Theorem fvmptg 5781

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	|- ( x = A -> B = C )
fvmptg.2	|- F = ( x e. D |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	|- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D

Allowed substitution hints:   B( x)   R( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 |- C = C
2		fvmptg.1	. . . 4 |- ( x = A -> B = C )
3	2	eqeq2d 2250	. . 3 |- ( x = A -> ( y = B <-> y = C ) )
4		eqeq1 2245	. . 3 |- ( y = C -> ( y = C <-> C = C ) )
5		moeq 3001	. . . 4 |- E* y y = B
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( x e. D -> E* y y = B )
7		fvmptg.2	. . . 4 |- F = ( x e. D |-> B )
8		df-mpt 4194	. . . 4 |- ( x e. D |-> B ) = { <. x , y >. | ( x e. D /\ y = B ) }
9	7, 8	eqtri 2259	. . 3 |- F = { <. x , y >. | ( x e. D /\ y = B ) }
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 5779	. 2 |- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( C = C -> ( F ` A ) = C ) )
11	1, 10	mpi 15	1 |- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( F ` A ) = C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E*wmo 2087   e. wcel 2209   {copab 4191   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385

This theorem is used by:  fvmpt  5782  fvmpts  5783  fvmpt3  5784  fvmpt2  5789  f1mpt  5977  caofinvl  6328  1stvalg  6376  2ndvalg  6377  brtpos2  6522  rdgon  6657  frec0g  6668  freccllem  6673  frecfcllem  6675  frecsuclem  6677  sucinc  6718  sucinc2  6719  omcl  6734  oeicl  6735  oav2  6736  omv2  6738  fvdiagfn  6975  djulclr  7389  djurclr  7390  djulcl  7391  djurcl  7392  djulclb  7395  omp1eomlem  7434  ctmlemr  7448  nnnninf  7466  nnnninfeq  7468  cardval3ex  7530  ceilqval  10743  frec2uzzd  10837  frec2uzsucd  10838  monoord2  10923  iseqf1olemqval  10937  iseqf1olemqk  10944  seq3f1olemqsum  10950  seq3f1oleml  10953  seq3f1o  10954  seq3distr  10969  ser3le  10974  hashinfom  11217  hashennn  11219  cjval  11610  reval  11614  imval  11615  cvg1nlemcau  11750  cvg1nlemres  11751  absval  11767  resqrexlemglsq  11788  resqrexlemga  11789  climmpt  12066  climle  12100  climcvg1nlem  12115  summodclem3  12147  summodclem2a  12148  zsumdc  12151  fsum3  12154  fsumcl2lem  12165  sumsnf  12176  isumadd  12198  fsumrev  12210  fsumshft  12211  fsummulc2  12215  iserabs  12242  isumlessdc  12263  divcnv  12264  trireciplem  12267  trirecip  12268  expcnvap0  12269  expcnvre  12270  expcnv  12271  explecnv  12272  geolim  12278  geolim2  12279  geo2lim  12283  geoisum  12284  geoisumr  12285  geoisum1  12286  geoisum1c  12287  cvgratz  12299  mertenslem2  12303  mertensabs  12304  fprodmul  12358  eftvalcn  12424  efval  12428  efcvgfsum  12434  ege2le3  12438  efcj  12440  eftlub  12457  efgt1p2  12462  eflegeo  12468  sinval  12469  cosval  12470  tanvalap  12475  eirraplem  12544  phival  12991  crth  13002  phimullem  13003  ennnfonelemj0  13292  ennnfonelem0  13296  strnfvnd  13372  topnvalg  13605  tgval  13616  2idlval  14839  zrhval  14952  toponsspwpwg  15123  cldval  15200  ntrfval  15201  clsfval  15202  neifval  15241  neival  15244  ismet  15445  isxmet  15446  divcnap  15666  mulc1cncf  15690  depindlem1  16747  djucllem  16828  nnsf  17048  peano3nninf  17050  nninfself  17056  nninfsellemeqinf  17059  dceqnconst  17110  dcapnconst  17111