Theorem sucinc 6531

Description: Successor is increasing. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
sucinc.1	|- F = ( z e. _V |-> suc z )

Assertion

Ref	Expression
sucinc	|- A. x x C_ ( F ` x )

Distinct variable group:   x, z

Allowed substitution hints:   F( x, z)

Proof of Theorem sucinc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sssucid 4462	. . 3 |- x C_ suc x
2		vex 2775	. . . 4 |- x e. _V
3	2	sucex 4547	. . . 4 |- suc x e. _V
4		suceq 4449	. . . . 5 |- ( z = x -> suc z = suc x )
5		sucinc.1	. . . . 5 |- F = ( z e. _V |-> suc z )
6	4, 5	fvmptg 5655	. . . 4 |- ( ( x e. _V /\ suc x e. _V ) -> ( F ` x ) = suc x )
7	2, 3, 6	mp2an 426	. . 3 |- ( F ` x ) = suc x
8	1, 7	sseqtrri 3228	. 2 |- x C_ ( F ` x )
9	8	ax-gen 1472	1 |- A. x x C_ ( F ` x )

Syntax hints:   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   |-> cmpt 4105   suc csuc 4412   ` cfv 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-suc 4418  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279

This theorem is referenced by: (None)