Theorem xleaddadd 10083

Description: Cancelling a factor of two in <_ (expressed as addition rather than as a factor to avoid extended real multiplication). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xleaddadd	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )

Proof of Theorem xleaddadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8132	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2	1	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> A e. CC )
3	2	2timesd 9354	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )
4		recn 8132	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. CC )
5	4	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> B e. CC )
6	5	2timesd 9354	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( 2 x. B ) = ( B + B ) )
7	3, 6	breq12d 4096	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( ( 2 x. A ) <_ ( 2 x. B ) <-> ( A + A ) <_ ( B + B ) ) )
8		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> A e. RR )
9		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> B e. RR )
10		2re 9180	. . . . . 6 |- 2 e. RR
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> 2 e. RR )
12		2pos 9201	. . . . . 6 |- 0 < 2
13	12	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> 0 < 2 )
14		lemul2 9004	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( A <_ B <-> ( 2 x. A ) <_ ( 2 x. B ) ) )
15	8, 9, 11, 13, 14	syl112anc 1275	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( 2 x. A ) <_ ( 2 x. B ) ) )
16	8, 8	rexaddd 10050	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A +e A ) = ( A + A ) )
17	9, 9	rexaddd 10050	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( B +e B ) = ( B + B ) )
18	16, 17	breq12d 4096	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( ( A +e A ) <_ ( B +e B ) <-> ( A + A ) <_ ( B + B ) ) )
19	7, 15, 18	3bitr4d 220	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
20		renepnf 8194	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> B =/= +oo )
21	20	neneqd 2421	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> -. B = +oo )
22	21	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. B = +oo )
23		xgepnf 10012	. . . . . . 7 |- ( B e. RR* -> ( +oo <_ B <-> B = +oo ) )
24	23	ad3antlr 493	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( +oo <_ B <-> B = +oo ) )
25	22, 24	mtbird 677	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. +oo <_ B )
26		breq1 4086	. . . . . 6 |- ( A = +oo -> ( A <_ B <-> +oo <_ B ) )
27	26	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A <_ B <-> +oo <_ B ) )
28	25, 27	mtbird 677	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. A <_ B )
29		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> B e. RR )
30	29, 29	rexaddd 10050	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( B +e B ) = ( B + B ) )
31	29, 29	readdcld 8176	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( B + B ) e. RR )
32	30, 31	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( B +e B ) e. RR )
33		renepnf 8194	. . . . . . . 8 |- ( ( B +e B ) e. RR -> ( B +e B ) =/= +oo )
34	33	neneqd 2421	. . . . . . 7 |- ( ( B +e B ) e. RR -> -. ( B +e B ) = +oo )
35	32, 34	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. ( B +e B ) = +oo )
36		simpllr 534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> B e. RR* )
37	36, 36	xaddcld 10080	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( B +e B ) e. RR* )
38		xgepnf 10012	. . . . . . 7 |- ( ( B +e B ) e. RR* -> ( +oo <_ ( B +e B ) <-> ( B +e B ) = +oo ) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( +oo <_ ( B +e B ) <-> ( B +e B ) = +oo ) )
40	35, 39	mtbird 677	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. +oo <_ ( B +e B ) )
41		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> A = +oo )
42	41, 41	oveq12d 6019	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A +e A ) = ( +oo +e +oo ) )
43		pnfxr 8199	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
44		pnfnemnf 8201	. . . . . . . 8 |- +oo =/= -oo
45		xaddpnf2 10043	. . . . . . . 8 |- ( ( +oo e. RR* /\ +oo =/= -oo ) -> ( +oo +e +oo ) = +oo )
46	43, 44, 45	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( +oo +e +oo ) = +oo
47	42, 46	eqtrdi 2278	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A +e A ) = +oo )
48	47	breq1d 4093	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( ( A +e A ) <_ ( B +e B ) <-> +oo <_ ( B +e B ) ) )
49	40, 48	mtbird 677	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
50	28, 49	2falsed 707	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
51		mnfle 9988	. . . . . 6 |- ( B e. RR* -> -oo <_ B )
52	51	ad3antlr 493	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> -oo <_ B )
53		breq1 4086	. . . . . 6 |- ( A = -oo -> ( A <_ B <-> -oo <_ B ) )
54	53	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A <_ B <-> -oo <_ B ) )
55	52, 54	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> A <_ B )
56		oveq1 6008	. . . . . . 7 |- ( A = -oo -> ( A +e A ) = ( -oo +e A ) )
57	56	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) = ( -oo +e A ) )
