Theorem pnfxr 8378

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	|- +oo e. RR*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3393	. . 3 |- { +oo , -oo } C_ ( RR u. { +oo , -oo } )
2		df-pnf 8362	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
3		cnex 8303	. . . . . . 7 |- CC e. _V
4	3	uniex 4583	. . . . . 6 |- U. CC e. _V
5	4	pwex 4320	. . . . 5 |- ~P U. CC e. _V
6	2, 5	eqeltri 2311	. . . 4 |- +oo e. _V
7	6	prid1 3817	. . 3 |- +oo e. { +oo , -oo }
8	1, 7	sselii 3245	. 2 |- +oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
9		df-xr 8364	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
10	8, 9	eleqtrri 2314	1 |- +oo e. RR*

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   ~Pcpw 3688   {cpr 3710   U.cuni 3935   CCcc 8177   RRcr 8178   +oocpnf 8357   -oocmnf 8358   RR*cxr 8359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-un 4578  ax-cnex 8270

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8362  df-xr 8364

This theorem is used by:  pnfex  8379  pnfnemnf  8380  xnn0xr  9635  xrltnr  10181  ltpnf  10182  mnfltpnf  10187  pnfnlt  10189  pnfge  10191  xrlttri3  10199  xnn0dcle  10204  nltpnft  10216  xgepnf  10218  xrrebnd  10221  xrre  10222  xrre2  10223  xnegcl  10234  xaddf  10246  xaddval  10247  xaddpnf1  10248  xaddpnf2  10249  pnfaddmnf  10252  mnfaddpnf  10253  xrex  10258  xaddass2  10272  xltadd1  10278  xlt2add  10282  xsubge0  10283  xposdif  10284  xleaddadd  10289  elioc2  10338  elico2  10339  elicc2  10340  ioomax  10350  iccmax  10351  ioopos  10352  elioopnf  10369  elicopnf  10371  unirnioo  10375  elxrge0  10380  dfrp2  10698  elicore  10701  xqltnle  10702  hashinfom  11217  rexico  11987  xrmaxiflemcl  12011  xrmaxadd  12027  fprodge0  12404  fprodge1  12406  pcxcl  13090  pc2dvds  13109  pcadd  13119  xblpnfps  15499  xblpnf  15500  xblss2ps  15505  blssec  15539  blpnfctr  15540  reopnap  15647  blssioo  15654  repiecelem  17074  repiecele0  17075  repiecege0  17076