Theorem xrlenlt 8396

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than', for extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrlenlt	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem xrlenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4132	. . 3 |- ( A <_ B <-> <. A , B >. e. <_ )
2		opelxpi 4808	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> <. A , B >. e. ( RR* X. RR* ) )
3		df-le 8372	. . . . . . 7 |- <_ = ( ( RR* X. RR* ) \ `' < )
4	3	eleq2i 2305	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. e. <_ <-> <. A , B >. e. ( ( RR* X. RR* ) \ `' < ) )
5		eldif 3229	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. e. ( ( RR* X. RR* ) \ `' < ) <-> ( <. A , B >. e. ( RR* X. RR* ) /\ -. <. A , B >. e. `' < ) )
6	4, 5	bitri 184	. . . . 5 |- ( <. A , B >. e. <_ <-> ( <. A , B >. e. ( RR* X. RR* ) /\ -. <. A , B >. e. `' < ) )
7	6	baib 931	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( RR* X. RR* ) -> ( <. A , B >. e. <_ <-> -. <. A , B >. e. `' < ) )
8	2, 7	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( <. A , B >. e. <_ <-> -. <. A , B >. e. `' < ) )
9	1, 8	bitrid 192	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. <. A , B >. e. `' < ) )
10		df-br 4132	. . . 4 |- ( B < A <-> <. B , A >. e. < )
11		opelcnvg 4962	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( <. A , B >. e. `' < <-> <. B , A >. e. < ) )
12	10, 11	bitr4id 199	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A <-> <. A , B >. e. `' < ) )
13	12	notbid 677	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. B < A <-> -. <. A , B >. e. `' < ) )
14	9, 13	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   \ cdif 3217   <.cop 3712   class class class wbr 4131   X. cxp 4774   `'ccnv 4775   RR*cxr 8365   < clt 8366   <_ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-le 8372

This theorem is used by:  lenlt  8407  pnfge  10208  mnfle  10211  xrltle  10217  xrleid  10219  xnn0dcle  10221  xrletri3  10223  xrlelttr  10225  xrltletr  10226  xrletr  10227  xgepnf  10235  xleneg  10256  xltadd1  10295  xsubge0  10300  xleaddadd  10306  iccid  10344  icc0r  10345  icodisj  10411  ioodisj  10412  ioo0  10711  ico0  10713  ioc0  10714  leisorel  11311  xrmaxleim  12035  xrmaxiflemval  12041  xrmaxlesup  12050  xrmaxaddlem  12051  xrminmax  12056  pcadd  13148  bldisj  15627  bdxmet  15727  bdbl  15729