Theorem tpos0 6179

Description: Transposition of the empty set. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpos0	|- tpos (/) = (/)

Proof of Theorem tpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 4672	. . . 4 |- Rel (/)
2		eqid 2140	. . . . 5 |- (/) = (/)
3		fn0 5250	. . . . 5 |- ( (/) Fn (/) <-> (/) = (/) )
4	2, 3	mpbir 145	. . . 4 |- (/) Fn (/)
5		tposfn2 6171	. . . 4 |- ( Rel (/) -> ( (/) Fn (/) -> tpos (/) Fn `' (/) ) )
6	1, 4, 5	mp2 16	. . 3 |- tpos (/) Fn `' (/)
7		cnv0 4950	. . . 4 |- `' (/) = (/)
8	7	fneq2i 5226	. . 3 |- (tpos (/) Fn `' (/) <-> tpos (/) Fn (/) )
9	6, 8	mpbi 144	. 2 |- tpos (/) Fn (/)
10		fn0 5250	. 2 |- (tpos (/) Fn (/) <-> tpos (/) = (/) )
11	9, 10	mpbi 144	1 |- tpos (/) = (/)

Syntax hints:   = wceq 1332   (/)c0 3368   `'ccnv 4546   Rel wrel 4552   Fn wfn 5126  tpos ctpos 6149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-fv 5139  df-tpos 6150

This theorem is referenced by: (None)