Theorem sucinc 6404

Description: Successor is increasing. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
sucinc.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
sucinc	⊢ ∀𝑥 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem sucinc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sssucid 4387	. . 3 ⊢ 𝑥 ⊆ suc 𝑥
2		vex 2724	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	sucex 4470	. . . 4 ⊢ suc 𝑥 ∈ V
4		suceq 4374	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → suc 𝑧 = suc 𝑥)
5		sucinc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)
6	4, 5	fvmptg 5556	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ suc 𝑥 ∈ V) → (𝐹‘𝑥) = suc 𝑥)
7	2, 3, 6	mp2an 423	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝑥) = suc 𝑥
8	1, 7	sseqtrri 3172	. 2 ⊢ 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥)
9	8	ax-gen 1436	1 ⊢ ∀𝑥 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥)

Syntax hints:  ∀wal 1340   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  Vcvv 2721   ⊆ wss 3111   ↦ cmpt 4037  suc csuc 4337  ‘cfv 5182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-sbc 2947  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-suc 4343  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190

This theorem is referenced by: (None)