ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xgepnf Unicode version

Theorem xgepnf 9592
Description: An extended real which is greater than plus infinity is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
xgepnf  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( +oo  <_  A  <->  A  = +oo ) )

Proof of Theorem xgepnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 7811 . . 3  |- +oo  e.  RR*
2 xrlenlt 7822 . . 3  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( +oo  <_  A  <->  -.  A  < +oo ) )
31, 2mpan 420 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( +oo  <_  A  <->  -.  A  < +oo ) )
4 nltpnft 9590 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = +oo  <->  -.  A  < +oo ) )
53, 4bitr4d 190 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( +oo  <_  A  <->  A  = +oo ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3924   +oocpnf 7790   RR*cxr 7792    < clt 7793    <_ cle 7794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799
This theorem is referenced by:  xnn0lenn0nn0  9641  xleaddadd  9663
  Copyright terms: Public domain W3C validator