Theorem fvmptg 5781

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	|- ( x = A -> B = C )
fvmptg.2	|- F = ( x e. D |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	|- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D

Allowed substitution hints:   B( x)   R( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 |- C = C
2		fvmptg.1	. . . 4 |- ( x = A -> B = C )
3	2	eqeq2d 2250	. . 3 |- ( x = A -> ( y = B <-> y = C ) )
4		eqeq1 2245	. . 3 |- ( y = C -> ( y = C <-> C = C ) )
5		moeq 3001	. . . 4 |- E* y y = B
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( x e. D -> E* y y = B )
7		fvmptg.2	. . . 4 |- F = ( x e. D |-> B )
8		df-mpt 4194	. . . 4 |- ( x e. D |-> B ) = { <. x , y >. | ( x e. D /\ y = B ) }
9	7, 8	eqtri 2259	. . 3 |- F = { <. x , y >. | ( x e. D /\ y = B ) }
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 5779	. 2 |- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( C = C -> ( F ` A ) = C ) )
11	1, 10	mpi 15	1 |- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( F ` A ) = C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E*wmo 2087   e. wcel 2209   {copab 4191   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385

This theorem is used by:  fvmpt  5782  fvmpts  5783  fvmpt3  5784  fvmpt2  5789  f1mpt  5977  caofinvl  6328  1stvalg  6376  2ndvalg  6377  brtpos2  6522  rdgon  6657  frec0g  6668  freccllem  6673  frecfcllem  6675  frecsuclem  6677  sucinc  6718  sucinc2  6719  omcl  6734  oeicl  6735  oav2  6736  omv2  6738  fvdiagfn  6975  djulclr  7390  djurclr  7391  djulcl  7392  djurcl  7393  djulclb  7396  omp1eomlem  7435  ctmlemr  7449  nnnninf  7467  nnnninfeq  7469  cardval3ex  7531  ceilqval  10758  frec2uzzd  10852  frec2uzsucd  10853  monoord2  10938  iseqf1olemqval  10952  iseqf1olemqk  10959  seq3f1olemqsum  10965  seq3f1oleml  10968  seq3f1o  10969  seq3distr  10984  ser3le  10989  hashinfom  11233  hashennn  11235  cjval  11626  reval  11630  imval  11631  cvg1nlemcau  11766  cvg1nlemres  11767  absval  11783  resqrexlemglsq  11804  resqrexlemga  11805  climmpt  12085  climle  12119  climcvg1nlem  12134  summodclem3  12166  summodclem2a  12167  zsumdc  12170  fsum3  12173  fsumcl2lem  12184  sumsnf  12195  isumadd  12217  fsumrev  12229  fsumshft  12230  fsummulc2  12234  iserabs  12261  isumlessdc  12282  divcnv  12283  trireciplem  12286  trirecip  12287  expcnvap0  12288  expcnvre  12289  expcnv  12290  explecnv  12291  geolim  12297  geolim2  12298  geo2lim  12302  geoisum  12303  geoisumr  12304  geoisum1  12305  geoisum1c  12306  cvgratz  12318  mertenslem2  12322  mertensabs  12323  fprodmul  12377  eftvalcn  12443  efval  12447  efcvgfsum  12453  ege2le3  12457  efcj  12459  eftlub  12476  efgt1p2  12481  eflegeo  12487  sinval  12488  cosval  12489  tanvalap  12494  eirraplem  12563  phival  13014  crth  13025  phimullem  13026  ennnfonelemj0  13344  ennnfonelem0  13348  strnfvnd  13424  topnvalg  13658  tgval  13669  2idlval  14923  zrhval  15036  toponsspwpwg  15214  cldval  15291  ntrfval  15292  clsfval  15293  neifval  15332  neival  15335  ismet  15536  isxmet  15537  divcnap  15757  mulc1cncf  15781  depindlem1  16913  djucllem  16994  nnsf  17214  peano3nninf  17216  nninfself  17222  nninfsellemeqinf  17225  dceqnconst  17277  dcapnconst  17278