xleaddadd - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem xleaddadd 10289

Description: Cancelling a factor of two in

(expressed as addition rather than as a factor to avoid extended real multiplication). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
xleaddadd	$/\$

**Proof of Theorem xleaddadd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 8312	. . . . . . 7
2	1	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
3	2	2timesd 9548	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
4		recn 8312	. . . . . . 7
5	4	ad2antlr 493	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
6	5	2timesd 9548	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
7	3, 6	breq12d 4143	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
8		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
9		simplr 533	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
10		2re 9374	. . . . . 6
11	10	a1i 9	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
12		2pos 9395	. . . . . 6
13	12	a1i 9	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
14		lemul2 9187	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
15	8, 9, 11, 13, 14	syl112anc 1282	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
16	8, 8	rexaddd 10256	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
17	9, 9	rexaddd 10256	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
18	16, 17	breq12d 4143	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
19	7, 15, 18	3bitr4d 220	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
20		renepnf 8373	. . . . . . . 8
21	20	neneqd 2441	. . . . . . 7
22	21	ad2antlr 493	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
23		xgepnf 10218	. . . . . . 7
24	23	ad3antlr 497	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
25	22, 24	mtbird 684	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
26		breq1 4133	. . . . . 6
27	26	adantl 277	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
28	25, 27	mtbird 684	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
29		simplr 533	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
30	29, 29	rexaddd 10256	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	29, 29	readdcld 8355	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
32	30, 31	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
33		renepnf 8373	. . . . . . . 8
34	33	neneqd 2441	. . . . . . 7
35	32, 34	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
36		simpllr 540	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
37	36, 36	xaddcld 10286	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
38		xgepnf 10218	. . . . . . 7
39	37, 38	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
40	35, 39	mtbird 684	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
41		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
42	41, 41	oveq12d 6103	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
43		pnfxr 8378	. . . . . . . 8
44		pnfnemnf 8380	. . . . . . . 8
45		xaddpnf2 10249	. . . . . . . 8 $/\$
46	43, 44, 45	mp2an 430	. . . . . . 7
47	42, 46	eqtrdi 2287	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	breq1d 4140	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
49	40, 48	mtbird 684	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
50	28, 49	2falsed 714	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
51		mnfle 10194	. . . . . 6
52	51	ad3antlr 497	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
53		breq1 4133	. . . . . 6
54	53	adantl 277	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
55	52, 54	mpbird 167	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
56		oveq1 6092	. . . . . . 7
57	56	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
58		simplll 539	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
59		mnfnepnf 8381	. . . . . . . . 9
60		neeq1 2433	. . . . . . . . 9
61	59, 60	mpbiri 168	. . . . . . . 8
62	61	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
63		xaddmnf2 10251	. . . . . . 7 $/\$
64	58, 62, 63	syl2anc 415	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
65	57, 64	eqtrd 2271	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
66		simpr 110	. . . . . . . 8 $/\$
67	66, 66	xaddcld 10286	. . . . . . 7 $/\$
68	67	ad2antrr 492	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
69		mnfle 10194	. . . . . 6
70	68, 69	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
71	65, 70	eqbrtrd 4152	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
72	55, 71	2thd 175	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
73		elxr 10178	. . . . 5 $\/$ $\/$
74	73	biimpi 120	. . . 4 $\/$ $\/$
75	74	ad2antrr 492	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
76	19, 50, 72, 75	mpjao3dan 1348	. 2 $/\$ $/\$
77		pnfge 10191	. . . . 5
78	77	ad2antrr 492	. . . 4 $/\$ $/\$
79		breq2 4134	. . . . 5
80	79	adantl 277	. . . 4 $/\$ $/\$
81	78, 80	mpbird 167	. . 3 $/\$ $/\$
82		simpll 531	. . . . . 6 $/\$ $/\$
83	82, 82	xaddcld 10286	. . . . 5 $/\$ $/\$
84		pnfge 10191	. . . . 5
85	83, 84	syl 14	. . . 4 $/\$ $/\$
86		oveq1 6092	. . . . . 6
87		eleq1 2301	. . . . . . . 8
88	43, 87	mpbiri 168	. . . . . . 7
89		neeq1 2433	. . . . . . . 8
90	44, 89	mpbiri 168	. . . . . . 7
91		xaddpnf2 10249	. . . . . . 7 $/\$
92	88, 90, 91	syl2anc 415	. . . . . 6
93	86, 92	eqtrd 2271	. . . . 5
94	93	adantl 277	. . . 4 $/\$ $/\$
95	85, 94	breqtrrd 4158	. . 3 $/\$ $/\$
96	81, 95	2thd 175	. 2 $/\$ $/\$
