Theorem sucinc 6246

Description: Successor is increasing. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
sucinc.1	|- F = ( z e. _V |-> suc z )

Assertion

Ref	Expression
sucinc	|- A. x x C_ ( F ` x )

Distinct variable group:   x, z

Allowed substitution hints:   F( x, z)

Proof of Theorem sucinc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sssucid 4266	. . 3 |- x C_ suc x
2		vex 2636	. . . 4 |- x e. _V
3	2	sucex 4344	. . . 4 |- suc x e. _V
4		suceq 4253	. . . . 5 |- ( z = x -> suc z = suc x )
5		sucinc.1	. . . . 5 |- F = ( z e. _V |-> suc z )
6	4, 5	fvmptg 5415	. . . 4 |- ( ( x e. _V /\ suc x e. _V ) -> ( F ` x ) = suc x )
7	2, 3, 6	mp2an 418	. . 3 |- ( F ` x ) = suc x
8	1, 7	sseqtr4i 3074	. 2 |- x C_ ( F ` x )
9	8	ax-gen 1390	1 |- A. x x C_ ( F ` x )

Syntax hints:   A.wal 1294   = wceq 1296   e. wcel 1445   _Vcvv 2633   C_ wss 3013   |-> cmpt 3921   suc csuc 4216   ` cfv 5049

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-sbc 2855  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-suc 4222  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057

This theorem is referenced by: (None)