Theorem tposco 6550

Description: Transposition of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposco	⊢ tpos (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ tpos 𝐺)

Proof of Theorem tposco

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coass 5309	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})) = (𝐹 ∘ (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})))
2		dftpos4 6538	. 2 ⊢ tpos (𝐹 ∘ 𝐺) = ((𝐹 ∘ 𝐺) ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥}))
3		dftpos4 6538	. . 3 ⊢ tpos 𝐺 = (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥}))
4	3	coeq2i 4942	. 2 ⊢ (𝐹 ∘ tpos 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})))
5	1, 2, 4	3eqtr4i 2269	1 ⊢ tpos (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ tpos 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  ∅c0 3520  {csn 3709  ∪ cuni 3935   ↦ cmpt 4193   × cxp 4774  ^◡ccnv 4775   ∘ ccom 4780  tpos ctpos 6519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-tpos 6520

This theorem is used by: (None)