Theorem sucinc 6591

Description: Successor is increasing. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
sucinc.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
sucinc	⊢ ∀𝑥 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem sucinc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sssucid 4506	. . 3 ⊢ 𝑥 ⊆ suc 𝑥
2		vex 2802	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	sucex 4591	. . . 4 ⊢ suc 𝑥 ∈ V
4		suceq 4493	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → suc 𝑧 = suc 𝑥)
5		sucinc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)
6	4, 5	fvmptg 5710	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ suc 𝑥 ∈ V) → (𝐹‘𝑥) = suc 𝑥)
7	2, 3, 6	mp2an 426	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝑥) = suc 𝑥
8	1, 7	sseqtrri 3259	. 2 ⊢ 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥)
9	8	ax-gen 1495	1 ⊢ ∀𝑥 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥)

Syntax hints:  ∀wal 1393   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197   ↦ cmpt 4145  suc csuc 4456  ‘cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326

This theorem is referenced by: (None)