Theorem tposco 6440

Description: Transposition of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposco	⊢ tpos (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ tpos 𝐺)

Proof of Theorem tposco

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coass 5255	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺) ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})) = (𝐹 ∘ (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})))
2		dftpos4 6428	. 2 ⊢ tpos (𝐹 ∘ 𝐺) = ((𝐹 ∘ 𝐺) ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥}))
3		dftpos4 6428	. . 3 ⊢ tpos 𝐺 = (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥}))
4	3	coeq2i 4890	. 2 ⊢ (𝐹 ∘ tpos 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ ((V × V) ∪ {∅}) ↦ ∪ ◡{𝑥})))
5	1, 2, 4	3eqtr4i 2262	1 ⊢ tpos (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ tpos 𝐺)

Syntax hints:   = wceq 1397  Vcvv 2802   ∪ cun 3198  ∅c0 3494  {csn 3669  ∪ cuni 3893   ↦ cmpt 4150   × cxp 4723  ^◡ccnv 4724   ∘ ccom 4729  tpos ctpos 6409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-tpos 6410

This theorem is referenced by: (None)