Theorem xleaddadd 9919

Description: Cancelling a factor of two in <_ (expressed as addition rather than as a factor to avoid extended real multiplication). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xleaddadd	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )

Proof of Theorem xleaddadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 7975	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
2	1	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> A e. CC )
3	2	2timesd 9192	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )
4		recn 7975	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. CC )
5	4	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> B e. CC )
6	5	2timesd 9192	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( 2 x. B ) = ( B + B ) )
7	3, 6	breq12d 4031	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( ( 2 x. A ) <_ ( 2 x. B ) <-> ( A + A ) <_ ( B + B ) ) )
8		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> A e. RR )
9		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> B e. RR )
10		2re 9020	. . . . . 6 |- 2 e. RR
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> 2 e. RR )
12		2pos 9041	. . . . . 6 |- 0 < 2
13	12	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> 0 < 2 )
14		lemul2 8845	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( A <_ B <-> ( 2 x. A ) <_ ( 2 x. B ) ) )
15	8, 9, 11, 13, 14	syl112anc 1253	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( 2 x. A ) <_ ( 2 x. B ) ) )
16	8, 8	rexaddd 9886	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A +e A ) = ( A + A ) )
17	9, 9	rexaddd 9886	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( B +e B ) = ( B + B ) )
18	16, 17	breq12d 4031	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( ( A +e A ) <_ ( B +e B ) <-> ( A + A ) <_ ( B + B ) ) )
19	7, 15, 18	3bitr4d 220	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
20		renepnf 8036	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> B =/= +oo )
21	20	neneqd 2381	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> -. B = +oo )
22	21	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. B = +oo )
23		xgepnf 9848	. . . . . . 7 |- ( B e. RR* -> ( +oo <_ B <-> B = +oo ) )
24	23	ad3antlr 493	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( +oo <_ B <-> B = +oo ) )
25	22, 24	mtbird 674	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. +oo <_ B )
26		breq1 4021	. . . . . 6 |- ( A = +oo -> ( A <_ B <-> +oo <_ B ) )
27	26	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A <_ B <-> +oo <_ B ) )
28	25, 27	mtbird 674	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. A <_ B )
29		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> B e. RR )
30	29, 29	rexaddd 9886	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( B +e B ) = ( B + B ) )
31	29, 29	readdcld 8018	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( B + B ) e. RR )
32	30, 31	eqeltrd 2266	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( B +e B ) e. RR )
33		renepnf 8036	. . . . . . . 8 |- ( ( B +e B ) e. RR -> ( B +e B ) =/= +oo )
34	33	neneqd 2381	. . . . . . 7 |- ( ( B +e B ) e. RR -> -. ( B +e B ) = +oo )
35	32, 34	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. ( B +e B ) = +oo )
36		simpllr 534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> B e. RR* )
37	36, 36	xaddcld 9916	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( B +e B ) e. RR* )
38		xgepnf 9848	. . . . . . 7 |- ( ( B +e B ) e. RR* -> ( +oo <_ ( B +e B ) <-> ( B +e B ) = +oo ) )
39	37, 38	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( +oo <_ ( B +e B ) <-> ( B +e B ) = +oo ) )
40	35, 39	mtbird 674	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. +oo <_ ( B +e B ) )
41		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> A = +oo )
42	41, 41	oveq12d 5915	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A +e A ) = ( +oo +e +oo ) )
43		pnfxr 8041	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
44		pnfnemnf 8043	. . . . . . . 8 |- +oo =/= -oo
45		xaddpnf2 9879	. . . . . . . 8 |- ( ( +oo e. RR* /\ +oo =/= -oo ) -> ( +oo +e +oo ) = +oo )
46	43, 44, 45	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( +oo +e +oo ) = +oo
47	42, 46	eqtrdi 2238	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A +e A ) = +oo )
48	47	breq1d 4028	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( ( A +e A ) <_ ( B +e B ) <-> +oo <_ ( B +e B ) ) )
49	40, 48	mtbird 674	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> -. ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
50	28, 49	2falsed 703	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
51		mnfle 9824	. . . . . 6 |- ( B e. RR* -> -oo <_ B )
52	51	ad3antlr 493	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> -oo <_ B )
53		breq1 4021	. . . . . 6 |- ( A = -oo -> ( A <_ B <-> -oo <_ B ) )
54	53	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A <_ B <-> -oo <_ B ) )
55	52, 54	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> A <_ B )
56		oveq1 5904	. . . . . . 7 |- ( A = -oo -> ( A +e A ) = ( -oo +e A ) )
57	56	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) = ( -oo +e A ) )
58		simplll 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> A e. RR* )
