ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xleaddadd Unicode version

Theorem xleaddadd 9699
Description: Cancelling a factor of two in  <_ (expressed as addition rather than as a factor to avoid extended real multiplication). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
xleaddadd  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )

Proof of Theorem xleaddadd
StepHypRef Expression
1 recn 7776 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
21adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
322timesd 8985 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  (
2  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
4 recn 7776 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
54ad2antlr 481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
652timesd 8985 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  (
2  x.  B )  =  ( B  +  B ) )
73, 6breq12d 3949 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  A
)  <_  ( 2  x.  B )  <->  ( A  +  A )  <_  ( B  +  B )
) )
8 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
9 simplr 520 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
10 2re 8813 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
1110a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  2  e.  RR )
12 2pos 8834 . . . . . 6  |-  0  <  2
1312a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  0  <  2 )
14 lemul2 8638 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  <_  B 
<->  ( 2  x.  A
)  <_  ( 2  x.  B ) ) )
158, 9, 11, 13, 14syl112anc 1221 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( 2  x.  A )  <_ 
( 2  x.  B
) ) )
168, 8rexaddd 9666 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A +e A )  =  ( A  +  A ) )
179, 9rexaddd 9666 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B +e B )  =  ( B  +  B ) )
1816, 17breq12d 3949 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  (
( A +e
A )  <_  ( B +e B )  <-> 
( A  +  A
)  <_  ( B  +  B ) ) )
197, 15, 183bitr4d 219 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
20 renepnf 7836 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  B  =/= +oo )
2120neneqd 2330 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  -.  B  = +oo )
2221ad2antlr 481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  -.  B  = +oo )
23 xgepnf 9628 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( +oo  <_  B  <->  B  = +oo ) )
2423ad3antlr 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( +oo  <_  B  <->  B  = +oo ) )
2522, 24mtbird 663 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  -. +oo 
<_  B )
26 breq1 3939 . . . . . 6  |-  ( A  = +oo  ->  ( A  <_  B  <-> +oo  <_  B
) )
2726adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( A  <_  B  <-> +oo  <_  B
) )
2825, 27mtbird 663 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  -.  A  <_  B )
29 simplr 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  B  e.  RR )
3029, 29rexaddd 9666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( B +e B )  =  ( B  +  B ) )
3129, 29readdcld 7818 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( B  +  B )  e.  RR )
3230, 31eqeltrd 2217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( B +e B )  e.  RR )
33 renepnf 7836 . . . . . . . 8  |-  ( ( B +e B )  e.  RR  ->  ( B +e B )  =/= +oo )
3433neneqd 2330 . . . . . . 7  |-  ( ( B +e B )  e.  RR  ->  -.  ( B +e
B )  = +oo )
3532, 34syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  -.  ( B +e B )  = +oo )
36 simpllr 524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  B  e.  RR* )
3736, 36xaddcld 9696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( B +e B )  e.  RR* )
38 xgepnf 9628 . . . . . . 7  |-  ( ( B +e B )  e.  RR*  ->  ( +oo  <_  ( B +e B )  <-> 
( B +e
B )  = +oo ) )
3937, 38syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( +oo  <_  ( B +e B )  <->  ( B +e B )  = +oo ) )
4035, 39mtbird 663 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  -. +oo 
<_  ( B +e
B ) )
41 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  A  = +oo )
4241, 41oveq12d 5799 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e A )  =  ( +oo +e +oo ) )
43 pnfxr 7841 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
44 pnfnemnf 7843 . . . . . . . 8  |- +oo  =/= -oo
45 xaddpnf2 9659 . . . . . . . 8  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\ +oo  =/= -oo )  ->  ( +oo +e +oo )  = +oo )
4643, 44, 45mp2an 423 . . . . . . 7  |-  ( +oo +e +oo )  = +oo
4742, 46eqtrdi 2189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e A )  = +oo )
4847breq1d 3946 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  (
( A +e
A )  <_  ( B +e B )  <-> +oo  <_  ( B +e B ) ) )
4940, 48mtbird 663 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  -.  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) )
5028, 492falsed 692 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
51 mnfle 9607 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR*  -> -oo  <_  B )
5251ad3antlr 485 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  -> -oo  <_  B )
53 breq1 3939 . . . . . 6  |-  ( A  = -oo  ->  ( A  <_  B  <-> -oo  <_  B
) )
5453adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( A  <_  B  <-> -oo  <_  B
) )
5552, 54mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  A  <_  B )
