Theorem tposco 6374

Description: Transposition of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposco	⊢ tpos (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ tpos 𝐺)

Proof of Theorem tposco

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coass 5210	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})) = (𝐹 ∘ (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})))
2		dftpos4 6362	. 2 ⊢ tpos (𝐹 ∘ 𝐺) = ((𝐹 ∘ 𝐺) ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥}))
3		dftpos4 6362	. . 3 ⊢ tpos 𝐺 = (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥}))
4	3	coeq2i 4846	. 2 ⊢ (𝐹 ∘ tpos 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})))
5	1, 2, 4	3eqtr4i 2237	1 ⊢ tpos (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ tpos 𝐺)

Syntax hints:   = wceq 1373  Vcvv 2773   ∪ cun 3168  ∅c0 3464  {csn 3638  ∪ cuni 3856   ↦ cmpt 4113   × cxp 4681  ^◡ccnv 4682   ∘ ccom 4687  tpos ctpos 6343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-fv 5288  df-tpos 6344

This theorem is referenced by: (None)