Theorem fvmptg 5781

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	|- ( x = A -> B = C )
fvmptg.2	|- F = ( x e. D |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	|- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D

Allowed substitution hints:   B( x)   R( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 |- C = C
2		fvmptg.1	. . . 4 |- ( x = A -> B = C )
3	2	eqeq2d 2250	. . 3 |- ( x = A -> ( y = B <-> y = C ) )
4		eqeq1 2245	. . 3 |- ( y = C -> ( y = C <-> C = C ) )
5		moeq 3001	. . . 4 |- E* y y = B
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( x e. D -> E* y y = B )
7		fvmptg.2	. . . 4 |- F = ( x e. D |-> B )
8		df-mpt 4194	. . . 4 |- ( x e. D |-> B ) = { <. x , y >. | ( x e. D /\ y = B ) }
9	7, 8	eqtri 2259	. . 3 |- F = { <. x , y >. | ( x e. D /\ y = B ) }
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 5779	. 2 |- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( C = C -> ( F ` A ) = C ) )
11	1, 10	mpi 15	1 |- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( F ` A ) = C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E*wmo 2087   e. wcel 2209   {copab 4191   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385

This theorem is used by:  fvmpt  5782  fvmpts  5783  fvmpt3  5784  fvmpt2  5789  f1mpt  5977  caofinvl  6328  1stvalg  6376  2ndvalg  6377  brtpos2  6522  rdgon  6657  frec0g  6668  freccllem  6673  frecfcllem  6675  frecsuclem  6677  sucinc  6718  sucinc2  6719  omcl  6734  oeicl  6735  oav2  6736  omv2  6738  fvdiagfn  6975  djulclr  7389  djurclr  7390  djulcl  7391  djurcl  7392  djulclb  7395  omp1eomlem  7434  ctmlemr  7448  nnnninf  7466  nnnninfeq  7468  cardval3ex  7530  ceilqval  10756  frec2uzzd  10850  frec2uzsucd  10851  monoord2  10936  iseqf1olemqval  10950  iseqf1olemqk  10957  seq3f1olemqsum  10963  seq3f1oleml  10966  seq3f1o  10967  seq3distr  10982  ser3le  10987  hashinfom  11231  hashennn  11233  cjval  11624  reval  11628  imval  11629  cvg1nlemcau  11764  cvg1nlemres  11765  absval  11781  resqrexlemglsq  11802  resqrexlemga  11803  climmpt  12082  climle  12116  climcvg1nlem  12131  summodclem3  12163  summodclem2a  12164  zsumdc  12167  fsum3  12170  fsumcl2lem  12181  sumsnf  12192  isumadd  12214  fsumrev  12226  fsumshft  12227  fsummulc2  12231  iserabs  12258  isumlessdc  12279  divcnv  12280  trireciplem  12283  trirecip  12284  expcnvap0  12285  expcnvre  12286  expcnv  12287  explecnv  12288  geolim  12294  geolim2  12295  geo2lim  12299  geoisum  12300  geoisumr  12301  geoisum1  12302  geoisum1c  12303  cvgratz  12315  mertenslem2  12319  mertensabs  12320  fprodmul  12374  eftvalcn  12440  efval  12444  efcvgfsum  12450  ege2le3  12454  efcj  12456  eftlub  12473  efgt1p2  12478  eflegeo  12484  sinval  12485  cosval  12486  tanvalap  12491  eirraplem  12560  phival  13011  crth  13022  phimullem  13023  ennnfonelemj0  13341  ennnfonelem0  13345  strnfvnd  13421  topnvalg  13654  tgval  13665  2idlval  14888  zrhval  15001  toponsspwpwg  15172  cldval  15249  ntrfval  15250  clsfval  15251  neifval  15290  neival  15293  ismet  15494  isxmet  15495  divcnap  15715  mulc1cncf  15739  depindlem1  16845  djucllem  16926  nnsf  17146  peano3nninf  17148  nninfself  17154  nninfsellemeqinf  17157  dceqnconst  17208  dcapnconst  17209