56 oveq1 5788 . . . . . . 7  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e A )  =  ( -oo +e A ) )
5756adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e A )  =  ( -oo +e A ) )
58 simplll 523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  A  e.  RR* )
59 mnfnepnf 7844 . . . . . . . . 9  |- -oo  =/= +oo
60 neeq1 2322 . . . . . . . . 9  |-  ( A  = -oo  ->  ( A  =/= +oo  <-> -oo  =/= +oo )
)
6159, 60mpbiri 167 . . . . . . . 8  |-  ( A  = -oo  ->  A  =/= +oo )
6261adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  A  =/= +oo )
63 xaddmnf2 9661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( -oo +e A )  = -oo )
6458, 62, 63syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( -oo +e A )  = -oo )
6557, 64eqtrd 2173 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e A )  = -oo )
66 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  B  e.  RR* )
6766, 66xaddcld 9696 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B +e B )  e.  RR* )
6867ad2antrr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( B +e B )  e.  RR* )
69 mnfle 9607 . . . . . 6  |-  ( ( B +e B )  e.  RR*  -> -oo 
<_  ( B +e
B ) )
7068, 69syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  -> -oo  <_  ( B +e B ) )
7165, 70eqbrtrd 3957 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) )
7255, 712thd 174 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
73 elxr 9592 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
7473biimpi 119 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
7574ad2antrr 480 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
7619, 50, 72, 75mpjao3dan 1286 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B 
<->  ( A +e
A )  <_  ( B +e B ) ) )
77 pnfge 9604 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
7877ad2antrr 480 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  A  <_ +oo )
79 breq2 3940 . . . . 5  |-  ( B  = +oo  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_ +oo ) )
8079adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  ( A  <_  B 
<->  A  <_ +oo )
)
8178, 80mpbird 166 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  A  <_  B
)
82 simpll 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  A  e.  RR* )
8382, 82xaddcld 9696 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e A )  e. 
RR* )
84 pnfge 9604 . . . . 5  |-  ( ( A +e A )  e.  RR*  ->  ( A +e A )  <_ +oo )
8583, 84syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e A )  <_ +oo )
86 oveq1 5788 . . . . . 6  |-  ( B  = +oo  ->  ( B +e B )  =  ( +oo +e B ) )
87 eleq1 2203 . . . . . . . 8  |-  ( B  = +oo  ->  ( B  e.  RR*  <-> +oo  e.  RR* ) )
8843, 87mpbiri 167 . . . . . . 7  |-  ( B  = +oo  ->  B  e.  RR* )
89 neeq1 2322 . . . . . . . 8  |-  ( B  = +oo  ->  ( B  =/= -oo  <-> +oo  =/= -oo )
)
9044, 89mpbiri 167 . . . . . . 7  |-  ( B  = +oo  ->  B  =/= -oo )
91 xaddpnf2 9659 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )  ->  ( +oo +e B )  = +oo )
9288, 90, 91syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( B  = +oo  ->  ( +oo +e B )  = +oo )
9386, 92eqtrd 2173 . . . . 5  |-  ( B  = +oo  ->  ( B +e B )  = +oo )
9493adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  ( B +e B )  = +oo )
9585, 94breqtrrd 3963 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e A )  <_ 
( B +e
B ) )
9681, 952thd 174 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = +oo )  ->  ( A  <_  B 
<->  ( A +e
A )  <_  ( B +e B ) ) )
97 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
9897renemnfd 7840 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  A  =/= -oo )
9998neneqd 2330 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  -.  A  = -oo )
100 ngtmnft 9629 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = -oo  <->  -. -oo  <  A ) )
101 mnfxr 7845 . . . . . . . . . 10  |- -oo  e.  RR*
102 xrlenlt 7852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ -oo  e.  RR* )  ->  ( A  <_ -oo  <->  -. -oo  <  A
) )
103101, 102mpan2 422 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  <_ -oo  <->  -. -oo  <  A
) )
104100, 103bitr4d 190 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = -oo  <->  A  <_ -oo ) )
105104ad2antrr 480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( A  = -oo  <->  A  <_ -oo )
)
106 breq2 3940 . . . . . . . 8  |-  ( B  = -oo  ->  ( A  <_  B  <->  A  <_ -oo ) )
107106adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( A  <_  B 
<->  A  <_ -oo )
)
108105, 107bitr4d 190 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( A  = -oo  <->  A  <_  B ) )
109108adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  = -oo  <->  A  <_  B ) )
11099, 109mtbid 662 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  -.  A  <_  B )
11197, 97rexaddd 9666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A +e A )  =  ( A  +  A ) )
11297, 97readdcld 7818 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  +  A )  e.  RR )
113111, 112eqeltrd 2217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A +e A )  e.  RR )
114113renemnfd 7840 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A +e A )  =/= -oo )
115114neneqd 2330 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  -.  ( A +e A )  = -oo )
116 simpll 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  A  e.  RR* )
117116, 116xaddcld 9696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e A )  e. 
