Theorem xleaddadd 9823

Description: Cancelling a factor of two in <_ (expressed as addition rather than as a factor to avoid extended real multiplication). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xleaddadd	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )

Proof of Theorem xleaddadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7886	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2	1	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> A e. CC )
3	2	2timesd 9099	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )
4		recn 7886	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. CC )
5	4	ad2antlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> B e. CC )
6	5	2timesd 9099	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( 2 x. B ) = ( B + B ) )
7	3, 6	breq12d 3995	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( ( 2 x. A ) <_ ( 2 x. B ) <-> ( A + A ) <_ ( B + B ) ) )
8		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> A e. RR )
9		simplr 520	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> B e. RR )
10		2re 8927	. . . . . 6 |- 2 e. RR
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> 2 e. RR )
12		2pos 8948	. . . . . 6 |- 0 < 2
13	12	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> 0 < 2 )
14		lemul2 8752	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( A <_ B <-> ( 2 x. A ) <_ ( 2 x. B ) ) )
15	8, 9, 11, 13, 14	syl112anc 1232	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( 2 x. A ) <_ ( 2 x. B ) ) )
16	8, 8	rexaddd 9790	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A +e A ) = ( A + A ) )
17	9, 9	rexaddd 9790	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( B +e B ) = ( B + B ) )
18	16, 17	breq12d 3995	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( ( A +e A ) <_ ( B +e B ) <-> ( A + A ) <_ ( B + B ) ) )
19	7, 15, 18	3bitr4d 219	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
20		renepnf 7946	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> B =/= +oo )
21	20	neneqd 2357	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> -. B = +oo )
22	21	ad2antlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. B = +oo )
23		xgepnf 9752	. . . . . . 7 |- ( B e. RR* -> ( +oo <_ B <-> B = +oo ) )
24	23	ad3antlr 485	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( +oo <_ B <-> B = +oo ) )
25	22, 24	mtbird 663	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. +oo <_ B )
26		breq1 3985	. . . . . 6 |- ( A = +oo -> ( A <_ B <-> +oo <_ B ) )
27	26	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A <_ B <-> +oo <_ B ) )
28	25, 27	mtbird 663	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. A <_ B )
29		simplr 520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> B e. RR )
30	29, 29	rexaddd 9790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( B +e B ) = ( B + B ) )
31	29, 29	readdcld 7928	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( B + B ) e. RR )
32	30, 31	eqeltrd 2243	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( B +e B ) e. RR )
33		renepnf 7946	. . . . . . . 8 |- ( ( B +e B ) e. RR -> ( B +e B ) =/= +oo )
34	33	neneqd 2357	. . . . . . 7 |- ( ( B +e B ) e. RR -> -. ( B +e B ) = +oo )
35	32, 34	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. ( B +e B ) = +oo )
36		simpllr 524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> B e. RR* )
37	36, 36	xaddcld 9820	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( B +e B ) e. RR* )
38		xgepnf 9752	. . . . . . 7 |- ( ( B +e B ) e. RR* -> ( +oo <_ ( B +e B ) <-> ( B +e B ) = +oo ) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( +oo <_ ( B +e B ) <-> ( B +e B ) = +oo ) )
40	35, 39	mtbird 663	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. +oo <_ ( B +e B ) )
41		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> A = +oo )
42	41, 41	oveq12d 5860	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A +e A ) = ( +oo +e +oo ) )
43		pnfxr 7951	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
44		pnfnemnf 7953	. . . . . . . 8 |- +oo =/= -oo
45		xaddpnf2 9783	. . . . . . . 8 |- ( ( +oo e. RR* /\ +oo =/= -oo ) -> ( +oo +e +oo ) = +oo )
46	43, 44, 45	mp2an 423	. . . . . . 7 |- ( +oo +e +oo ) = +oo
47	42, 46	eqtrdi 2215	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A +e A ) = +oo )
48	47	breq1d 3992	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( ( A +e A ) <_ ( B +e B ) <-> +oo <_ ( B +e B ) ) )
49	40, 48	mtbird 663	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
50	28, 49	2falsed 692	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
51		mnfle 9728	. . . . . 6 |- ( B e. RR* -> -oo <_ B )
52	51	ad3antlr 485	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> -oo <_ B )
53		breq1 3985	. . . . . 6 |- ( A = -oo -> ( A <_ B <-> -oo <_ B ) )
54	53	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A <_ B <-> -oo <_ B ) )
55	52, 54	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> A <_ B )
56		oveq1 5849	. . . . . . 7 |- ( A = -oo -> ( A +e A ) = ( -oo +e A ) )
57	56	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) = ( -oo +e A ) )
