Theorem xleaddadd 10121

Description: Cancelling a factor of two in <_ (expressed as addition rather than as a factor to avoid extended real multiplication). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xleaddadd	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )

Proof of Theorem xleaddadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8164	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2	1	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> A e. CC )
3	2	2timesd 9386	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )
4		recn 8164	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. CC )
5	4	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> B e. CC )
6	5	2timesd 9386	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( 2 x. B ) = ( B + B ) )
7	3, 6	breq12d 4101	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( ( 2 x. A ) <_ ( 2 x. B ) <-> ( A + A ) <_ ( B + B ) ) )
8		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> A e. RR )
9		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> B e. RR )
10		2re 9212	. . . . . 6 |- 2 e. RR
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> 2 e. RR )
12		2pos 9233	. . . . . 6 |- 0 < 2
13	12	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> 0 < 2 )
14		lemul2 9036	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( A <_ B <-> ( 2 x. A ) <_ ( 2 x. B ) ) )
15	8, 9, 11, 13, 14	syl112anc 1277	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( 2 x. A ) <_ ( 2 x. B ) ) )
16	8, 8	rexaddd 10088	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A +e A ) = ( A + A ) )
17	9, 9	rexaddd 10088	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( B +e B ) = ( B + B ) )
18	16, 17	breq12d 4101	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( ( A +e A ) <_ ( B +e B ) <-> ( A + A ) <_ ( B + B ) ) )
19	7, 15, 18	3bitr4d 220	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
20		renepnf 8226	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> B =/= +oo )
21	20	neneqd 2423	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> -. B = +oo )
22	21	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. B = +oo )
23		xgepnf 10050	. . . . . . 7 |- ( B e. RR* -> ( +oo <_ B <-> B = +oo ) )
24	23	ad3antlr 493	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( +oo <_ B <-> B = +oo ) )
25	22, 24	mtbird 679	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. +oo <_ B )
26		breq1 4091	. . . . . 6 |- ( A = +oo -> ( A <_ B <-> +oo <_ B ) )
27	26	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A <_ B <-> +oo <_ B ) )
28	25, 27	mtbird 679	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. A <_ B )
29		simplr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> B e. RR )
30	29, 29	rexaddd 10088	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( B +e B ) = ( B + B ) )
31	29, 29	readdcld 8208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( B + B ) e. RR )
32	30, 31	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( B +e B ) e. RR )
33		renepnf 8226	. . . . . . . 8 |- ( ( B +e B ) e. RR -> ( B +e B ) =/= +oo )
34	33	neneqd 2423	. . . . . . 7 |- ( ( B +e B ) e. RR -> -. ( B +e B ) = +oo )
35	32, 34	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. ( B +e B ) = +oo )
36		simpllr 536	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> B e. RR* )
37	36, 36	xaddcld 10118	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( B +e B ) e. RR* )
38		xgepnf 10050	. . . . . . 7 |- ( ( B +e B ) e. RR* -> ( +oo <_ ( B +e B ) <-> ( B +e B ) = +oo ) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( +oo <_ ( B +e B ) <-> ( B +e B ) = +oo ) )
40	35, 39	mtbird 679	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. +oo <_ ( B +e B ) )
41		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> A = +oo )
42	41, 41	oveq12d 6035	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A +e A ) = ( +oo +e +oo ) )
43		pnfxr 8231	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
44		pnfnemnf 8233	. . . . . . . 8 |- +oo =/= -oo
45		xaddpnf2 10081	. . . . . . . 8 |- ( ( +oo e. RR* /\ +oo =/= -oo ) -> ( +oo +e +oo ) = +oo )
46	43, 44, 45	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( +oo +e +oo ) = +oo
47	42, 46	eqtrdi 2280	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A +e A ) = +oo )
48	47	breq1d 4098	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( ( A +e A ) <_ ( B +e B ) <-> +oo <_ ( B +e B ) ) )
49	40, 48	mtbird 679	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
50	28, 49	2falsed 709	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
51		mnfle 10026	. . . . . 6 |- ( B e. RR* -> -oo <_ B )
52	51	ad3antlr 493	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> -oo <_ B )
53		breq1 4091	. . . . . 6 |- ( A = -oo -> ( A <_ B <-> -oo <_ B ) )
54	53	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A <_ B <-> -oo <_ B ) )
55	52, 54	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> A <_ B )
56		oveq1 6024	. . . . . . 7 |- ( A = -oo -> ( A +e A ) = ( -oo +e A ) )
57	56	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) = ( -oo +e A ) )
