Theorem pnfxr 7942

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	|- +oo e. RR*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3281	. . 3 |- { +oo , -oo } C_ ( RR u. { +oo , -oo } )
2		df-pnf 7926	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
3		cnex 7868	. . . . . . 7 |- CC e. _V
4	3	uniex 4409	. . . . . 6 |- U. CC e. _V
5	4	pwex 4156	. . . . 5 |- ~P U. CC e. _V
6	2, 5	eqeltri 2237	. . . 4 |- +oo e. _V
7	6	prid1 3676	. . 3 |- +oo e. { +oo , -oo }
8	1, 7	sselii 3134	. 2 |- +oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
9		df-xr 7928	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
10	8, 9	eleqtrri 2240	1 |- +oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   u. cun 3109   ~Pcpw 3553   {cpr 3571   U.cuni 3783   CCcc 7742   RRcr 7743   +oocpnf 7921   -oocmnf 7922   RR*cxr 7923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-un 4405  ax-cnex 7835

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-uni 3784  df-pnf 7926  df-xr 7928

This theorem is referenced by:  pnfex  7943  pnfnemnf  7944  xnn0xr  9173  xrltnr  9706  ltpnf  9707  mnfltpnf  9712  pnfnlt  9714  pnfge  9716  xrlttri3  9724  xnn0dcle  9729  nltpnft  9741  xgepnf  9743  xrrebnd  9746  xrre  9747  xrre2  9748  xnegcl  9759  xaddf  9771  xaddval  9772  xaddpnf1  9773  xaddpnf2  9774  pnfaddmnf  9777  mnfaddpnf  9778  xrex  9783  xaddass2  9797  xltadd1  9803  xlt2add  9807  xsubge0  9808  xposdif  9809  xleaddadd  9814  elioc2  9863  elico2  9864  elicc2  9865  ioomax  9875  iccmax  9876  ioopos  9877  elioopnf  9894  elicopnf  9896  unirnioo  9900  elxrge0  9905  dfrp2  10189  elicore  10192  hashinfom  10680  rexico  11149  xrmaxiflemcl  11172  xrmaxadd  11188  fprodge0  11564  fprodge1  11566  pcxcl  12220  pc2dvds  12238  pcadd  12248  xblpnfps  12939  xblpnf  12940  xblss2ps  12945  blssec  12979  blpnfctr  12980  reopnap  13079  blssioo  13086