Theorem pnfxr 8010

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	|- +oo e. RR*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3300	. . 3 |- { +oo , -oo } C_ ( RR u. { +oo , -oo } )
2		df-pnf 7994	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
3		cnex 7935	. . . . . . 7 |- CC e. _V
4	3	uniex 4438	. . . . . 6 |- U. CC e. _V
5	4	pwex 4184	. . . . 5 |- ~P U. CC e. _V
6	2, 5	eqeltri 2250	. . . 4 |- +oo e. _V
7	6	prid1 3699	. . 3 |- +oo e. { +oo , -oo }
8	1, 7	sselii 3153	. 2 |- +oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
9		df-xr 7996	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
10	8, 9	eleqtrri 2253	1 |- +oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   u. cun 3128   ~Pcpw 3576   {cpr 3594   U.cuni 3810   CCcc 7809   RRcr 7810   +oocpnf 7989   -oocmnf 7990   RR*cxr 7991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-un 4434  ax-cnex 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-uni 3811  df-pnf 7994  df-xr 7996

This theorem is referenced by:  pnfex  8011  pnfnemnf  8012  xnn0xr  9244  xrltnr  9779  ltpnf  9780  mnfltpnf  9785  pnfnlt  9787  pnfge  9789  xrlttri3  9797  xnn0dcle  9802  nltpnft  9814  xgepnf  9816  xrrebnd  9819  xrre  9820  xrre2  9821  xnegcl  9832  xaddf  9844  xaddval  9845  xaddpnf1  9846  xaddpnf2  9847  pnfaddmnf  9850  mnfaddpnf  9851  xrex  9856  xaddass2  9870  xltadd1  9876  xlt2add  9880  xsubge0  9881  xposdif  9882  xleaddadd  9887  elioc2  9936  elico2  9937  elicc2  9938  ioomax  9948  iccmax  9949  ioopos  9950  elioopnf  9967  elicopnf  9969  unirnioo  9973  elxrge0  9978  dfrp2  10264  elicore  10267  hashinfom  10758  rexico  11230  xrmaxiflemcl  11253  xrmaxadd  11269  fprodge0  11645  fprodge1  11647  pcxcl  12311  pc2dvds  12329  pcadd  12339  xblpnfps  13901  xblpnf  13902  xblss2ps  13907  blssec  13941  blpnfctr  13942  reopnap  14041  blssioo  14048