58		simplll 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> A e. RR* )
59		mnfnepnf 8234	. . . . . . . . 9 |- -oo =/= +oo
60		neeq1 2415	. . . . . . . . 9 |- ( A = -oo -> ( A =/= +oo <-> -oo =/= +oo ) )
61	59, 60	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( A = -oo -> A =/= +oo )
62	61	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> A =/= +oo )
63		xaddmnf2 10083	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( -oo +e A ) = -oo )
64	58, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( -oo +e A ) = -oo )
65	57, 64	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) = -oo )
66		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> B e. RR* )
67	66, 66	xaddcld 10118	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B +e B ) e. RR* )
68	67	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( B +e B ) e. RR* )
69		mnfle 10026	. . . . . 6 |- ( ( B +e B ) e. RR* -> -oo <_ ( B +e B ) )
70	68, 69	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> -oo <_ ( B +e B ) )
71	65, 70	eqbrtrd 4110	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
72	55, 71	2thd 175	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
73		elxr 10010	. . . . 5 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
74	73	biimpi 120	. . . 4 |- ( A e. RR* -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
75	74	ad2antrr 488	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
76	19, 50, 72, 75	mpjao3dan 1343	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
77		pnfge 10023	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
78	77	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> A <_ +oo )
79		breq2 4092	. . . . 5 |- ( B = +oo -> ( A <_ B <-> A <_ +oo ) )
80	79	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A <_ B <-> A <_ +oo ) )
81	78, 80	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> A <_ B )
82		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> A e. RR* )
83	82, 82	xaddcld 10118	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A +e A ) e. RR* )
84		pnfge 10023	. . . . 5 |- ( ( A +e A ) e. RR* -> ( A +e A ) <_ +oo )
85	83, 84	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A +e A ) <_ +oo )
86		oveq1 6024	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> ( B +e B ) = ( +oo +e B ) )
87		eleq1 2294	. . . . . . . 8 |- ( B = +oo -> ( B e. RR* <-> +oo e. RR* ) )
88	43, 87	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> B e. RR* )
89		neeq1 2415	. . . . . . . 8 |- ( B = +oo -> ( B =/= -oo <-> +oo =/= -oo ) )
90	44, 89	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> B =/= -oo )
91		xaddpnf2 10081	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) -> ( +oo +e B ) = +oo )
92	88, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> ( +oo +e B ) = +oo )
93	86, 92	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( B = +oo -> ( B +e B ) = +oo )
94	93	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( B +e B ) = +oo )
95	85, 94	breqtrrd 4116	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
96	81, 95	2thd 175	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
97		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> A e. RR )
98	97	renemnfd 8230	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> A =/= -oo )
99	98	neneqd 2423	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> -. A = -oo )
100		ngtmnft 10051	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR* -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
101		mnfxr 8235	. . . . . . . . . 10 |- -oo e. RR*
102		xrlenlt 8243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> ( A <_ -oo <-> -. -oo < A ) )
103	101, 102	mpan2 425	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR* -> ( A <_ -oo <-> -. -oo < A ) )
104	100, 103	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( A = -oo <-> A <_ -oo ) )
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A = -oo <-> A <_ -oo ) )
106		breq2 4092	. . . . . . . 8 |- ( B = -oo -> ( A <_ B <-> A <_ -oo ) )
107	106	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A <_ B <-> A <_ -oo ) )
108	105, 107	bitr4d 191	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A = -oo <-> A <_ B ) )
109	108	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A = -oo <-> A <_ B ) )
110	99, 109	mtbid 678	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> -. A <_ B )
111	97, 97	rexaddd 10088	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A +e A ) = ( A + A ) )
112	97, 97	readdcld 8208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A + A ) e. RR )
113	111, 112	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A +e A ) e. RR )
114	113	renemnfd 8230	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A +e A ) =/= -oo )
115	114	neneqd 2423	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> -. ( A +e A ) = -oo )
116		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> A e. RR* )
117	116, 116	xaddcld 10118	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A +e A ) e. RR* )
118		xrlenlt 8243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A +e A ) e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> ( ( A +e A ) <_ -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
