suc x e. _V ) -> ( F ` x ) = suc x )
7	2, 3, 6	mp2an 423	. . 3 |- ( F ` x ) = suc x
8	1, 7	sseqtrri 3137	. 2 |- x C_ ( F ` x )
9	8	ax-gen 1426	1 |- A. x x C_ ( F ` x )

Syntax hints:   A.wal 1330   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   |-> cmpt 3997   suc csuc 4295   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139

This theorem is referenced by: (None)