Theorem xrlenlt 7977

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than', for extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrlenlt	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem xrlenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 3988	. . 3 |- ( A <_ B <-> <. A , B >. e. <_ )
2		opelxpi 4641	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> <. A , B >. e. ( RR* X. RR* ) )
3		df-le 7953	. . . . . . 7 |- <_ = ( ( RR* X. RR* ) \ `' < )
4	3	eleq2i 2237	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. e. <_ <-> <. A , B >. e. ( ( RR* X. RR* ) \ `' < ) )
5		eldif 3130	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. e. ( ( RR* X. RR* ) \ `' < ) <-> ( <. A , B >. e. ( RR* X. RR* ) /\ -. <. A , B >. e. `' < ) )
6	4, 5	bitri 183	. . . . 5 |- ( <. A , B >. e. <_ <-> ( <. A , B >. e. ( RR* X. RR* ) /\ -. <. A , B >. e. `' < ) )
7	6	baib 914	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( RR* X. RR* ) -> ( <. A , B >. e. <_ <-> -. <. A , B >. e. `' < ) )
8	2, 7	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( <. A , B >. e. <_ <-> -. <. A , B >. e. `' < ) )
9	1, 8	syl5bb 191	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. <. A , B >. e. `' < ) )
10		df-br 3988	. . . 4 |- ( B < A <-> <. B , A >. e. < )
11		opelcnvg 4789	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( <. A , B >. e. `' < <-> <. B , A >. e. < ) )
12	10, 11	bitr4id 198	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A <-> <. A , B >. e. `' < ) )
13	12	notbid 662	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. B < A <-> -. <. A , B >. e. `' < ) )
14	9, 13	bitr4d 190	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   \ cdif 3118   <.cop 3584   class class class wbr 3987   X. cxp 4607   `'ccnv 4608   RR*cxr 7946   < clt 7947   <_ cle 7948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-cnv 4617  df-le 7953

This theorem is referenced by:  lenlt  7988  pnfge  9739  mnfle  9742  xrltle  9748  xrleid  9750  xnn0dcle  9752  xrletri3  9754  xrlelttr  9756  xrltletr  9757  xrletr  9758  xgepnf  9766  xleneg  9787  xltadd1  9826  xsubge0  9831  xleaddadd  9837  iccid  9875  icc0r  9876  icodisj  9942  ioodisj  9943  ioo0  10209  ico0  10211  ioc0  10212  leisorel  10765  xrmaxleim  11200  xrmaxiflemval  11206  xrmaxlesup  11215  xrmaxaddlem  11216  xrminmax  11221  pcadd  12286  bldisj  13160  bdxmet  13260  bdbl  13262