Theorem pnfxr 8274

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	|- +oo e. RR*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3373	. . 3 |- { +oo , -oo } C_ ( RR u. { +oo , -oo } )
2		df-pnf 8258	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
3		cnex 8199	. . . . . . 7 |- CC e. _V
4	3	uniex 4540	. . . . . 6 |- U. CC e. _V
5	4	pwex 4279	. . . . 5 |- ~P U. CC e. _V
6	2, 5	eqeltri 2304	. . . 4 |- +oo e. _V
7	6	prid1 3781	. . 3 |- +oo e. { +oo , -oo }
8	1, 7	sselii 3225	. 2 |- +oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
9		df-xr 8260	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
10	8, 9	eleqtrri 2307	1 |- +oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   u. cun 3199   ~Pcpw 3656   {cpr 3674   U.cuni 3898   CCcc 8073   RRcr 8074   +oocpnf 8253   -oocmnf 8254   RR*cxr 8255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-un 4536  ax-cnex 8166

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-pnf 8258  df-xr 8260

This theorem is referenced by:  pnfex  8275  pnfnemnf  8276  xnn0xr  9514  xrltnr  10058  ltpnf  10059  mnfltpnf  10064  pnfnlt  10066  pnfge  10068  xrlttri3  10076  xnn0dcle  10081  nltpnft  10093  xgepnf  10095  xrrebnd  10098  xrre  10099  xrre2  10100  xnegcl  10111  xaddf  10123  xaddval  10124  xaddpnf1  10125  xaddpnf2  10126  pnfaddmnf  10129  mnfaddpnf  10130  xrex  10135  xaddass2  10149  xltadd1  10155  xlt2add  10159  xsubge0  10160  xposdif  10161  xleaddadd  10166  elioc2  10215  elico2  10216  elicc2  10217  ioomax  10227  iccmax  10228  ioopos  10229  elioopnf  10246  elicopnf  10248  unirnioo  10252  elxrge0  10257  dfrp2  10569  elicore  10572  xqltnle  10573  hashinfom  11086  rexico  11844  xrmaxiflemcl  11868  xrmaxadd  11884  fprodge0  12261  fprodge1  12263  pcxcl  12947  pc2dvds  12966  pcadd  12976  xblpnfps  15192  xblpnf  15193  xblss2ps  15198  blssec  15232  blpnfctr  15233  reopnap  15340  blssioo  15347  repiecelem  16740  repiecele0  16741  repiecege0  16742