ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sucinc GIF version

Theorem sucinc 6345
Description: Successor is increasing. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
sucinc.1 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)
Assertion
Ref Expression
sucinc 𝑥 𝑥 ⊆ (𝐹𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem sucinc
StepHypRef Expression
1 sssucid 4341 . . 3 𝑥 ⊆ suc 𝑥
2 vex 2690 . . . 4 𝑥 ∈ V
32sucex 4419 . . . 4 suc 𝑥 ∈ V
4 suceq 4328 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → suc 𝑧 = suc 𝑥)
5 sucinc.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)
64, 5fvmptg 5501 . . . 4 ((𝑥 ∈ V ∧ suc 𝑥 ∈ V) → (𝐹𝑥) = suc 𝑥)
72, 3, 6mp2an 423 . . 3 (𝐹𝑥) = suc 𝑥
81, 7sseqtrri 3133 . 2 𝑥 ⊆ (𝐹𝑥)
98ax-gen 1426 1 𝑥 𝑥 ⊆ (𝐹𝑥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wal 1330   = wceq 1332  wcel 1481  Vcvv 2687  wss 3072  cmpt 3993  suc csuc 4291  cfv 5127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2689  df-sbc 2911  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-id 4219  df-suc 4297  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fv 5135
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator