Theorem pnfxr 8125

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	|- +oo e. RR*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3337	. . 3 |- { +oo , -oo } C_ ( RR u. { +oo , -oo } )
2		df-pnf 8109	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
3		cnex 8049	. . . . . . 7 |- CC e. _V
4	3	uniex 4484	. . . . . 6 |- U. CC e. _V
5	4	pwex 4227	. . . . 5 |- ~P U. CC e. _V
6	2, 5	eqeltri 2278	. . . 4 |- +oo e. _V
7	6	prid1 3739	. . 3 |- +oo e. { +oo , -oo }
8	1, 7	sselii 3190	. 2 |- +oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
9		df-xr 8111	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
10	8, 9	eleqtrri 2281	1 |- +oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   u. cun 3164   ~Pcpw 3616   {cpr 3634   U.cuni 3850   CCcc 7923   RRcr 7924   +oocpnf 8104   -oocmnf 8105   RR*cxr 8106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-un 4480  ax-cnex 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-pnf 8109  df-xr 8111

This theorem is referenced by:  pnfex  8126  pnfnemnf  8127  xnn0xr  9363  xrltnr  9901  ltpnf  9902  mnfltpnf  9907  pnfnlt  9909  pnfge  9911  xrlttri3  9919  xnn0dcle  9924  nltpnft  9936  xgepnf  9938  xrrebnd  9941  xrre  9942  xrre2  9943  xnegcl  9954  xaddf  9966  xaddval  9967  xaddpnf1  9968  xaddpnf2  9969  pnfaddmnf  9972  mnfaddpnf  9973  xrex  9978  xaddass2  9992  xltadd1  9998  xlt2add  10002  xsubge0  10003  xposdif  10004  xleaddadd  10009  elioc2  10058  elico2  10059  elicc2  10060  ioomax  10070  iccmax  10071  ioopos  10072  elioopnf  10089  elicopnf  10091  unirnioo  10095  elxrge0  10100  dfrp2  10406  elicore  10409  xqltnle  10410  hashinfom  10923  rexico  11532  xrmaxiflemcl  11556  xrmaxadd  11572  fprodge0  11948  fprodge1  11950  pcxcl  12634  pc2dvds  12653  pcadd  12663  xblpnfps  14870  xblpnf  14871  xblss2ps  14876  blssec  14910  blpnfctr  14911  reopnap  15018  blssioo  15025