ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xleaddadd Unicode version

Theorem xleaddadd 9919
Description: Cancelling a factor of two in  <_ (expressed as addition rather than as a factor to avoid extended real multiplication). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
xleaddadd  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )

Proof of Theorem xleaddadd
StepHypRef Expression
1 recn 7975 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
21adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
322timesd 9192 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  (
2  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
4 recn 7975 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
54ad2antlr 489 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
652timesd 9192 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  (
2  x.  B )  =  ( B  +  B ) )
73, 6breq12d 4031 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  A
)  <_  ( 2  x.  B )  <->  ( A  +  A )  <_  ( B  +  B )
) )
8 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
9 simplr 528 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
10 2re 9020 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
1110a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  2  e.  RR )
12 2pos 9041 . . . . . 6  |-  0  <  2
1312a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  0  <  2 )
14 lemul2 8845 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  <_  B 
<->  ( 2  x.  A
)  <_  ( 2  x.  B ) ) )
158, 9, 11, 13, 14syl112anc 1253 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( 2  x.  A )  <_ 
( 2  x.  B
) ) )
168, 8rexaddd 9886 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A +e A )  =  ( A  +  A ) )
179, 9rexaddd 9886 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B +e B )  =  ( B  +  B ) )
1816, 17breq12d 4031 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  (
( A +e
A )  <_  ( B +e B )  <-> 
( A  +  A
)  <_  ( B  +  B ) ) )
197, 15, 183bitr4d 220 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
20 renepnf 8036 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  B  =/= +oo )
2120neneqd 2381 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  -.  B  = +oo )
2221ad2antlr 489 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  -.  B  = +oo )
23 xgepnf 9848 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( +oo  <_  B  <->  B  = +oo ) )
2423ad3antlr 493 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( +oo  <_  B  <->  B  = +oo ) )
2522, 24mtbird 674 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  -. +oo 
<_  B )
26 breq1 4021 . . . . . 6  |-  ( A  = +oo  ->  ( A  <_  B  <-> +oo  <_  B
) )
2726adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( A  <_  B  <-> +oo  <_  B
) )
2825, 27mtbird 674 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  -.  A  <_  B )
29 simplr 528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  B  e.  RR )
3029, 29rexaddd 9886 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( B +e B )  =  ( B  +  B ) )
3129, 29readdcld 8018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( B  +  B )  e.  RR )
3230, 31eqeltrd 2266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( B +e B )  e.  RR )
33 renepnf 8036 . . . . . . . 8  |-  ( ( B +e B )  e.  RR  ->  ( B +e B )  =/= +oo )
3433neneqd 2381 . . . . . . 7  |-  ( ( B +e B )  e.  RR  ->  -.  ( B +e
B )  = +oo )
3532, 34syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  -.  ( B +e B )  = +oo )
36 simpllr 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  B  e.  RR* )
3736, 36xaddcld 9916 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( B +e B )  e.  RR* )
38 xgepnf 9848 . . . . . . 7  |-  ( ( B +e B )  e.  RR*  ->  ( +oo  <_  ( B +e B )  <-> 
( B +e
B )  = +oo ) )
3937, 38syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( +oo  <_  ( B +e B )  <->  ( B +e B )  = +oo ) )
4035, 39mtbird 674 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  -. +oo 
<_  ( B +e
B ) )
41 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  A  = +oo )
4241, 41oveq12d 5915 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e A )  =  ( +oo +e +oo ) )
43 pnfxr 8041 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
44 pnfnemnf 8043 . . . . . . . 8  |- +oo  =/= -oo
45 xaddpnf2 9879 . . . . . . . 8  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\ +oo  =/= -oo )  ->  ( +oo +e +oo )  = +oo )
4643, 44, 45mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( +oo +e +oo )  = +oo
4742, 46eqtrdi 2238 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e A )  = +oo )
4847breq1d 4028 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  (
( A +e
A )  <_  ( B +e B )  <-> +oo  <_  ( B +e B ) ) )
4940, 48mtbird 674 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  -.  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) )
5028, 492falsed 703 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
51 mnfle 9824 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR*  -> -oo  <_  B )
5251ad3antlr 493 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  -> -oo  <_  B )
53 breq1 4021 . . . . . 6  |-  ( A  = -oo  ->  ( A  <_  B  <-> -oo  <_  B
) )
5453adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( A  <_  B  <-> -oo  <_  B
) )
5552, 54mpbird 167 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  A  <_  B )
