Theorem pnfxr 8160

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	|- +oo e. RR*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3345	. . 3 |- { +oo , -oo } C_ ( RR u. { +oo , -oo } )
2		df-pnf 8144	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
3		cnex 8084	. . . . . . 7 |- CC e. _V
4	3	uniex 4502	. . . . . 6 |- U. CC e. _V
5	4	pwex 4243	. . . . 5 |- ~P U. CC e. _V
6	2, 5	eqeltri 2280	. . . 4 |- +oo e. _V
7	6	prid1 3749	. . 3 |- +oo e. { +oo , -oo }
8	1, 7	sselii 3198	. 2 |- +oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
9		df-xr 8146	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
10	8, 9	eleqtrri 2283	1 |- +oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   u. cun 3172   ~Pcpw 3626   {cpr 3644   U.cuni 3864   CCcc 7958   RRcr 7959   +oocpnf 8139   -oocmnf 8140   RR*cxr 8141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-un 4498  ax-cnex 8051

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-pnf 8144  df-xr 8146

This theorem is referenced by:  pnfex  8161  pnfnemnf  8162  xnn0xr  9398  xrltnr  9936  ltpnf  9937  mnfltpnf  9942  pnfnlt  9944  pnfge  9946  xrlttri3  9954  xnn0dcle  9959  nltpnft  9971  xgepnf  9973  xrrebnd  9976  xrre  9977  xrre2  9978  xnegcl  9989  xaddf  10001  xaddval  10002  xaddpnf1  10003  xaddpnf2  10004  pnfaddmnf  10007  mnfaddpnf  10008  xrex  10013  xaddass2  10027  xltadd1  10033  xlt2add  10037  xsubge0  10038  xposdif  10039  xleaddadd  10044  elioc2  10093  elico2  10094  elicc2  10095  ioomax  10105  iccmax  10106  ioopos  10107  elioopnf  10124  elicopnf  10126  unirnioo  10130  elxrge0  10135  dfrp2  10443  elicore  10446  xqltnle  10447  hashinfom  10960  rexico  11647  xrmaxiflemcl  11671  xrmaxadd  11687  fprodge0  12063  fprodge1  12065  pcxcl  12749  pc2dvds  12768  pcadd  12778  xblpnfps  14985  xblpnf  14986  xblss2ps  14991  blssec  15025  blpnfctr  15026  reopnap  15133  blssioo  15140