58		simplll 523	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> A e. RR* )
59		mnfnepnf 7954	. . . . . . . . 9 |- -oo =/= +oo
60		neeq1 2349	. . . . . . . . 9 |- ( A = -oo -> ( A =/= +oo <-> -oo =/= +oo ) )
61	59, 60	mpbiri 167	. . . . . . . 8 |- ( A = -oo -> A =/= +oo )
62	61	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> A =/= +oo )
63		xaddmnf2 9785	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( -oo +e A ) = -oo )
64	58, 62, 63	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( -oo +e A ) = -oo )
65	57, 64	eqtrd 2198	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) = -oo )
66		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> B e. RR* )
67	66, 66	xaddcld 9820	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B +e B ) e. RR* )
68	67	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( B +e B ) e. RR* )
69		mnfle 9728	. . . . . 6 |- ( ( B +e B ) e. RR* -> -oo <_ ( B +e B ) )
70	68, 69	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> -oo <_ ( B +e B ) )
71	65, 70	eqbrtrd 4004	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
72	55, 71	2thd 174	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
73		elxr 9712	. . . . 5 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
74	73	biimpi 119	. . . 4 |- ( A e. RR* -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
75	74	ad2antrr 480	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
76	19, 50, 72, 75	mpjao3dan 1297	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
77		pnfge 9725	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
78	77	ad2antrr 480	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> A <_ +oo )
79		breq2 3986	. . . . 5 |- ( B = +oo -> ( A <_ B <-> A <_ +oo ) )
80	79	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A <_ B <-> A <_ +oo ) )
81	78, 80	mpbird 166	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> A <_ B )
82		simpll 519	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> A e. RR* )
83	82, 82	xaddcld 9820	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A +e A ) e. RR* )
84		pnfge 9725	. . . . 5 |- ( ( A +e A ) e. RR* -> ( A +e A ) <_ +oo )
85	83, 84	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A +e A ) <_ +oo )
86		oveq1 5849	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> ( B +e B ) = ( +oo +e B ) )
87		eleq1 2229	. . . . . . . 8 |- ( B = +oo -> ( B e. RR* <-> +oo e. RR* ) )
88	43, 87	mpbiri 167	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> B e. RR* )
89		neeq1 2349	. . . . . . . 8 |- ( B = +oo -> ( B =/= -oo <-> +oo =/= -oo ) )
90	44, 89	mpbiri 167	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> B =/= -oo )
91		xaddpnf2 9783	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) -> ( +oo +e B ) = +oo )
92	88, 90, 91	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> ( +oo +e B ) = +oo )
93	86, 92	eqtrd 2198	. . . . 5 |- ( B = +oo -> ( B +e B ) = +oo )
94	93	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( B +e B ) = +oo )
95	85, 94	breqtrrd 4010	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
96	81, 95	2thd 174	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
97		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> A e. RR )
98	97	renemnfd 7950	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> A =/= -oo )
99	98	neneqd 2357	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> -. A = -oo )
100		ngtmnft 9753	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR* -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
101		mnfxr 7955	. . . . . . . . . 10 |- -oo e. RR*
102		xrlenlt 7963	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> ( A <_ -oo <-> -. -oo < A ) )
103	101, 102	mpan2 422	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR* -> ( A <_ -oo <-> -. -oo < A ) )
104	100, 103	bitr4d 190	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( A = -oo <-> A <_ -oo ) )
105	104	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A = -oo <-> A <_ -oo ) )
106		breq2 3986	. . . . . . . 8 |- ( B = -oo -> ( A <_ B <-> A <_ -oo ) )
107	106	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A <_ B <-> A <_ -oo ) )
108	105, 107	bitr4d 190	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A = -oo <-> A <_ B ) )
109	108	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A = -oo <-> A <_ B ) )
110	99, 109	mtbid 662	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> -. A <_ B )
111	97, 97	rexaddd 9790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A +e A ) = ( A + A ) )
112	97, 97	readdcld 7928	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A + A ) e. RR )
113	111, 112	eqeltrd 2243	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A +e A ) e. RR )
114	113	renemnfd 7950	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A +e A ) =/= -oo )
115	114	neneqd 2357	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> -. ( A +e A ) = -oo )
116		simpll 519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> A e. RR* )
117	116, 116	xaddcld 9820	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A +e A ) e. RR* )
