Theorem fvmptg 5678

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	|- ( x = A -> B = C )
fvmptg.2	|- F = ( x e. D |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	|- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D

Allowed substitution hints:   B( x)   R( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. 2 |- C = C
2		fvmptg.1	. . . 4 |- ( x = A -> B = C )
3	2	eqeq2d 2219	. . 3 |- ( x = A -> ( y = B <-> y = C ) )
4		eqeq1 2214	. . 3 |- ( y = C -> ( y = C <-> C = C ) )
5		moeq 2955	. . . 4 |- E* y y = B
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( x e. D -> E* y y = B )
7		fvmptg.2	. . . 4 |- F = ( x e. D |-> B )
8		df-mpt 4123	. . . 4 |- ( x e. D |-> B ) = { <. x , y >. | ( x e. D /\ y = B ) }
9	7, 8	eqtri 2228	. . 3 |- F = { <. x , y >. | ( x e. D /\ y = B ) }
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 5676	. 2 |- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( C = C -> ( F ` A ) = C ) )
11	1, 10	mpi 15	1 |- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( F ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   E*wmo 2056   e. wcel 2178   {copab 4120   |-> cmpt 4121   ` cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  fvmpt  5679  fvmpts  5680  fvmpt3  5681  fvmpt2  5686  f1mpt  5863  caofinvl  6207  1stvalg  6251  2ndvalg  6252  brtpos2  6360  rdgon  6495  frec0g  6506  freccllem  6511  frecfcllem  6513  frecsuclem  6515  sucinc  6554  sucinc2  6555  omcl  6570  oeicl  6571  oav2  6572  omv2  6574  fvdiagfn  6803  djulclr  7177  djurclr  7178  djulcl  7179  djurcl  7180  djulclb  7183  omp1eomlem  7222  ctmlemr  7236  nnnninf  7254  nnnninfeq  7256  cardval3ex  7318  ceilqval  10488  frec2uzzd  10582  frec2uzsucd  10583  monoord2  10668  iseqf1olemqval  10682  iseqf1olemqk  10689  seq3f1olemqsum  10695  seq3f1oleml  10698  seq3f1o  10699  seq3distr  10714  ser3le  10719  hashinfom  10960  hashennn  10962  cjval  11271  reval  11275  imval  11276  cvg1nlemcau  11410  cvg1nlemres  11411  absval  11427  resqrexlemglsq  11448  resqrexlemga  11449  climmpt  11726  climle  11760  climcvg1nlem  11775  summodclem3  11806  summodclem2a  11807  zsumdc  11810  fsum3  11813  fsumcl2lem  11824  sumsnf  11835  isumadd  11857  fsumrev  11869  fsumshft  11870  fsummulc2  11874  iserabs  11901  isumlessdc  11922  divcnv  11923  trireciplem  11926  trirecip  11927  expcnvap0  11928  expcnvre  11929  expcnv  11930  explecnv  11931  geolim  11937  geolim2  11938  geo2lim  11942  geoisum  11943  geoisumr  11944  geoisum1  11945  geoisum1c  11946  cvgratz  11958  mertenslem2  11962  mertensabs  11963  fprodmul  12017  eftvalcn  12083  efval  12087  efcvgfsum  12093  ege2le3  12097  efcj  12099  eftlub  12116  efgt1p2  12121  eflegeo  12127  sinval  12128  cosval  12129  tanvalap  12134  eirraplem  12203  phival  12650  crth  12661  phimullem  12662  ennnfonelemj0  12887  ennnfonelem0  12891  strnfvnd  12967  topnvalg  13198  tgval  13209  2idlval  14379  zrhval  14494  toponsspwpwg  14609  cldval  14686  ntrfval  14687  clsfval  14688  neifval  14727  neival  14730  ismet  14931  isxmet  14932  divcnap  15152  mulc1cncf  15176  djucllem  15936  nnsf  16144  peano3nninf  16146  nninfself  16152  nninfsellemeqinf  16155  dceqnconst  16201  dcapnconst  16202