xleaddadd - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem xleaddadd 10268

Description: Cancelling a factor of two in

(expressed as addition rather than as a factor to avoid extended real multiplication). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
xleaddadd	$/\$

**Proof of Theorem xleaddadd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8302	. . . . . . 7
2	1	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
3	2	2timesd 9527	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
4		recn 8302	. . . . . . 7
5	4	ad2antlr 493	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
6	5	2timesd 9527	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
7	3, 6	breq12d 4138	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
8		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
9		simplr 533	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
10		2re 9353	. . . . . 6
11	10	a1i 9	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
12		2pos 9374	. . . . . 6
13	12	a1i 9	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
14		lemul2 9177	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
15	8, 9, 11, 13, 14	syl112anc 1282	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
16	8, 8	rexaddd 10235	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
17	9, 9	rexaddd 10235	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
18	16, 17	breq12d 4138	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
19	7, 15, 18	3bitr4d 220	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
20		renepnf 8363	. . . . . . . 8
21	20	neneqd 2441	. . . . . . 7
22	21	ad2antlr 493	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
23		xgepnf 10197	. . . . . . 7
24	23	ad3antlr 497	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
25	22, 24	mtbird 684	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
26		breq1 4128	. . . . . 6
27	26	adantl 277	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
28	25, 27	mtbird 684	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
29		simplr 533	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
30	29, 29	rexaddd 10235	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	29, 29	readdcld 8345	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
32	30, 31	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33		renepnf 8363	. . . . . . . 8
34	33	neneqd 2441	. . . . . . 7
35	32, 34	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
36		simpllr 540	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
37	36, 36	xaddcld 10265	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
38		xgepnf 10197	. . . . . . 7
39	37, 38	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
40	35, 39	mtbird 684	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
41		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
42	41, 41	oveq12d 6093	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
43		pnfxr 8368	. . . . . . . 8
44		pnfnemnf 8370	. . . . . . . 8
45		xaddpnf2 10228	. . . . . . . 8 $/\$
46	43, 44, 45	mp2an 430	. . . . . . 7
47	42, 46	eqtrdi 2287	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	breq1d 4135	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
49	40, 48	mtbird 684	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
50	28, 49	2falsed 714	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
51		mnfle 10173	. . . . . 6
52	51	ad3antlr 497	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
53		breq1 4128	. . . . . 6
54	53	adantl 277	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
55	52, 54	mpbird 167	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
56		oveq1 6082	. . . . . . 7
57	56	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
58		simplll 539	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
59		mnfnepnf 8371	. . . . . . . . 9
60		neeq1 2433	. . . . . . . . 9
61	59, 60	mpbiri 168	. . . . . . . 8
62	61	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
63		xaddmnf2 10230	. . . . . . 7 $/\$
64	58, 62, 63	syl2anc 415	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
65	57, 64	eqtrd 2271	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
66		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$
67	66, 66	xaddcld 10265	. . . . . . 7 $/\$
68	67	ad2antrr 492	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
69		mnfle 10173	. . . . . 6
70	68, 69	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
71	65, 70	eqbrtrd 4147	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
72	55, 71	2thd 175	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
73		elxr 10157	. . . . 5 $\/$ $\/$
74	73	biimpi 120	. . . 4 $\/$ $\/$
75	74	ad2antrr 492	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
76	19, 50, 72, 75	mpjao3dan 1348	. 2 $/\$ $/\$
77		pnfge 10170	. . . . 5
78	77	ad2antrr 492	. . . 4 $/\$ $/\$
79		breq2 4129	. . . . 5
80	79	adantl 277	. . . 4 $/\$ $/\$
81	78, 80	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
82		simpll 531	. . . . . 6 $/\$ $/\$
83	82, 82	xaddcld 10265	. . . . 5 $/\$ $/\$
84		pnfge 10170	. . . . 5
85	83, 84	syl 14	. . . 4 $/\$ $/\$
86		oveq1 6082	. . . . . 6
87		eleq1 2301	. . . . . . . 8
88	43, 87	mpbiri 168	. . . . . . 7
89		neeq1 2433	. . . . . . . 8
90	44, 89	mpbiri 168	. . . . . . 7
91		xaddpnf2 10228	. . . . . . 7 $/\$
92	88, 90, 91	syl2anc 415	. . . . . 6
93	86, 92	eqtrd 2271	. . . . 5
94	93	adantl 277	. . . 4 $/\$ $/\$
95	85, 94	breqtrrd 4153	. . 3 $/\$ $/\$
96	81, 95	2thd 175	. 2 $/\$ $/\$
97		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	renemnfd 8367	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
99	98	neneqd 2441	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
100		ngtmnft 10198	. . . . . . . . 9
101		mnfxr 8372	. . . . . . . . . 10
102		xrlenlt 8380	. . . . . . . . . 10 $/\$
103	101, 102	mpan2 429	. . . . . . . . 9
104	100, 103	bitr4d 191	. . . . . . . 8
105	104	ad2antrr 492	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
106		breq2 4129	. . . . . . . 8
107	106	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
108	105, 107	bitr4d 191	. . . . . 6 $/\$ $/\$
109	108	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
110	99, 109	mtbid 683	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
111	97, 97	rexaddd 10235	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
112	97, 97	readdcld 8345	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
113	111, 112	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	renemnfd 8367	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	neneqd 2441	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
116		simpll 531	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
117	116, 116	xaddcld 10265	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
118		xrlenlt 8380	. . . . . . . . 9 $/\$
119	101, 118	mpan2 429	. . . . . . . 8
120	117, 119	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
121		oveq2 6083	. . . . . . . . . 10
122		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . 12
123	101, 122	mpbiri 168	. . . . . . . . . . 11
124	90	necon2i 2476	. . . . . . . . . . 11
125		xaddmnf1 10229	. . . . . . . . . . 11 $/\$
126	123, 124, 125	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10
127	121, 126	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9
128	127	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
129	128	breq2d 4137	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
130		ngtmnft 10198	. . . . . . . 8
131	117, 130	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
132	120, 129, 131	3bitr4rd 221	. . . . . 6 $/\$ $/\$
133	132	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
134	115, 133	mtbid 683	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
135	110, 134	2falsed 714	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
136	44	neii 2422	. . . . . 6
137		eqeq1 2245	. . . . . . 7
138	137	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
139	136, 138	mtbiri 686	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
140	108	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
141	139, 140	mtbid 683	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
142		simplll 539	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
143	139	neqned 2427	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
144		xaddnemnf 10238	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 143, 142, 143, 144	syl22anc 1279	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
146	145	neneqd 2441	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
147	132	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
148	146, 147	mtbid 683	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
149	141, 148	2falsed 714	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
150	108	biimpa 296	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
151		simplll 539	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
152	151, 151	xaddcld 10265	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
153	152	xrleidd 10182	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
154		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
155		simplr 533	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
156	154, 155	eqtr4d 2274	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
157	156, 156	oveq12d 6093	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
158	153, 157	breqtrd 4151	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
159	150, 158	2thd 175	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
160	74	ad2antrr 492	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
161	135, 149, 159, 160	mpjao3dan 1348	. 2 $/\$ $/\$
162		elxr 10157	. . . 4 $\/$ $\/$
163	162	biimpi 120	. . 3 $\/$ $\/$
164	163	adantl 277	. 2 $/\$ $\/$ $\/$
165	76, 96, 161, 164	mpjao3dan 1348	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ w3o 1008