118		xrlenlt 7963	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A +e A ) e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> ( ( A +e A ) <_ -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
119	101, 118	mpan2 422	. . . . . . . 8 |- ( ( A +e A ) e. RR* -> ( ( A +e A ) <_ -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
120	117, 119	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( ( A +e A ) <_ -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
121		oveq2 5850	. . . . . . . . . 10 |- ( B = -oo -> ( B +e B ) = ( B +e -oo ) )
122		eleq1 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = -oo -> ( B e. RR* <-> -oo e. RR* ) )
123	101, 122	mpbiri 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = -oo -> B e. RR* )
124	90	necon2i 2392	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = -oo -> B =/= +oo )
125		xaddmnf1 9784	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= +oo ) -> ( B +e -oo ) = -oo )
126	123, 124, 125	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( B = -oo -> ( B +e -oo ) = -oo )
127	121, 126	eqtrd 2198	. . . . . . . . 9 |- ( B = -oo -> ( B +e B ) = -oo )
128	127	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( B +e B ) = -oo )
129	128	breq2d 3994	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( ( A +e A ) <_ ( B +e B ) <-> ( A +e A ) <_ -oo ) )
130		ngtmnft 9753	. . . . . . . 8 |- ( ( A +e A ) e. RR* -> ( ( A +e A ) = -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
131	117, 130	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( ( A +e A ) = -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
132	120, 129, 131	3bitr4rd 220	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( ( A +e A ) = -oo <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
133	132	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( ( A +e A ) = -oo <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
134	115, 133	mtbid 662	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> -. ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
135	110, 134	2falsed 692	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
136	44	neii 2338	. . . . . 6 |- -. +oo = -oo
137		eqeq1 2172	. . . . . . 7 |- ( A = +oo -> ( A = -oo <-> +oo = -oo ) )
138	137	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A = -oo <-> +oo = -oo ) )
139	136, 138	mtbiri 665	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> -. A = -oo )
140	108	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A = -oo <-> A <_ B ) )
141	139, 140	mtbid 662	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> -. A <_ B )
142		simplll 523	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> A e. RR* )
143	139	neqned 2343	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> A =/= -oo )
144		xaddnemnf 9793	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) /\ ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) ) -> ( A +e A ) =/= -oo )
145	142, 143, 142, 143, 144	syl22anc 1229	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A +e A ) =/= -oo )
146	145	neneqd 2357	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> -. ( A +e A ) = -oo )
147	132	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( ( A +e A ) = -oo <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
148	146, 147	mtbid 662	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> -. ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
149	141, 148	2falsed 692	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
150	108	biimpa 294	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> A <_ B )
151		simplll 523	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> A e. RR* )
152	151, 151	xaddcld 9820	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) e. RR* )
153	152	xrleidd 9737	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) <_ ( A +e A ) )
154		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> A = -oo )
155		simplr 520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> B = -oo )
156	154, 155	eqtr4d 2201	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> A = B )
157	156, 156	oveq12d 5860	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) = ( B +e B ) )
158	153, 157	breqtrd 4008	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
159	150, 158	2thd 174	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
160	74	ad2antrr 480	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
161	135, 149, 159, 160	mpjao3dan 1297	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
162		elxr 9712	. . . 4 |- ( B e. RR* <-> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
163	162	biimpi 119	. . 3 |- ( B e. RR* -> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
164	163	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
165	76, 96, 161, 164	mpjao3dan 1297	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ w3o 967   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   + caddc 7756   x. cmul 7758   +oocpnf 7930   -oocmnf 7931   RR*cxr 7932   < clt 7933   <_ cle 7934   2c2 8908   +ecxad 9706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-2 8916  df-xadd 9709

This theorem is referenced by:  psmetge0  12971  xmetge0  13005