Theorem xgepnf 9599

Description: An extended real which is greater than plus infinity is plus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
xgepnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 = +∞))

Proof of Theorem xgepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 7818	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		xrlenlt 7829	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
3	1, 2	mpan 420	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
4		nltpnft 9597	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
5	3, 4	bitr4d 190	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 = +∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  +∞cpnf 7797  ℝ^*cxr 7799   < clt 7800   ≤ cle 7801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-pre-ltirr 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806

This theorem is referenced by:  xnn0lenn0nn0  9648  xleaddadd  9670