wceq 1402

wcel 2209

wne 2420 class class class wbr 4125 (class class class)co 6075

cc 8167

cr 8168

cc0 8169

caddc 8172

cmul 8174

cpnf 8347

cmnf 8348

cxr 8349

clt 8350

cle 8351

c2 9334

cxad 10151

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-sep 4244 ax-pow 4306 ax-pr 4341 ax-un 4573 ax-setind 4679 ax-cnex 8260 ax-resscn 8261 ax-1cn 8262 ax-1re 8263 ax-icn 8264 ax-addcl 8265 ax-addrcl 8266 ax-mulcl 8267 ax-mulrcl 8268 ax-addcom 8269 ax-mulcom 8270 ax-addass 8271 ax-mulass 8272 ax-distr 8273 ax-i2m1 8274 ax-0lt1 8275 ax-1rid 8276 ax-0id 8277 ax-rnegex 8278 ax-precex 8279 ax-cnre 8280 ax-pre-ltirr 8281 ax-pre-lttrn 8283 ax-pre-ltadd 8285 ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-if 3636 df-pw 3687 df-sn 3711 df-pr 3712 df-op 3714 df-uni 3931 df-iun 4009 df-br 4126 df-opab 4188 df-mpt 4189 df-id 4433 df-xp 4775 df-rel 4776 df-cnv 4777 df-co 4778 df-dm 4779 df-rn 4780 df-res 4781 df-ima 4782 df-iota 5332 df-fun 5374 df-fn 5375 df-f 5376 df-fv 5380 df-riota 6028 df-ov 6078 df-oprab 6079 df-mpo 6080 df-1st 6364 df-2nd 6365 df-pnf 8352 df-mnf 8353 df-xr 8354 df-ltxr 8355 df-le 8356 df-sub 8489 df-neg 8490 df-2 9342 df-xadd 10154

This theorem is referenced by: psmetge0 15355 xmetge0 15389

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