ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pnfxr Unicode version

Theorem pnfxr 7840
Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
pnfxr  |- +oo  e.  RR*

Proof of Theorem pnfxr
StepHypRef Expression
1 ssun2 3243 . . 3  |-  { +oo , -oo }  C_  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
2 df-pnf 7824 . . . . 5  |- +oo  =  ~P U. CC
3 cnex 7766 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
43uniex 4365 . . . . . 6  |-  U. CC  e.  _V
54pwex 4113 . . . . 5  |-  ~P U. CC  e.  _V
62, 5eqeltri 2213 . . . 4  |- +oo  e.  _V
76prid1 3635 . . 3  |- +oo  e.  { +oo , -oo }
81, 7sselii 3097 . 2  |- +oo  e.  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
9 df-xr 7826 . 2  |-  RR*  =  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
108, 9eleqtrri 2216 1  |- +oo  e.  RR*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1481   _Vcvv 2689    u. cun 3072   ~Pcpw 3513   {cpr 3531   U.cuni 3742   CCcc 7640   RRcr 7641   +oocpnf 7819   -oocmnf 7820   RR*cxr 7821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-un 4361  ax-cnex 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-uni 3743  df-pnf 7824  df-xr 7826
This theorem is referenced by:  pnfex  7841  pnfnemnf  7842  xnn0xr  9067  xrltnr  9594  ltpnf  9595  mnfltpnf  9599  pnfnlt  9601  pnfge  9603  xrlttri3  9611  nltpnft  9625  xgepnf  9627  xrrebnd  9630  xrre  9631  xrre2  9632  xnegcl  9643  xaddf  9655  xaddval  9656  xaddpnf1  9657  xaddpnf2  9658  pnfaddmnf  9661  mnfaddpnf  9662  xrex  9667  xaddass2  9681  xltadd1  9687  xlt2add  9691  xsubge0  9692  xposdif  9693  xleaddadd  9698  elioc2  9747  elico2  9748  elicc2  9749  ioomax  9759  iccmax  9760  ioopos  9761  elioopnf  9778  elicopnf  9780  unirnioo  9784  elxrge0  9789  hashinfom  10554  rexico  11023  xrmaxiflemcl  11044  xrmaxadd  11060  xblpnfps  12599  xblpnf  12600  xblss2ps  12605  blssec  12639  blpnfctr  12640  reopnap  12739  blssioo  12746
  Copyright terms: Public domain W3C validator