Theorem tposco 6330

Description: Transposition of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposco	|- tpos ( F o. G ) = ( F o. tpos G )

Proof of Theorem tposco

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coass 5185	. 2 |- ( ( F o. G ) o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) = ( F o. ( G o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
2		dftpos4 6318	. 2 |- tpos ( F o. G ) = ( ( F o. G ) o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
3		dftpos4 6318	. . 3 |- tpos G = ( G o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
4	3	coeq2i 4823	. 2 |- ( F o. tpos G ) = ( F o. ( G o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
5	1, 2, 4	3eqtr4i 2224	1 |- tpos ( F o. G ) = ( F o. tpos G )

Syntax hints:   = wceq 1364   _Vcvv 2760   u. cun 3152   (/)c0 3447   {csn 3619   U.cuni 3836   |-> cmpt 4091   X. cxp 4658   `'ccnv 4659   o. ccom 4664  tpos ctpos 6299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-tpos 6300

This theorem is referenced by: (None)