56 oveq1 5904 . . . . . . 7  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e A )  =  ( -oo +e A ) )
5756adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e A )  =  ( -oo +e A ) )
58 simplll 533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  A  e.  RR* )
59 mnfnepnf 8044 . . . . . . . . 9  |- -oo  =/= +oo
60 neeq1 2373 . . . . . . . . 9  |-  ( A  = -oo  ->  ( A  =/= +oo  <-> -oo  =/= +oo )
)
6159, 60mpbiri 168 . . . . . . . 8  |-  ( A  = -oo  ->  A  =/= +oo )
6261adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  A  =/= +oo )
63 xaddmnf2 9881 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( -oo +e A )  = -oo )
6458, 62, 63syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( -oo +e A )  = -oo )
6557, 64eqtrd 2222 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e A )  = -oo )
66 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  B  e.  RR* )
6766, 66xaddcld 9916 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B +e B )  e.  RR* )
6867ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( B +e B )  e.  RR* )
69 mnfle 9824 . . . . . 6  |-  ( ( B +e B )  e.  RR*  -> -oo 
<_  ( B +e
B ) )
7068, 69syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  -> -oo  <_  ( B +e B ) )
7165, 70eqbrtrd 4040 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) )
7255, 712thd 175 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
73 elxr 9808 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
7473biimpi 120 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
7574ad2antrr 488 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
7619, 50, 72, 75mpjao3dan 1318 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B 
<->  ( A +e
A )  <_  ( B +e B ) ) )
77 pnfge 9821 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
7877ad2antrr 488 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  A  <_ +oo )
79 breq2 4022 . . . . 5  |-  ( B  = +oo  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_ +oo ) )
8079adantl 277 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  ( A  <_  B 
<->  A  <_ +oo )
)
8178, 80mpbird 167 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  A  <_  B
)
82 simpll 527 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  A  e.  RR* )
8382, 82xaddcld 9916 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e A )  e. 
RR* )
84 pnfge 9821 . . . . 5  |-  ( ( A +e A )  e.  RR*  ->  ( A +e A )  <_ +oo )
8583, 84syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e A )  <_ +oo )
86 oveq1 5904 . . . . . 6  |-  ( B  = +oo  ->  ( B +e B )  =  ( +oo +e B ) )
87 eleq1 2252 . . . . . . . 8  |-  ( B  = +oo  ->  ( B  e.  RR*  <-> +oo  e.  RR* ) )
8843, 87mpbiri 168 . . . . . . 7  |-  ( B  = +oo  ->  B  e.  RR* )
89 neeq1 2373 . . . . . . . 8  |-  ( B  = +oo  ->  ( B  =/= -oo  <-> +oo  =/= -oo )
)
9044, 89mpbiri 168 . . . . . . 7  |-  ( B  = +oo  ->  B  =/= -oo )
91 xaddpnf2 9879 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )  ->  ( +oo +e B )  = +oo )
9288, 90, 91syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( B  = +oo  ->  ( +oo +e B )  = +oo )
9386, 92eqtrd 2222 . . . . 5  |-  ( B  = +oo  ->  ( B +e B )  = +oo )
9493adantl 277 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  ( B +e B )  = +oo )
9585, 94breqtrrd 4046 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e A )  <_ 
( B +e
B ) )
9681, 952thd 175 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  ( A  <_  B 
<->  ( A +e
A )  <_  ( B +e B ) ) )
97 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
9897renemnfd 8040 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  A  =/= -oo )
9998neneqd 2381 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  -.  A  = -oo )
100 ngtmnft 9849 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A ) )
101 mnfxr 8045 . . . . . . . . . 10  |- -oo  e.  RR*
102 xrlenlt 8053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ -oo  e.  RR* )  ->  ( A  <_ -oo  <->  -. -oo  <  A
) )
103101, 102mpan2 425 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <_ -oo  <->  -. -oo  <  A
) )
104100, 103bitr4d 191 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = -oo  <->  A  <_ -oo ) )
105104ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( A  = -oo  <->  A  <_ -oo )
)
106 breq2 4022 . . . . . . . 8  |-  ( B  = -oo  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_ -oo ) )
107106adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( A  <_  B 
<->  A  <_ -oo )
)
108105, 107bitr4d 191 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( A  = -oo  <->  A  <_  B ) )
109108adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  = -oo  <->  A  <_  B ) )
11099, 109mtbid 673 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  -.  A  <_  B )
11197, 97rexaddd 9886 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A +e A )  =  ( A  +  A ) )
11297, 97readdcld 8018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  +  A )  e.  RR )
113111, 112eqeltrd 2266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A +e A )  e.  RR )
114113renemnfd 8040 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A +e A )  =/= -oo )
115114neneqd 2381 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  -.  ( A +e A )  = -oo )
116 simpll 527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  A  e.  RR* )
117116, 116xaddcld 9916 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e A )  e. 
