Theorem fvmptg 5775

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	|- ( x = A -> B = C )
fvmptg.2	|- F = ( x e. D |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	|- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D

Allowed substitution hints:   B( x)   R( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 |- C = C
2		fvmptg.1	. . . 4 |- ( x = A -> B = C )
3	2	eqeq2d 2250	. . 3 |- ( x = A -> ( y = B <-> y = C ) )
4		eqeq1 2245	. . 3 |- ( y = C -> ( y = C <-> C = C ) )
5		moeq 3001	. . . 4 |- E* y y = B
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( x e. D -> E* y y = B )
7		fvmptg.2	. . . 4 |- F = ( x e. D |-> B )
8		df-mpt 4189	. . . 4 |- ( x e. D |-> B ) = { <. x , y >. | ( x e. D /\ y = B ) }
9	7, 8	eqtri 2259	. . 3 |- F = { <. x , y >. | ( x e. D /\ y = B ) }
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 5773	. 2 |- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( C = C -> ( F ` A ) = C ) )
11	1, 10	mpi 15	1 |- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( F ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E*wmo 2087   e. wcel 2209   {copab 4186   |-> cmpt 4187   ` cfv 5372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  fvmpt  5776  fvmpts  5777  fvmpt3  5778  fvmpt2  5783  f1mpt  5967  caofinvl  6318  1stvalg  6366  2ndvalg  6367  brtpos2  6512  rdgon  6647  frec0g  6658  freccllem  6663  frecfcllem  6665  frecsuclem  6667  sucinc  6708  sucinc2  6709  omcl  6724  oeicl  6725  oav2  6726  omv2  6728  fvdiagfn  6965  djulclr  7379  djurclr  7380  djulcl  7381  djurcl  7382  djulclb  7385  omp1eomlem  7424  ctmlemr  7438  nnnninf  7456  nnnninfeq  7458  cardval3ex  7520  ceilqval  10721  frec2uzzd  10815  frec2uzsucd  10816  monoord2  10901  iseqf1olemqval  10915  iseqf1olemqk  10922  seq3f1olemqsum  10928  seq3f1oleml  10931  seq3f1o  10932  seq3distr  10947  ser3le  10952  hashinfom  11195  hashennn  11197  cjval  11588  reval  11592  imval  11593  cvg1nlemcau  11728  cvg1nlemres  11729  absval  11745  resqrexlemglsq  11766  resqrexlemga  11767  climmpt  12044  climle  12078  climcvg1nlem  12093  summodclem3  12125  summodclem2a  12126  zsumdc  12129  fsum3  12132  fsumcl2lem  12143  sumsnf  12154  isumadd  12176  fsumrev  12188  fsumshft  12189  fsummulc2  12193  iserabs  12220  isumlessdc  12241  divcnv  12242  trireciplem  12245  trirecip  12246  expcnvap0  12247  expcnvre  12248  expcnv  12249  explecnv  12250  geolim  12256  geolim2  12257  geo2lim  12261  geoisum  12262  geoisumr  12263  geoisum1  12264  geoisum1c  12265  cvgratz  12277  mertenslem2  12281  mertensabs  12282  fprodmul  12336  eftvalcn  12402  efval  12406  efcvgfsum  12412  ege2le3  12416  efcj  12418  eftlub  12435  efgt1p2  12440  eflegeo  12446  sinval  12447  cosval  12448  tanvalap  12453  eirraplem  12522  phival  12969  crth  12980  phimullem  12981  ennnfonelemj0  13270  ennnfonelem0  13274  strnfvnd  13350  topnvalg  13582  tgval  13593  2idlval  14811  zrhval  14924  toponsspwpwg  15046  cldval  15123  ntrfval  15124  clsfval  15125  neifval  15164  neival  15167  ismet  15368  isxmet  15369  divcnap  15589  mulc1cncf  15613  depindlem1  16661  djucllem  16742  nnsf  16953  peano3nninf  16955  nninfself  16961  nninfsellemeqinf  16964  dceqnconst  17015  dcapnconst  17016