Theorem pnfxr 8384

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	|- +oo e. RR*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3393	. . 3 |- { +oo , -oo } C_ ( RR u. { +oo , -oo } )
2		df-pnf 8368	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
3		cnex 8309	. . . . . . 7 |- CC e. _V
4	3	uniex 4585	. . . . . 6 |- U. CC e. _V
5	4	pwex 4322	. . . . 5 |- ~P U. CC e. _V
6	2, 5	eqeltri 2311	. . . 4 |- +oo e. _V
7	6	prid1 3817	. . 3 |- +oo e. { +oo , -oo }
8	1, 7	sselii 3245	. 2 |- +oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
9		df-xr 8370	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
10	8, 9	eleqtrri 2314	1 |- +oo e. RR*

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   ~Pcpw 3688   {cpr 3710   U.cuni 3935   CCcc 8183   RRcr 8184   +oocpnf 8363   -oocmnf 8364   RR*cxr 8365

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-un 4580  ax-cnex 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8368  df-xr 8370

This theorem is used by:  pnfex  8385  pnfnemnf  8386  xnn0xr  9644  xrltnr  10197  ltpnf  10198  mnfltpnf  10203  pnfnlt  10205  pnfge  10207  xrlttri3  10215  xnn0dcle  10220  nltpnft  10232  xgepnf  10234  xrrebnd  10237  xrre  10238  xrre2  10239  xnegcl  10250  xaddf  10262  xaddval  10263  xaddpnf1  10264  xaddpnf2  10265  pnfaddmnf  10268  mnfaddpnf  10269  xrex  10274  xaddass2  10288  xltadd1  10294  xlt2add  10298  xsubge0  10299  xposdif  10300  xleaddadd  10305  elioc2  10354  elico2  10355  elicc2  10356  ioomax  10366  iccmax  10367  ioopos  10368  elioopnf  10385  elicopnf  10387  unirnioo  10391  elxrge0  10396  dfrp2  10714  elicore  10717  xqltnle  10718  hashinfom  11238  rexico  12009  xrmaxiflemcl  12035  xrmaxadd  12051  fprodge0  12428  fprodge1  12430  pcxcl  13118  pc2dvds  13137  pcadd  13147  xblpnfps  15641  xblpnf  15642  xblss2ps  15647  blssec  15681  blpnfctr  15682  reopnap  15789  blssioo  15796  repiecelem  17297  repiecele0  17298  repiecege0  17299