58		simplll 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> A e. RR* )
59		mnfnepnf 8202	. . . . . . . . 9 |- -oo =/= +oo
60		neeq1 2413	. . . . . . . . 9 |- ( A = -oo -> ( A =/= +oo <-> -oo =/= +oo ) )
61	59, 60	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( A = -oo -> A =/= +oo )
62	61	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> A =/= +oo )
63		xaddmnf2 10045	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( -oo +e A ) = -oo )
64	58, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( -oo +e A ) = -oo )
65	57, 64	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) = -oo )
66		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> B e. RR* )
67	66, 66	xaddcld 10080	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B +e B ) e. RR* )
68	67	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( B +e B ) e. RR* )
69		mnfle 9988	. . . . . 6 |- ( ( B +e B ) e. RR* -> -oo <_ ( B +e B ) )
70	68, 69	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> -oo <_ ( B +e B ) )
71	65, 70	eqbrtrd 4105	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
72	55, 71	2thd 175	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
73		elxr 9972	. . . . 5 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
74	73	biimpi 120	. . . 4 |- ( A e. RR* -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
75	74	ad2antrr 488	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
76	19, 50, 72, 75	mpjao3dan 1341	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
77		pnfge 9985	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
78	77	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> A <_ +oo )
79		breq2 4087	. . . . 5 |- ( B = +oo -> ( A <_ B <-> A <_ +oo ) )
80	79	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A <_ B <-> A <_ +oo ) )
81	78, 80	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> A <_ B )
82		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> A e. RR* )
83	82, 82	xaddcld 10080	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A +e A ) e. RR* )
84		pnfge 9985	. . . . 5 |- ( ( A +e A ) e. RR* -> ( A +e A ) <_ +oo )
85	83, 84	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A +e A ) <_ +oo )
86		oveq1 6008	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> ( B +e B ) = ( +oo +e B ) )
87		eleq1 2292	. . . . . . . 8 |- ( B = +oo -> ( B e. RR* <-> +oo e. RR* ) )
88	43, 87	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> B e. RR* )
89		neeq1 2413	. . . . . . . 8 |- ( B = +oo -> ( B =/= -oo <-> +oo =/= -oo ) )
90	44, 89	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> B =/= -oo )
91		xaddpnf2 10043	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) -> ( +oo +e B ) = +oo )
92	88, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> ( +oo +e B ) = +oo )
93	86, 92	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( B = +oo -> ( B +e B ) = +oo )
94	93	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( B +e B ) = +oo )
95	85, 94	breqtrrd 4111	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
96	81, 95	2thd 175	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
97		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> A e. RR )
98	97	renemnfd 8198	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> A =/= -oo )
99	98	neneqd 2421	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> -. A = -oo )
100		ngtmnft 10013	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR* -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
101		mnfxr 8203	. . . . . . . . . 10 |- -oo e. RR*
102		xrlenlt 8211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> ( A <_ -oo <-> -. -oo < A ) )
103	101, 102	mpan2 425	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR* -> ( A <_ -oo <-> -. -oo < A ) )
104	100, 103	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( A = -oo <-> A <_ -oo ) )
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A = -oo <-> A <_ -oo ) )
106		breq2 4087	. . . . . . . 8 |- ( B = -oo -> ( A <_ B <-> A <_ -oo ) )
107	106	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A <_ B <-> A <_ -oo ) )
108	105, 107	bitr4d 191	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A = -oo <-> A <_ B ) )
109	108	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A = -oo <-> A <_ B ) )
110	99, 109	mtbid 676	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> -. A <_ B )
111	97, 97	rexaddd 10050	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A +e A ) = ( A + A ) )
112	97, 97	readdcld 8176	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A + A ) e. RR )
113	111, 112	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A +e A ) e. RR )
114	113	renemnfd 8198	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A +e A ) =/= -oo )
115	114	neneqd 2421	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> -. ( A +e A ) = -oo )
116		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> A e. RR* )
117	116, 116	xaddcld 10080	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A +e A ) e. RR* )
118		xrlenlt 8211	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A +e A ) e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> ( ( A +e A ) <_ -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