RR* )
118 xrlenlt 7852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A +e
A )  e.  RR*  /\ -oo  e.  RR* )  ->  (
( A +e
A )  <_ -oo  <->  -. -oo  <  ( A +e A ) ) )
119101, 118mpan2 422 . . . . . . . 8  |-  ( ( A +e A )  e.  RR*  ->  ( ( A +e
A )  <_ -oo  <->  -. -oo  <  ( A +e A ) ) )
120117, 119syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( ( A +e A )  <_ -oo  <->  -. -oo  <  ( A +e A ) ) )
121 oveq2 5789 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  = -oo  ->  ( B +e B )  =  ( B +e -oo ) )
122 eleq1 2203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  = -oo  ->  ( B  e.  RR*  <-> -oo  e.  RR* ) )
123101, 122mpbiri 167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  = -oo  ->  B  e.  RR* )
12490necon2i 2365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  = -oo  ->  B  =/= +oo )
125 xaddmnf1 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/= +oo )  ->  ( B +e -oo )  = -oo )
126123, 124, 125syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  = -oo  ->  ( B +e -oo )  = -oo )
127121, 126eqtrd 2173 . . . . . . . . 9  |-  ( B  = -oo  ->  ( B +e B )  = -oo )
128127adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( B +e B )  = -oo )
129128breq2d 3948 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( ( A +e A )  <_  ( B +e B )  <->  ( A +e A )  <_ -oo ) )
130 ngtmnft 9629 . . . . . . . 8  |-  ( ( A +e A )  e.  RR*  ->  ( ( A +e
A )  = -oo  <->  -. -oo 
<  ( A +e A ) ) )
131117, 130syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( ( A +e A )  = -oo  <->  -. -oo  <  ( A +e A ) ) )
132120, 129, 1313bitr4rd 220 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( ( A +e A )  = -oo  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
133132adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  (
( A +e
A )  = -oo  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
134115, 133mtbid 662 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  -.  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) )
135110, 1342falsed 692 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
13644neii 2311 . . . . . 6  |-  -. +oo  = -oo
137 eqeq1 2147 . . . . . . 7  |-  ( A  = +oo  ->  ( A  = -oo  <-> +oo  = -oo ) )
138137adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  ( A  = -oo  <-> +oo  = -oo ) )
139136, 138mtbiri 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  -.  A  = -oo )
140108adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  ( A  = -oo  <->  A  <_  B ) )
141139, 140mtbid 662 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  -.  A  <_  B )
142 simplll 523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  A  e.  RR* )
143139neqned 2316 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  A  =/= -oo )
144 xaddnemnf 9669 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  /\  ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )
)  ->  ( A +e A )  =/= -oo )
145142, 143, 142, 143, 144syl22anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e A )  =/= -oo )
146145neneqd 2330 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  -.  ( A +e A )  = -oo )
147132adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  (
( A +e
A )  = -oo  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
148146, 147mtbid 662 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  -.  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) )
149141, 1482falsed 692 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
150108biimpa 294 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  A  <_  B )
151 simplll 523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  A  e.  RR* )
152151, 151xaddcld 9696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e A )  e.  RR* )
153152xrleidd 9616 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e A )  <_  ( A +e A ) )
154 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  A  = -oo )
155 simplr 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  B  = -oo )
156154, 155eqtr4d 2176 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  A  =  B )
157156, 156oveq12d 5799 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e A )  =  ( B +e B ) )
158153, 157breqtrd 3961 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) )
159150, 1582thd 174 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  /\  A  = -oo )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
16074ad2antrr 480 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
161135, 149, 159, 160mpjao3dan 1286 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  B  = -oo )  ->  ( A  <_  B 
<->  ( A +e
A )  <_  ( B +e B ) ) )
162 elxr 9592 . . . 4  |-  ( B  e.  RR*  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
163162biimpi 119 . . 3  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
164163adantl 275 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
16576, 96, 161, 164mpjao3dan 1286 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e A )  <_  ( B +e B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ w3o 962    = wceq 1332    e. wcel 1481    =/= wne 2309   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781   CCcc 7641   RRcr 7642   0cc0 7643    + caddc 7646    x. cmul 7648   +oocpnf 7820   -oocmnf 7821   RR*cxr 7822    < clt 7823    <_ cle 7824   2c2 8794   +ecxad 9586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-2 8802  df-xadd 9589
This theorem is referenced by:  psmetge0  12537  xmetge0  12571
  Copyright terms: Public domain W3C validator