Theorem tpossym 6255

Description: Two ways to say a function is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpossym	|- ( F Fn ( A X. A ) -> (tpos F = F <-> A. x e. A A. y e. A ( x F y ) = ( y F x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y

Proof of Theorem tpossym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposfn 6252	. . 3 |- ( F Fn ( A X. A ) -> tpos F Fn ( A X. A ) )
2		eqfnov2 5960	. . 3 |- ( (tpos F Fn ( A X. A ) /\ F Fn ( A X. A ) ) -> (tpos F = F <-> A. x e. A A. y e. A ( xtpos F y ) = ( x F y ) ) )
3	1, 2	mpancom 420	. 2 |- ( F Fn ( A X. A ) -> (tpos F = F <-> A. x e. A A. y e. A ( xtpos F y ) = ( x F y ) ) )
4		eqcom 2172	. . . 4 |- ( ( xtpos F y ) = ( x F y ) <-> ( x F y ) = ( xtpos F y ) )
5		vex 2733	. . . . . 6 |- x e. _V
6		vex 2733	. . . . . 6 |- y e. _V
7		ovtposg 6238	. . . . . 6 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> ( xtpos F y ) = ( y F x ) )
8	5, 6, 7	mp2an 424	. . . . 5 |- ( xtpos F y ) = ( y F x )
9	8	eqeq2i 2181	. . . 4 |- ( ( x F y ) = ( xtpos F y ) <-> ( x F y ) = ( y F x ) )
10	4, 9	bitri 183	. . 3 |- ( ( xtpos F y ) = ( x F y ) <-> ( x F y ) = ( y F x ) )
11	10	2ralbii 2478	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. A ( xtpos F y ) = ( x F y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x F y ) = ( y F x ) )
12	3, 11	bitrdi 195	1 |- ( F Fn ( A X. A ) -> (tpos F = F <-> A. x e. A A. y e. A ( x F y ) = ( y F x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   X. cxp 4609   Fn wfn 5193  (class class class)co 5853  tpos ctpos 6223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fo 5204  df-fv 5206  df-ov 5856  df-tpos 6224

This theorem is referenced by:  xmettpos  13164