Theorem pnfxr 8124

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	|- +oo e. RR*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3336	. . 3 |- { +oo , -oo } C_ ( RR u. { +oo , -oo } )
2		df-pnf 8108	. . . . 5 |- +oo = ~P U. CC
3		cnex 8048	. . . . . . 7 |- CC e. _V
4	3	uniex 4483	. . . . . 6 |- U. CC e. _V
5	4	pwex 4226	. . . . 5 |- ~P U. CC e. _V
6	2, 5	eqeltri 2277	. . . 4 |- +oo e. _V
7	6	prid1 3738	. . 3 |- +oo e. { +oo , -oo }
8	1, 7	sselii 3189	. 2 |- +oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
9		df-xr 8110	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
10	8, 9	eleqtrri 2280	1 |- +oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   u. cun 3163   ~Pcpw 3615   {cpr 3633   U.cuni 3849   CCcc 7922   RRcr 7923   +oocpnf 8103   -oocmnf 8104   RR*cxr 8105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-un 4479  ax-cnex 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-uni 3850  df-pnf 8108  df-xr 8110

This theorem is referenced by:  pnfex  8125  pnfnemnf  8126  xnn0xr  9362  xrltnr  9900  ltpnf  9901  mnfltpnf  9906  pnfnlt  9908  pnfge  9910  xrlttri3  9918  xnn0dcle  9923  nltpnft  9935  xgepnf  9937  xrrebnd  9940  xrre  9941  xrre2  9942  xnegcl  9953  xaddf  9965  xaddval  9966  xaddpnf1  9967  xaddpnf2  9968  pnfaddmnf  9971  mnfaddpnf  9972  xrex  9977  xaddass2  9991  xltadd1  9997  xlt2add  10001  xsubge0  10002  xposdif  10003  xleaddadd  10008  elioc2  10057  elico2  10058  elicc2  10059  ioomax  10069  iccmax  10070  ioopos  10071  elioopnf  10088  elicopnf  10090  unirnioo  10094  elxrge0  10099  dfrp2  10404  elicore  10407  xqltnle  10408  hashinfom  10921  rexico  11503  xrmaxiflemcl  11527  xrmaxadd  11543  fprodge0  11919  fprodge1  11921  pcxcl  12605  pc2dvds  12624  pcadd  12634  xblpnfps  14841  xblpnf  14842  xblss2ps  14847  blssec  14881  blpnfctr  14882  reopnap  14989  blssioo  14996