59		mnfnepnf 8044	. . . . . . . . 9 |- -oo =/= +oo
60		neeq1 2373	. . . . . . . . 9 |- ( A = -oo -> ( A =/= +oo <-> -oo =/= +oo ) )
61	59, 60	mpbiri 168	. . . . . . . 8 |- ( A = -oo -> A =/= +oo )
62	61	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> A =/= +oo )
63		xaddmnf2 9881	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= +oo ) -> ( -oo +e A ) = -oo )
64	58, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( -oo +e A ) = -oo )
65	57, 64	eqtrd 2222	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) = -oo )
66		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> B e. RR* )
67	66, 66	xaddcld 9916	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B +e B ) e. RR* )
68	67	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( B +e B ) e. RR* )
69		mnfle 9824	. . . . . 6 |- ( ( B +e B ) e. RR* -> -oo <_ ( B +e B ) )
70	68, 69	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> -oo <_ ( B +e B ) )
71	65, 70	eqbrtrd 4040	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
72	55, 71	2thd 175	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
73		elxr 9808	. . . . 5 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
74	73	biimpi 120	. . . 4 |- ( A e. RR* -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
75	74	ad2antrr 488	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
76	19, 50, 72, 75	mpjao3dan 1318	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
77		pnfge 9821	. . . . 5 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
78	77	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> A <_ +oo )
79		breq2 4022	. . . . 5 |- ( B = +oo -> ( A <_ B <-> A <_ +oo ) )
80	79	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A <_ B <-> A <_ +oo ) )
81	78, 80	mpbird 167	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> A <_ B )
82		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> A e. RR* )
83	82, 82	xaddcld 9916	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A +e A ) e. RR* )
84		pnfge 9821	. . . . 5 |- ( ( A +e A ) e. RR* -> ( A +e A ) <_ +oo )
85	83, 84	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A +e A ) <_ +oo )
86		oveq1 5904	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> ( B +e B ) = ( +oo +e B ) )
87		eleq1 2252	. . . . . . . 8 |- ( B = +oo -> ( B e. RR* <-> +oo e. RR* ) )
88	43, 87	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> B e. RR* )
89		neeq1 2373	. . . . . . . 8 |- ( B = +oo -> ( B =/= -oo <-> +oo =/= -oo ) )
90	44, 89	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( B = +oo -> B =/= -oo )
91		xaddpnf2 9879	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) -> ( +oo +e B ) = +oo )
92	88, 90, 91	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( B = +oo -> ( +oo +e B ) = +oo )
93	86, 92	eqtrd 2222	. . . . 5 |- ( B = +oo -> ( B +e B ) = +oo )
94	93	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( B +e B ) = +oo )
95	85, 94	breqtrrd 4046	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
96	81, 95	2thd 175	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = +oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
97		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> A e. RR )
98	97	renemnfd 8040	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> A =/= -oo )
99	98	neneqd 2381	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> -. A = -oo )
100		ngtmnft 9849	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR* -> ( A = -oo <-> -. -oo < A ) )
101		mnfxr 8045	. . . . . . . . . 10 |- -oo e. RR*
102		xrlenlt 8053	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> ( A <_ -oo <-> -. -oo < A ) )
103	101, 102	mpan2 425	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR* -> ( A <_ -oo <-> -. -oo < A ) )
104	100, 103	bitr4d 191	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( A = -oo <-> A <_ -oo ) )
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A = -oo <-> A <_ -oo ) )
106		breq2 4022	. . . . . . . 8 |- ( B = -oo -> ( A <_ B <-> A <_ -oo ) )
107	106	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A <_ B <-> A <_ -oo ) )
108	105, 107	bitr4d 191	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A = -oo <-> A <_ B ) )
109	108	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A = -oo <-> A <_ B ) )
110	99, 109	mtbid 673	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> -. A <_ B )
111	97, 97	rexaddd 9886	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A +e A ) = ( A + A ) )
112	97, 97	readdcld 8018	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A + A ) e. RR )
113	111, 112	eqeltrd 2266	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A +e A ) e. RR )
114	113	renemnfd 8040	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A +e A ) =/= -oo )
115	114	neneqd 2381	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> -. ( A +e A ) = -oo )
116		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> A e. RR* )
117	116, 116	xaddcld 9916	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A +e A ) e. RR* )
118		xrlenlt 8053	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A +e A ) e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> ( ( A +e A ) <_ -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
