Theorem fvmptg 5712

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	|- ( x = A -> B = C )
fvmptg.2	|- F = ( x e. D |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	|- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D

Allowed substitution hints:   B( x)   R( x)   F( x)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. 2 |- C = C
2		fvmptg.1	. . . 4 |- ( x = A -> B = C )
3	2	eqeq2d 2241	. . 3 |- ( x = A -> ( y = B <-> y = C ) )
4		eqeq1 2236	. . 3 |- ( y = C -> ( y = C <-> C = C ) )
5		moeq 2978	. . . 4 |- E* y y = B
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( x e. D -> E* y y = B )
7		fvmptg.2	. . . 4 |- F = ( x e. D |-> B )
8		df-mpt 4147	. . . 4 |- ( x e. D |-> B ) = { <. x , y >. | ( x e. D /\ y = B ) }
9	7, 8	eqtri 2250	. . 3 |- F = { <. x , y >. | ( x e. D /\ y = B ) }
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 5710	. 2 |- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( C = C -> ( F ` A ) = C ) )
11	1, 10	mpi 15	1 |- ( ( A e. D /\ C e. R ) -> ( F ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   E*wmo 2078   e. wcel 2200   {copab 4144   |-> cmpt 4145   ` cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  fvmpt  5713  fvmpts  5714  fvmpt3  5715  fvmpt2  5720  f1mpt  5901  caofinvl  6250  1stvalg  6294  2ndvalg  6295  brtpos2  6403  rdgon  6538  frec0g  6549  freccllem  6554  frecfcllem  6556  frecsuclem  6558  sucinc  6599  sucinc2  6600  omcl  6615  oeicl  6616  oav2  6617  omv2  6619  fvdiagfn  6848  djulclr  7227  djurclr  7228  djulcl  7229  djurcl  7230  djulclb  7233  omp1eomlem  7272  ctmlemr  7286  nnnninf  7304  nnnninfeq  7306  cardval3ex  7368  ceilqval  10540  frec2uzzd  10634  frec2uzsucd  10635  monoord2  10720  iseqf1olemqval  10734  iseqf1olemqk  10741  seq3f1olemqsum  10747  seq3f1oleml  10750  seq3f1o  10751  seq3distr  10766  ser3le  10771  hashinfom  11012  hashennn  11014  cjval  11371  reval  11375  imval  11376  cvg1nlemcau  11510  cvg1nlemres  11511  absval  11527  resqrexlemglsq  11548  resqrexlemga  11549  climmpt  11826  climle  11860  climcvg1nlem  11875  summodclem3  11906  summodclem2a  11907  zsumdc  11910  fsum3  11913  fsumcl2lem  11924  sumsnf  11935  isumadd  11957  fsumrev  11969  fsumshft  11970  fsummulc2  11974  iserabs  12001  isumlessdc  12022  divcnv  12023  trireciplem  12026  trirecip  12027  expcnvap0  12028  expcnvre  12029  expcnv  12030  explecnv  12031  geolim  12037  geolim2  12038  geo2lim  12042  geoisum  12043  geoisumr  12044  geoisum1  12045  geoisum1c  12046  cvgratz  12058  mertenslem2  12062  mertensabs  12063  fprodmul  12117  eftvalcn  12183  efval  12187  efcvgfsum  12193  ege2le3  12197  efcj  12199  eftlub  12216  efgt1p2  12221  eflegeo  12227  sinval  12228  cosval  12229  tanvalap  12234  eirraplem  12303  phival  12750  crth  12761  phimullem  12762  ennnfonelemj0  12987  ennnfonelem0  12991  strnfvnd  13067  topnvalg  13299  tgval  13310  2idlval  14481  zrhval  14596  toponsspwpwg  14711  cldval  14788  ntrfval  14789  clsfval  14790  neifval  14829  neival  14832  ismet  15033  isxmet  15034  divcnap  15254  mulc1cncf  15278  djucllem  16219  nnsf  16431  peano3nninf  16433  nninfself  16439  nninfsellemeqinf  16442  dceqnconst  16488  dcapnconst  16489