Theorem pnfxr 8326

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	|- +oo e. RR*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3383	. . 3 |- { +oo , -oo } C_ ( RR u. { +oo , -oo } )
2		df-pnf 8310	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
3		cnex 8251	. . . . . . 7 |- CC e. _V
4	3	uniex 4558	. . . . . 6 |- U. CC e. _V
5	4	pwex 4296	. . . . 5 |- ~P U. CC e. _V
6	2, 5	eqeltri 2305	. . . 4 |- +oo e. _V
7	6	prid1 3797	. . 3 |- +oo e. { +oo , -oo }
8	1, 7	sselii 3235	. 2 |- +oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
9		df-xr 8312	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
10	8, 9	eleqtrri 2308	1 |- +oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   u. cun 3209   ~Pcpw 3669   {cpr 3690   U.cuni 3914   CCcc 8125   RRcr 8126   +oocpnf 8305   -oocmnf 8306   RR*cxr 8307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-un 4554  ax-cnex 8218

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-pnf 8310  df-xr 8312

This theorem is referenced by:  pnfex  8327  pnfnemnf  8328  xnn0xr  9568  xrltnr  10112  ltpnf  10113  mnfltpnf  10118  pnfnlt  10120  pnfge  10122  xrlttri3  10130  xnn0dcle  10135  nltpnft  10147  xgepnf  10149  xrrebnd  10152  xrre  10153  xrre2  10154  xnegcl  10165  xaddf  10177  xaddval  10178  xaddpnf1  10179  xaddpnf2  10180  pnfaddmnf  10183  mnfaddpnf  10184  xrex  10189  xaddass2  10203  xltadd1  10209  xlt2add  10213  xsubge0  10214  xposdif  10215  xleaddadd  10220  elioc2  10269  elico2  10270  elicc2  10271  ioomax  10281  iccmax  10282  ioopos  10283  elioopnf  10300  elicopnf  10302  unirnioo  10306  elxrge0  10311  dfrp2  10623  elicore  10626  xqltnle  10627  hashinfom  11141  rexico  11906  xrmaxiflemcl  11930  xrmaxadd  11946  fprodge0  12323  fprodge1  12325  pcxcl  13009  pc2dvds  13028  pcadd  13038  xblpnfps  15263  xblpnf  15264  xblss2ps  15269  blssec  15303  blpnfctr  15304  reopnap  15411  blssioo  15418  repiecelem  16809  repiecele0  16810  repiecege0  16811