119	101, 118	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( ( A +e A ) e. RR* -> ( ( A +e A ) <_ -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
120	117, 119	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( ( A +e A ) <_ -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
121		oveq2 6025	. . . . . . . . . 10 |- ( B = -oo -> ( B +e B ) = ( B +e -oo ) )
122		eleq1 2294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = -oo -> ( B e. RR* <-> -oo e. RR* ) )
123	101, 122	mpbiri 168	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = -oo -> B e. RR* )
124	90	necon2i 2458	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = -oo -> B =/= +oo )
125		xaddmnf1 10082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= +oo ) -> ( B +e -oo ) = -oo )
126	123, 124, 125	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( B = -oo -> ( B +e -oo ) = -oo )
127	121, 126	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 |- ( B = -oo -> ( B +e B ) = -oo )
128	127	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( B +e B ) = -oo )
129	128	breq2d 4100	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( ( A +e A ) <_ ( B +e B ) <-> ( A +e A ) <_ -oo ) )
130		ngtmnft 10051	. . . . . . . 8 |- ( ( A +e A ) e. RR* -> ( ( A +e A ) = -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
131	117, 130	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( ( A +e A ) = -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
132	120, 129, 131	3bitr4rd 221	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( ( A +e A ) = -oo <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
133	132	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( ( A +e A ) = -oo <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
134	115, 133	mtbid 678	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> -. ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
135	110, 134	2falsed 709	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
136	44	neii 2404	. . . . . 6 |- -. +oo = -oo
137		eqeq1 2238	. . . . . . 7 |- ( A = +oo -> ( A = -oo <-> +oo = -oo ) )
138	137	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A = -oo <-> +oo = -oo ) )
139	136, 138	mtbiri 681	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> -. A = -oo )
140	108	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A = -oo <-> A <_ B ) )
141	139, 140	mtbid 678	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> -. A <_ B )
142		simplll 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> A e. RR* )
143	139	neqned 2409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> A =/= -oo )
144		xaddnemnf 10091	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) /\ ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) ) -> ( A +e A ) =/= -oo )
145	142, 143, 142, 143, 144	syl22anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A +e A ) =/= -oo )
146	145	neneqd 2423	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> -. ( A +e A ) = -oo )
147	132	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( ( A +e A ) = -oo <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
148	146, 147	mtbid 678	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> -. ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
149	141, 148	2falsed 709	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
150	108	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> A <_ B )
151		simplll 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> A e. RR* )
152	151, 151	xaddcld 10118	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) e. RR* )
153	152	xrleidd 10035	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) <_ ( A +e A ) )
154		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> A = -oo )
155		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> B = -oo )
156	154, 155	eqtr4d 2267	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> A = B )
157	156, 156	oveq12d 6035	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) = ( B +e B ) )
158	153, 157	breqtrd 4114	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
159	150, 158	2thd 175	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
160	74	ad2antrr 488	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
161	135, 149, 159, 160	mpjao3dan 1343	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
162		elxr 10010	. . . 4 |- ( B e. RR* <-> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
163	162	biimpi 120	. . 3 |- ( B e. RR* -> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
164	163	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
165	76, 96, 161, 164	mpjao3dan 1343	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 1003   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   CCcc 8029   RRcr 8030   0cc0 8031   + caddc 8034   x. cmul 8036   +oocpnf 8210   -oocmnf 8211   RR*cxr 8212   < clt 8213   <_ cle 8214   2c2 9193   +ecxad 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-2 9201  df-xadd 10007

This theorem is referenced by:  psmetge0  15054  xmetge0  15088