Theorem pnfxr 8378

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	|- +oo e. RR*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3393	. . 3 |- { +oo , -oo } C_ ( RR u. { +oo , -oo } )
2		df-pnf 8362	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
3		cnex 8303	. . . . . . 7 |- CC e. _V
4	3	uniex 4583	. . . . . 6 |- U. CC e. _V
5	4	pwex 4320	. . . . 5 |- ~P U. CC e. _V
6	2, 5	eqeltri 2311	. . . 4 |- +oo e. _V
7	6	prid1 3817	. . 3 |- +oo e. { +oo , -oo }
8	1, 7	sselii 3245	. 2 |- +oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
9		df-xr 8364	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
10	8, 9	eleqtrri 2314	1 |- +oo e. RR*

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   ~Pcpw 3688   {cpr 3710   U.cuni 3935   CCcc 8177   RRcr 8178   +oocpnf 8357   -oocmnf 8358   RR*cxr 8359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-un 4578  ax-cnex 8270

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8362  df-xr 8364

This theorem is used by:  pnfex  8379  pnfnemnf  8380  xnn0xr  9639  xrltnr  10191  ltpnf  10192  mnfltpnf  10197  pnfnlt  10199  pnfge  10201  xrlttri3  10209  xnn0dcle  10214  nltpnft  10226  xgepnf  10228  xrrebnd  10231  xrre  10232  xrre2  10233  xnegcl  10244  xaddf  10256  xaddval  10257  xaddpnf1  10258  xaddpnf2  10259  pnfaddmnf  10262  mnfaddpnf  10263  xrex  10268  xaddass2  10282  xltadd1  10288  xlt2add  10292  xsubge0  10293  xposdif  10294  xleaddadd  10299  elioc2  10348  elico2  10349  elicc2  10350  ioomax  10360  iccmax  10361  ioopos  10362  elioopnf  10379  elicopnf  10381  unirnioo  10385  elxrge0  10390  dfrp2  10708  elicore  10711  xqltnle  10712  hashinfom  11231  rexico  12002  xrmaxiflemcl  12027  xrmaxadd  12043  fprodge0  12420  fprodge1  12422  pcxcl  13110  pc2dvds  13129  pcadd  13139  xblpnfps  15548  xblpnf  15549  xblss2ps  15554  blssec  15588  blpnfctr  15589  reopnap  15696  blssioo  15703  repiecelem  17172  repiecele0  17173  repiecege0  17174