RR* )
118 xrlenlt 8053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A +e
A )  e.  RR*  /\ -oo  e.  RR* )  ->  (
( A +e
A )  <_ -oo  <->  -. -oo  <  ( A +e A ) ) )
119101, 118mpan2 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( A +e A )  e.  RR*  ->  ( ( A +e
A )  <_ -oo  <->  -. -oo  <  ( A +e A ) ) )
120117, 119syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( ( A +e A )  <_ -oo  <->  -. -oo  <  ( A +e A ) ) )
121 oveq2 5905 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  = -oo  ->  ( B +e B )  =  ( B +e -oo ) )
122 eleq1 2252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  = -oo  ->  ( B  e.  RR*  <-> -oo  e.  RR* ) )
123101, 122mpbiri 168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  = -oo  ->  B  e.  RR* )
12490necon2i 2416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  = -oo  ->  B  =/= +oo )
125 xaddmnf1 9880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/= +oo )  ->  ( B +e -oo )  = -oo )
126123, 124, 125syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  = -oo  ->  ( B +e -oo )  = -oo )
127121, 126eqtrd 2222 . . . . . . . . 9  |-  ( B  = -oo  ->  ( B +e B )  = -oo )
128127adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( B +e B )  = -oo )
129128breq2d 4030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( ( A +e A )  <_  ( B +e B )  <->  ( A +e A )  <_ -oo ) )
130 ngtmnft 9849 . . . . . . . 8  |-  ( ( A +e A )  e.  RR*  ->  ( ( A +e
A )  = -oo  <->  -. -oo 
<  ( A +e A ) ) )
131117, 130syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( ( A +e A )  = -oo  <->  -. -oo  <  ( A +e A ) ) )
132120, 129, 1313bitr4rd 221 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( ( A +e A )  = -oo  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
133132adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  (
( A +e
A )  = -oo  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
134115, 133mtbid 673 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  -.  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) )
135110, 1342falsed 703 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
13644neii 2362 . . . . . 6  |-  -. +oo  = -oo
137 eqeq1 2196 . . . . . . 7  |-  ( A  = +oo  ->  ( A  = -oo  <-> +oo  = -oo ) )
138137adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  ( A  = -oo  <-> +oo  = -oo ) )
139136, 138mtbiri 676 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  -.  A  = -oo )
140108adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  ( A  = -oo  <->  A  <_  B ) )
141139, 140mtbid 673 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  -.  A  <_  B )
142 simplll 533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  A  e.  RR* )
143139neqned 2367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  A  =/= -oo )
144 xaddnemnf 9889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  /\  ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )
)  ->  ( A +e A )  =/= -oo )
145142, 143, 142, 143, 144syl22anc 1250 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e A )  =/= -oo )
146145neneqd 2381 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  -.  ( A +e A )  = -oo )
147132adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  (
( A +e
A )  = -oo  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
148146, 147mtbid 673 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  -.  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) )
149141, 1482falsed 703 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
150108biimpa 296 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  A  <_  B )
151 simplll 533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  A  e.  RR* )
152151, 151xaddcld 9916 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e A )  e.  RR* )
153152xrleidd 9833 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e A )  <_  ( A +e A ) )
154 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  A  = -oo )
155 simplr 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  B  = -oo )
156154, 155eqtr4d 2225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  A  =  B )
157156, 156oveq12d 5915 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e A )  =  ( B +e B ) )
158153, 157breqtrd 4044 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) )
159150, 1582thd 175 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
16074ad2antrr 488 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
161135, 149, 159, 160mpjao3dan 1318 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( A  <_  B 
<->  ( A +e
A )  <_  ( B +e B ) ) )
162 elxr 9808 . . . 4  |-  ( B  e.  RR*  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
163162biimpi 120 . . 3  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
164163adantl 277 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
16576, 96, 161, 164mpjao3dan 1318 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ w3o 979    = wceq 1364    e. wcel 2160    =/= wne 2360   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   CCcc 7840   RRcr 7841   0cc0 7842    + caddc 7845    x. cmul 7847   +oocpnf 8020   -oocmnf 8021   RR*cxr 8022    < clt 8023    <_ cle 8024   2c2 9001   +ecxad 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-2 9009  df-xadd 9805
This theorem is referenced by:  psmetge0  14308  xmetge0  14342
  Copyright terms: Public domain W3C validator