Theorem tfrlemisucfn 6328

Description: We can extend an acceptable function by one element to produce a function. Lemma for tfrlemi1 6336. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlemisucfn.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrlemisucfn.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
tfrlemisucfn.3	|- ( ph -> z e. On )
tfrlemisucfn.4	|- ( ph -> g Fn z )
tfrlemisucfn.5	|- ( ph -> g e. A )

Assertion

Ref	Expression
tfrlemisucfn	|- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z )

Distinct variable groups:   f, g, x, y, z, A   f, F, g, x, y, z   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x, z, f, g)

Proof of Theorem tfrlemisucfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2742	. . 3 |- z e. _V
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ph -> z e. _V )
3		tfrlemisucfn.2	. . . 4 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
4	3	tfrlem3-2d 6316	. . 3 |- ( ph -> ( Fun F /\ ( F ` g ) e. _V ) )
5	4	simprd 114	. 2 |- ( ph -> ( F ` g ) e. _V )
6		tfrlemisucfn.4	. 2 |- ( ph -> g Fn z )
7		eqid 2177	. 2 |- ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } )
8		df-suc 4373	. 2 |- suc z = ( z u. { z } )
9		elirrv 4549	. . 3 |- -. z e. z
10	9	a1i 9	. 2 |- ( ph -> -. z e. z )
11	2, 5, 6, 7, 8, 10	fnunsn 5325	1 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2739   u. cun 3129   {csn 3594   <.cop 3597   Oncon0 4365   suc csuc 4367   |` cres 4630   Fun wfun 5212   Fn wfn 5213   ` cfv 5218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-suc 4373  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  6329  tfrlemibfn  6332