97		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
98	97	renemnfd 8377	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
99	98	neneqd 2441	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
100		ngtmnft 10219	. . . . . . . . 9
101		mnfxr 8382	. . . . . . . . . 10
102		xrlenlt 8390	. . . . . . . . . 10 $/\$
103	101, 102	mpan2 429	. . . . . . . . 9
104	100, 103	bitr4d 191	. . . . . . . 8
105	104	ad2antrr 492	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
106		breq2 4134	. . . . . . . 8
107	106	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
108	105, 107	bitr4d 191	. . . . . 6 $/\$ $/\$
109	108	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
110	99, 109	mtbid 683	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
111	97, 97	rexaddd 10256	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
112	97, 97	readdcld 8355	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
113	111, 112	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	renemnfd 8377	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	neneqd 2441	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
116		simpll 531	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
117	116, 116	xaddcld 10286	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
118		xrlenlt 8390	. . . . . . . . 9 $/\$
119	101, 118	mpan2 429	. . . . . . . 8
120	117, 119	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
121		oveq2 6093	. . . . . . . . . 10
122		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . 12
123	101, 122	mpbiri 168	. . . . . . . . . . 11
124	90	necon2i 2476	. . . . . . . . . . 11
125		xaddmnf1 10250	. . . . . . . . . . 11 $/\$
126	123, 124, 125	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10
127	121, 126	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9
128	127	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
129	128	breq2d 4142	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
130		ngtmnft 10219	. . . . . . . 8
131	117, 130	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
132	120, 129, 131	3bitr4rd 221	. . . . . 6 $/\$ $/\$
133	132	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
134	115, 133	mtbid 683	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
135	110, 134	2falsed 714	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
136	44	neii 2422	. . . . . 6
137		eqeq1 2245	. . . . . . 7
138	137	adantl 277	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
139	136, 138	mtbiri 686	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
140	108	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
141	139, 140	mtbid 683	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
142		simplll 539	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
143	139	neqned 2427	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
144		xaddnemnf 10259	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
145	142, 143, 142, 143, 144	syl22anc 1279	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
146	145	neneqd 2441	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
147	132	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
148	146, 147	mtbid 683	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
149	141, 148	2falsed 714	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
150	108	biimpa 296	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
151		simplll 539	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
152	151, 151	xaddcld 10286	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
153	152	xrleidd 10203	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
154		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
155		simplr 533	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
156	154, 155	eqtr4d 2274	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
157	156, 156	oveq12d 6103	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
158	153, 157	breqtrd 4156	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
159	150, 158	2thd 175	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
160	74	ad2antrr 492	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
161	135, 149, 159, 160	mpjao3dan 1348	. 2 $/\$ $/\$
162		elxr 10178	. . . 4 $\/$ $\/$
163	162	biimpi 120	. . 3 $\/$ $\/$
164	163	adantl 277	. 2 $/\$ $\/$ $\/$
165	76, 96, 161, 164	mpjao3dan 1348	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ w3o 1008

wceq 1402

wcel 2209

wne 2420 class class class wbr 4130 (class class class)co 6085

cc 8177

cr 8178

cc0 8179

caddc 8182

cmul 8184

cpnf 8357

cmnf 8358

cxr 8359

clt 8360

cle 8361

c2 9355

cxad 10172

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-sep 4249 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-cnex 8270 ax-resscn 8271 ax-1cn 8272 ax-1re 8273 ax-icn 8274 ax-addcl 8275 ax-addrcl 8276 ax-mulcl 8277 ax-mulrcl 8278 ax-addcom 8279 ax-mulcom 8280 ax-addass 8281 ax-mulass 8282 ax-distr 8283 ax-i2m1 8284 ax-0lt1 8285 ax-1rid 8286 ax-0id 8287 ax-rnegex 8288 ax-precex 8289 ax-cnre 8290 ax-pre-ltirr 8291 ax-pre-lttrn 8293 ax-pre-ltadd 8295 ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-id 4438 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-fv 5385 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-pnf 8362 df-mnf 8363 df-xr 8364 df-ltxr 8365 df-le 8366 df-sub 8499 df-neg 8500 df-2 9363 df-xadd 10175

This theorem is used by: psmetge0 15432 xmetge0 15466

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