ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pnfxr Unicode version

Theorem pnfxr 7477
Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
pnfxr  |- +oo  e.  RR*

Proof of Theorem pnfxr
StepHypRef Expression
1 ssun2 3153 . . 3  |-  { +oo , -oo }  C_  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
2 df-pnf 7461 . . . . 5  |- +oo  =  ~P U. CC
3 cnex 7403 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
43uniex 4237 . . . . . 6  |-  U. CC  e.  _V
54pwex 3991 . . . . 5  |-  ~P U. CC  e.  _V
62, 5eqeltri 2157 . . . 4  |- +oo  e.  _V
76prid1 3531 . . 3  |- +oo  e.  { +oo , -oo }
81, 7sselii 3011 . 2  |- +oo  e.  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
9 df-xr 7463 . 2  |-  RR*  =  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
108, 9eleqtrri 2160 1  |- +oo  e.  RR*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1436   _Vcvv 2615    u. cun 2986   ~Pcpw 3415   {cpr 3432   U.cuni 3636   CCcc 7285   RRcr 7286   +oocpnf 7456   -oocmnf 7457   RR*cxr 7458
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-pow 3983  ax-un 4233  ax-cnex 7373
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-rex 2361  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-uni 3637  df-pnf 7461  df-xr 7463
This theorem is referenced by:  pnfex  7478  pnfnemnf  7479  xnn0xr  8667  xrltnr  9175  ltpnf  9176  mnfltpnf  9180  pnfnlt  9182  pnfge  9184  xrlttri3  9192  nltpnft  9204  xrrebnd  9206  xrre  9207  xrre2  9208  xnegcl  9219  xrex  9230  elioc2  9279  elico2  9280  elicc2  9281  ioomax  9291  iccmax  9292  ioopos  9293  elioopnf  9310  elicopnf  9312  unirnioo  9316  elxrge0  9321  hashinfom  10075  rexico  10542
  Copyright terms: Public domain W3C validator