Theorem tpossym 6547

Description: Two ways to say a function is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpossym	|- ( F Fn ( A X. A ) -> (tpos F = F <-> A. x e. A A. y e. A ( x F y ) = ( y F x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y

Proof of Theorem tpossym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposfn 6544	. . 3 |- ( F Fn ( A X. A ) -> tpos F Fn ( A X. A ) )
2		eqfnov2 6196	. . 3 |- ( (tpos F Fn ( A X. A ) /\ F Fn ( A X. A ) ) -> (tpos F = F <-> A. x e. A A. y e. A ( xtpos F y ) = ( x F y ) ) )
3	1, 2	mpancom 426	. 2 |- ( F Fn ( A X. A ) -> (tpos F = F <-> A. x e. A A. y e. A ( xtpos F y ) = ( x F y ) ) )
4		eqcom 2240	. . . 4 |- ( ( xtpos F y ) = ( x F y ) <-> ( x F y ) = ( xtpos F y ) )
5		vex 2824	. . . . . 6 |- x e. _V
6		vex 2824	. . . . . 6 |- y e. _V
7		ovtposg 6530	. . . . . 6 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> ( xtpos F y ) = ( y F x ) )
8	5, 6, 7	mp2an 430	. . . . 5 |- ( xtpos F y ) = ( y F x )
9	8	eqeq2i 2249	. . . 4 |- ( ( x F y ) = ( xtpos F y ) <-> ( x F y ) = ( y F x ) )
10	4, 9	bitri 184	. . 3 |- ( ( xtpos F y ) = ( x F y ) <-> ( x F y ) = ( y F x ) )
11	10	2ralbii 2558	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. A ( xtpos F y ) = ( x F y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x F y ) = ( y F x ) )
12	3, 11	bitrdi 196	1 |- ( F Fn ( A X. A ) -> (tpos F = F <-> A. x e. A A. y e. A ( x F y ) = ( y F x ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   X. cxp 4772   Fn wfn 5372  (class class class)co 6085  tpos ctpos 6515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385  df-ov 6088  df-tpos 6516

This theorem is used by:  xmettpos  15471