Theorem xrlenlt 8091

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than', for extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrlenlt	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem xrlenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4034	. . 3 |- ( A <_ B <-> <. A , B >. e. <_ )
2		opelxpi 4695	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> <. A , B >. e. ( RR* X. RR* ) )
3		df-le 8067	. . . . . . 7 |- <_ = ( ( RR* X. RR* ) \ `' < )
4	3	eleq2i 2263	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. e. <_ <-> <. A , B >. e. ( ( RR* X. RR* ) \ `' < ) )
5		eldif 3166	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. e. ( ( RR* X. RR* ) \ `' < ) <-> ( <. A , B >. e. ( RR* X. RR* ) /\ -. <. A , B >. e. `' < ) )
6	4, 5	bitri 184	. . . . 5 |- ( <. A , B >. e. <_ <-> ( <. A , B >. e. ( RR* X. RR* ) /\ -. <. A , B >. e. `' < ) )
7	6	baib 920	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( RR* X. RR* ) -> ( <. A , B >. e. <_ <-> -. <. A , B >. e. `' < ) )
8	2, 7	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( <. A , B >. e. <_ <-> -. <. A , B >. e. `' < ) )
9	1, 8	bitrid 192	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. <. A , B >. e. `' < ) )
10		df-br 4034	. . . 4 |- ( B < A <-> <. B , A >. e. < )
11		opelcnvg 4846	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( <. A , B >. e. `' < <-> <. B , A >. e. < ) )
12	10, 11	bitr4id 199	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A <-> <. A , B >. e. `' < ) )
13	12	notbid 668	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. B < A <-> -. <. A , B >. e. `' < ) )
14	9, 13	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   \ cdif 3154   <.cop 3625   class class class wbr 4033   X. cxp 4661   `'ccnv 4662   RR*cxr 8060   < clt 8061   <_ cle 8062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-le 8067

This theorem is referenced by:  lenlt  8102  pnfge  9864  mnfle  9867  xrltle  9873  xrleid  9875  xnn0dcle  9877  xrletri3  9879  xrlelttr  9881  xrltletr  9882  xrletr  9883  xgepnf  9891  xleneg  9912  xltadd1  9951  xsubge0  9956  xleaddadd  9962  iccid  10000  icc0r  10001  icodisj  10067  ioodisj  10068  ioo0  10349  ico0  10351  ioc0  10352  leisorel  10929  xrmaxleim  11409  xrmaxiflemval  11415  xrmaxlesup  11424  xrmaxaddlem  11425  xrminmax  11430  pcadd  12509  bldisj  14637  bdxmet  14737  bdbl  14739