ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pnfxr Unicode version

Theorem pnfxr 7786
Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
pnfxr  |- +oo  e.  RR*

Proof of Theorem pnfxr
StepHypRef Expression
1 ssun2 3210 . . 3  |-  { +oo , -oo }  C_  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
2 df-pnf 7770 . . . . 5  |- +oo  =  ~P U. CC
3 cnex 7712 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
43uniex 4329 . . . . . 6  |-  U. CC  e.  _V
54pwex 4077 . . . . 5  |-  ~P U. CC  e.  _V
62, 5eqeltri 2190 . . . 4  |- +oo  e.  _V
76prid1 3599 . . 3  |- +oo  e.  { +oo , -oo }
81, 7sselii 3064 . 2  |- +oo  e.  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
9 df-xr 7772 . 2  |-  RR*  =  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
108, 9eleqtrri 2193 1  |- +oo  e.  RR*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1465   _Vcvv 2660    u. cun 3039   ~Pcpw 3480   {cpr 3498   U.cuni 3706   CCcc 7586   RRcr 7587   +oocpnf 7765   -oocmnf 7766   RR*cxr 7767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-un 4325  ax-cnex 7679
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-uni 3707  df-pnf 7770  df-xr 7772
This theorem is referenced by:  pnfex  7787  pnfnemnf  7788  xnn0xr  9013  xrltnr  9534  ltpnf  9535  mnfltpnf  9539  pnfnlt  9541  pnfge  9543  xrlttri3  9551  nltpnft  9565  xgepnf  9567  xrrebnd  9570  xrre  9571  xrre2  9572  xnegcl  9583  xaddf  9595  xaddval  9596  xaddpnf1  9597  xaddpnf2  9598  pnfaddmnf  9601  mnfaddpnf  9602  xrex  9607  xaddass2  9621  xltadd1  9627  xlt2add  9631  xsubge0  9632  xposdif  9633  xleaddadd  9638  elioc2  9687  elico2  9688  elicc2  9689  ioomax  9699  iccmax  9700  ioopos  9701  elioopnf  9718  elicopnf  9720  unirnioo  9724  elxrge0  9729  hashinfom  10492  rexico  10961  xrmaxiflemcl  10982  xrmaxadd  10998  xblpnfps  12494  xblpnf  12495  xblss2ps  12500  blssec  12534  blpnfctr  12535  reopnap  12634  blssioo  12641
  Copyright terms: Public domain W3C validator