Theorem tpossym 6181

Description: Two ways to say a function is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tpossym	|- ( F Fn ( A X. A ) -> (tpos F = F <-> A. x e. A A. y e. A ( x F y ) = ( y F x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y

Proof of Theorem tpossym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposfn 6178	. . 3 |- ( F Fn ( A X. A ) -> tpos F Fn ( A X. A ) )
2		eqfnov2 5886	. . 3 |- ( (tpos F Fn ( A X. A ) /\ F Fn ( A X. A ) ) -> (tpos F = F <-> A. x e. A A. y e. A ( xtpos F y ) = ( x F y ) ) )
3	1, 2	mpancom 419	. 2 |- ( F Fn ( A X. A ) -> (tpos F = F <-> A. x e. A A. y e. A ( xtpos F y ) = ( x F y ) ) )
4		eqcom 2142	. . . 4 |- ( ( xtpos F y ) = ( x F y ) <-> ( x F y ) = ( xtpos F y ) )
5		vex 2692	. . . . . 6 |- x e. _V
6		vex 2692	. . . . . 6 |- y e. _V
7		ovtposg 6164	. . . . . 6 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> ( xtpos F y ) = ( y F x ) )
8	5, 6, 7	mp2an 423	. . . . 5 |- ( xtpos F y ) = ( y F x )
9	8	eqeq2i 2151	. . . 4 |- ( ( x F y ) = ( xtpos F y ) <-> ( x F y ) = ( y F x ) )
10	4, 9	bitri 183	. . 3 |- ( ( xtpos F y ) = ( x F y ) <-> ( x F y ) = ( y F x ) )
11	10	2ralbii 2446	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. A ( xtpos F y ) = ( x F y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x F y ) = ( y F x ) )
12	3, 11	syl6bb 195	1 |- ( F Fn ( A X. A ) -> (tpos F = F <-> A. x e. A A. y e. A ( x F y ) = ( y F x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   _Vcvv 2689   X. cxp 4545   Fn wfn 5126  (class class class)co 5782  tpos ctpos 6149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fo 5137  df-fv 5139  df-ov 5785  df-tpos 6150

This theorem is referenced by:  xmettpos  12578