Theorem pnfxr 8231

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	|- +oo e. RR*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3371	. . 3 |- { +oo , -oo } C_ ( RR u. { +oo , -oo } )
2		df-pnf 8215	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
3		cnex 8155	. . . . . . 7 |- CC e. _V
4	3	uniex 4534	. . . . . 6 |- U. CC e. _V
5	4	pwex 4273	. . . . 5 |- ~P U. CC e. _V
6	2, 5	eqeltri 2304	. . . 4 |- +oo e. _V
7	6	prid1 3777	. . 3 |- +oo e. { +oo , -oo }
8	1, 7	sselii 3224	. 2 |- +oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
9		df-xr 8217	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
10	8, 9	eleqtrri 2307	1 |- +oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   u. cun 3198   ~Pcpw 3652   {cpr 3670   U.cuni 3893   CCcc 8029   RRcr 8030   +oocpnf 8210   -oocmnf 8211   RR*cxr 8212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-un 4530  ax-cnex 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-pnf 8215  df-xr 8217

This theorem is referenced by:  pnfex  8232  pnfnemnf  8233  xnn0xr  9469  xrltnr  10013  ltpnf  10014  mnfltpnf  10019  pnfnlt  10021  pnfge  10023  xrlttri3  10031  xnn0dcle  10036  nltpnft  10048  xgepnf  10050  xrrebnd  10053  xrre  10054  xrre2  10055  xnegcl  10066  xaddf  10078  xaddval  10079  xaddpnf1  10080  xaddpnf2  10081  pnfaddmnf  10084  mnfaddpnf  10085  xrex  10090  xaddass2  10104  xltadd1  10110  xlt2add  10114  xsubge0  10115  xposdif  10116  xleaddadd  10121  elioc2  10170  elico2  10171  elicc2  10172  ioomax  10182  iccmax  10183  ioopos  10184  elioopnf  10201  elicopnf  10203  unirnioo  10207  elxrge0  10212  dfrp2  10522  elicore  10525  xqltnle  10526  hashinfom  11039  rexico  11781  xrmaxiflemcl  11805  xrmaxadd  11821  fprodge0  12197  fprodge1  12199  pcxcl  12883  pc2dvds  12902  pcadd  12912  xblpnfps  15121  xblpnf  15122  xblss2ps  15127  blssec  15161  blpnfctr  15162  reopnap  15269  blssioo  15276