Theorem pnfxr 8210

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	|- +oo e. RR*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3368	. . 3 |- { +oo , -oo } C_ ( RR u. { +oo , -oo } )
2		df-pnf 8194	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
3		cnex 8134	. . . . . . 7 |- CC e. _V
4	3	uniex 4528	. . . . . 6 |- U. CC e. _V
5	4	pwex 4267	. . . . 5 |- ~P U. CC e. _V
6	2, 5	eqeltri 2302	. . . 4 |- +oo e. _V
7	6	prid1 3772	. . 3 |- +oo e. { +oo , -oo }
8	1, 7	sselii 3221	. 2 |- +oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
9		df-xr 8196	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
10	8, 9	eleqtrri 2305	1 |- +oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   u. cun 3195   ~Pcpw 3649   {cpr 3667   U.cuni 3888   CCcc 8008   RRcr 8009   +oocpnf 8189   -oocmnf 8190   RR*cxr 8191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-un 4524  ax-cnex 8101

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-pnf 8194  df-xr 8196

This theorem is referenced by:  pnfex  8211  pnfnemnf  8212  xnn0xr  9448  xrltnr  9987  ltpnf  9988  mnfltpnf  9993  pnfnlt  9995  pnfge  9997  xrlttri3  10005  xnn0dcle  10010  nltpnft  10022  xgepnf  10024  xrrebnd  10027  xrre  10028  xrre2  10029  xnegcl  10040  xaddf  10052  xaddval  10053  xaddpnf1  10054  xaddpnf2  10055  pnfaddmnf  10058  mnfaddpnf  10059  xrex  10064  xaddass2  10078  xltadd1  10084  xlt2add  10088  xsubge0  10089  xposdif  10090  xleaddadd  10095  elioc2  10144  elico2  10145  elicc2  10146  ioomax  10156  iccmax  10157  ioopos  10158  elioopnf  10175  elicopnf  10177  unirnioo  10181  elxrge0  10186  dfrp2  10495  elicore  10498  xqltnle  10499  hashinfom  11012  rexico  11747  xrmaxiflemcl  11771  xrmaxadd  11787  fprodge0  12163  fprodge1  12165  pcxcl  12849  pc2dvds  12868  pcadd  12878  xblpnfps  15087  xblpnf  15088  xblss2ps  15093  blssec  15127  blpnfctr  15128  reopnap  15235  blssioo  15242