Theorem sucinc 6718

Description: Successor is increasing. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
sucinc.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
sucinc	⊢ ∀𝑥 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem sucinc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sssucid 4560	. . 3 ⊢ 𝑥 ⊆ suc 𝑥
2		vex 2824	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	sucex 4646	. . . 4 ⊢ suc 𝑥 ∈ V
4		suceq 4547	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → suc 𝑧 = suc 𝑥)
5		sucinc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧)
6	4, 5	fvmptg 5781	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ suc 𝑥 ∈ V) → (𝐹‘𝑥) = suc 𝑥)
7	2, 3, 6	mp2an 430	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝑥) = suc 𝑥
8	1, 7	sseqtrri 3283	. 2 ⊢ 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥)
9	8	ax-gen 1502	1 ⊢ ∀𝑥 𝑥 ⊆ (𝐹‘𝑥)

This proof depends on syntax axioms:  ∀wal 1400   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220   ↦ cmpt 4192  suc csuc 4510  ‘cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-suc 4516  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385

This theorem is used by: (None)