119	101, 118	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( ( A +e A ) e. RR* -> ( ( A +e A ) <_ -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
120	117, 119	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( ( A +e A ) <_ -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
121		oveq2 6009	. . . . . . . . . 10 |- ( B = -oo -> ( B +e B ) = ( B +e -oo ) )
122		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = -oo -> ( B e. RR* <-> -oo e. RR* ) )
123	101, 122	mpbiri 168	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = -oo -> B e. RR* )
124	90	necon2i 2456	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = -oo -> B =/= +oo )
125		xaddmnf1 10044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= +oo ) -> ( B +e -oo ) = -oo )
126	123, 124, 125	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( B = -oo -> ( B +e -oo ) = -oo )
127	121, 126	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 |- ( B = -oo -> ( B +e B ) = -oo )
128	127	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( B +e B ) = -oo )
129	128	breq2d 4095	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( ( A +e A ) <_ ( B +e B ) <-> ( A +e A ) <_ -oo ) )
130		ngtmnft 10013	. . . . . . . 8 |- ( ( A +e A ) e. RR* -> ( ( A +e A ) = -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
131	117, 130	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( ( A +e A ) = -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
132	120, 129, 131	3bitr4rd 221	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( ( A +e A ) = -oo <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
133	132	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( ( A +e A ) = -oo <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
134	115, 133	mtbid 676	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> -. ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
135	110, 134	2falsed 707	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
136	44	neii 2402	. . . . . 6 |- -. +oo = -oo
137		eqeq1 2236	. . . . . . 7 |- ( A = +oo -> ( A = -oo <-> +oo = -oo ) )
138	137	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A = -oo <-> +oo = -oo ) )
139	136, 138	mtbiri 679	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> -. A = -oo )
140	108	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A = -oo <-> A <_ B ) )
141	139, 140	mtbid 676	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> -. A <_ B )
142		simplll 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> A e. RR* )
143	139	neqned 2407	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> A =/= -oo )
144		xaddnemnf 10053	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) /\ ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) ) -> ( A +e A ) =/= -oo )
145	142, 143, 142, 143, 144	syl22anc 1272	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A +e A ) =/= -oo )
146	145	neneqd 2421	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> -. ( A +e A ) = -oo )
147	132	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( ( A +e A ) = -oo <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
148	146, 147	mtbid 676	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> -. ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
149	141, 148	2falsed 707	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
150	108	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> A <_ B )
151		simplll 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> A e. RR* )
152	151, 151	xaddcld 10080	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) e. RR* )
153	152	xrleidd 9997	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) <_ ( A +e A ) )
154		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> A = -oo )
155		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> B = -oo )
156	154, 155	eqtr4d 2265	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> A = B )
157	156, 156	oveq12d 6019	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) = ( B +e B ) )
158	153, 157	breqtrd 4109	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
159	150, 158	2thd 175	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
160	74	ad2antrr 488	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
161	135, 149, 159, 160	mpjao3dan 1341	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
162		elxr 9972	. . . 4 |- ( B e. RR* <-> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
163	162	biimpi 120	. . 3 |- ( B e. RR* -> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
164	163	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
165	76, 96, 161, 164	mpjao3dan 1341	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 1001   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   CCcc 7997   RRcr 7998   0cc0 7999   + caddc 8002   x. cmul 8004   +oocpnf 8178   -oocmnf 8179   RR*cxr 8180   < clt 8181   <_ cle 8182   2c2 9161   +ecxad 9966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-2 9169  df-xadd 9969

This theorem is referenced by:  psmetge0  15005  xmetge0  15039