Theorem xrlenlt 8039

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than', for extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrlenlt	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem xrlenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4018	. . 3 |- ( A <_ B <-> <. A , B >. e. <_ )
2		opelxpi 4672	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> <. A , B >. e. ( RR* X. RR* ) )
3		df-le 8015	. . . . . . 7 |- <_ = ( ( RR* X. RR* ) \ `' < )
4	3	eleq2i 2255	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. e. <_ <-> <. A , B >. e. ( ( RR* X. RR* ) \ `' < ) )
5		eldif 3152	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. e. ( ( RR* X. RR* ) \ `' < ) <-> ( <. A , B >. e. ( RR* X. RR* ) /\ -. <. A , B >. e. `' < ) )
6	4, 5	bitri 184	. . . . 5 |- ( <. A , B >. e. <_ <-> ( <. A , B >. e. ( RR* X. RR* ) /\ -. <. A , B >. e. `' < ) )
7	6	baib 920	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( RR* X. RR* ) -> ( <. A , B >. e. <_ <-> -. <. A , B >. e. `' < ) )
8	2, 7	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( <. A , B >. e. <_ <-> -. <. A , B >. e. `' < ) )
9	1, 8	bitrid 192	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. <. A , B >. e. `' < ) )
10		df-br 4018	. . . 4 |- ( B < A <-> <. B , A >. e. < )
11		opelcnvg 4821	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( <. A , B >. e. `' < <-> <. B , A >. e. < ) )
12	10, 11	bitr4id 199	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B < A <-> <. A , B >. e. `' < ) )
13	12	notbid 668	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( -. B < A <-> -. <. A , B >. e. `' < ) )
14	9, 13	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2159   \ cdif 3140   <.cop 3609   class class class wbr 4017   X. cxp 4638   `'ccnv 4639   RR*cxr 8008   < clt 8009   <_ cle 8010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-br 4018  df-opab 4079  df-xp 4646  df-cnv 4648  df-le 8015

This theorem is referenced by:  lenlt  8050  pnfge  9806  mnfle  9809  xrltle  9815  xrleid  9817  xnn0dcle  9819  xrletri3  9821  xrlelttr  9823  xrltletr  9824  xrletr  9825  xgepnf  9833  xleneg  9854  xltadd1  9893  xsubge0  9898  xleaddadd  9904  iccid  9942  icc0r  9943  icodisj  10009  ioodisj  10010  ioo0  10277  ico0  10279  ioc0  10280  leisorel  10834  xrmaxleim  11269  xrmaxiflemval  11275  xrmaxlesup  11284  xrmaxaddlem  11285  xrminmax  11290  pcadd  12356  bldisj  14284  bdxmet  14384  bdbl  14386