Theorem pnfxr 8074

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	|- +oo e. RR*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3324	. . 3 |- { +oo , -oo } C_ ( RR u. { +oo , -oo } )
2		df-pnf 8058	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
3		cnex 7998	. . . . . . 7 |- CC e. _V
4	3	uniex 4469	. . . . . 6 |- U. CC e. _V
5	4	pwex 4213	. . . . 5 |- ~P U. CC e. _V
6	2, 5	eqeltri 2266	. . . 4 |- +oo e. _V
7	6	prid1 3725	. . 3 |- +oo e. { +oo , -oo }
8	1, 7	sselii 3177	. 2 |- +oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
9		df-xr 8060	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
10	8, 9	eleqtrri 2269	1 |- +oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   u. cun 3152   ~Pcpw 3602   {cpr 3620   U.cuni 3836   CCcc 7872   RRcr 7873   +oocpnf 8053   -oocmnf 8054   RR*cxr 8055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-un 4465  ax-cnex 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-pnf 8058  df-xr 8060

This theorem is referenced by:  pnfex  8075  pnfnemnf  8076  xnn0xr  9311  xrltnr  9848  ltpnf  9849  mnfltpnf  9854  pnfnlt  9856  pnfge  9858  xrlttri3  9866  xnn0dcle  9871  nltpnft  9883  xgepnf  9885  xrrebnd  9888  xrre  9889  xrre2  9890  xnegcl  9901  xaddf  9913  xaddval  9914  xaddpnf1  9915  xaddpnf2  9916  pnfaddmnf  9919  mnfaddpnf  9920  xrex  9925  xaddass2  9939  xltadd1  9945  xlt2add  9949  xsubge0  9950  xposdif  9951  xleaddadd  9956  elioc2  10005  elico2  10006  elicc2  10007  ioomax  10017  iccmax  10018  ioopos  10019  elioopnf  10036  elicopnf  10038  unirnioo  10042  elxrge0  10047  dfrp2  10335  elicore  10338  xqltnle  10339  hashinfom  10852  rexico  11368  xrmaxiflemcl  11391  xrmaxadd  11407  fprodge0  11783  fprodge1  11785  pcxcl  12452  pc2dvds  12471  pcadd  12481  xblpnfps  14577  xblpnf  14578  xblss2ps  14583  blssec  14617  blpnfctr  14618  reopnap  14725  blssioo  14732