119	101, 118	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( ( A +e A ) e. RR* -> ( ( A +e A ) <_ -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
120	117, 119	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( ( A +e A ) <_ -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
121		oveq2 5905	. . . . . . . . . 10 |- ( B = -oo -> ( B +e B ) = ( B +e -oo ) )
122		eleq1 2252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = -oo -> ( B e. RR* <-> -oo e. RR* ) )
123	101, 122	mpbiri 168	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = -oo -> B e. RR* )
124	90	necon2i 2416	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = -oo -> B =/= +oo )
125		xaddmnf1 9880	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= +oo ) -> ( B +e -oo ) = -oo )
126	123, 124, 125	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( B = -oo -> ( B +e -oo ) = -oo )
127	121, 126	eqtrd 2222	. . . . . . . . 9 |- ( B = -oo -> ( B +e B ) = -oo )
128	127	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( B +e B ) = -oo )
129	128	breq2d 4030	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( ( A +e A ) <_ ( B +e B ) <-> ( A +e A ) <_ -oo ) )
130		ngtmnft 9849	. . . . . . . 8 |- ( ( A +e A ) e. RR* -> ( ( A +e A ) = -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
131	117, 130	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( ( A +e A ) = -oo <-> -. -oo < ( A +e A ) ) )
132	120, 129, 131	3bitr4rd 221	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( ( A +e A ) = -oo <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
133	132	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( ( A +e A ) = -oo <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
134	115, 133	mtbid 673	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> -. ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
135	110, 134	2falsed 703	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
136	44	neii 2362	. . . . . 6 |- -. +oo = -oo
137		eqeq1 2196	. . . . . . 7 |- ( A = +oo -> ( A = -oo <-> +oo = -oo ) )
138	137	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A = -oo <-> +oo = -oo ) )
139	136, 138	mtbiri 676	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> -. A = -oo )
140	108	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A = -oo <-> A <_ B ) )
141	139, 140	mtbid 673	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> -. A <_ B )
142		simplll 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> A e. RR* )
143	139	neqned 2367	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> A =/= -oo )
144		xaddnemnf 9889	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) /\ ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) ) -> ( A +e A ) =/= -oo )
145	142, 143, 142, 143, 144	syl22anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A +e A ) =/= -oo )
146	145	neneqd 2381	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> -. ( A +e A ) = -oo )
147	132	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( ( A +e A ) = -oo <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
148	146, 147	mtbid 673	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> -. ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
149	141, 148	2falsed 703	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = +oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
150	108	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> A <_ B )
151		simplll 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> A e. RR* )
152	151, 151	xaddcld 9916	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) e. RR* )
153	152	xrleidd 9833	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) <_ ( A +e A ) )
154		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> A = -oo )
155		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> B = -oo )
156	154, 155	eqtr4d 2225	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> A = B )
157	156, 156	oveq12d 5915	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) = ( B +e B ) )
158	153, 157	breqtrd 4044	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) )
159	150, 158	2thd 175	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) /\ A = -oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
160	74	ad2antrr 488	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
161	135, 149, 159, 160	mpjao3dan 1318	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ B = -oo ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )
162		elxr 9808	. . . 4 |- ( B e. RR* <-> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
163	162	biimpi 120	. . 3 |- ( B e. RR* -> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
164	163	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
165	76, 96, 161, 164	mpjao3dan 1318	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> ( A +e A ) <_ ( B +e B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   CCcc 7840   RRcr 7841   0cc0 7842   + caddc 7845   x. cmul 7847   +oocpnf 8020   -oocmnf 8021   RR*cxr 8022   < clt 8023   <_ cle 8024   2c2 9001   +ecxad 9802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-2 9009  df-xadd 9805

This theorem is referenced by:  psmetge0  14308  xmetge0  14342