Theorem ixxval 9679

Description: Value of the interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	|- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )

Assertion

Ref	Expression
ixxval	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A O B ) = { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   O( x, y, z)

Proof of Theorem ixxval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3932	. . . 4 |- ( x = A -> ( x R z <-> A R z ) )
2	1	anbi1d 460	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x R z /\ z S y ) <-> ( A R z /\ z S y ) ) )
3	2	rabbidv 2675	. 2 |- ( x = A -> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } = { z e. RR* | ( A R z /\ z S y ) } )
4		breq2 3933	. . . 4 |- ( y = B -> ( z S y <-> z S B ) )
5	4	anbi2d 459	. . 3 |- ( y = B -> ( ( A R z /\ z S y ) <-> ( A R z /\ z S B ) ) )
6	5	rabbidv 2675	. 2 |- ( y = B -> { z e. RR* | ( A R z /\ z S y ) } = { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } )
7		ixx.1	. 2 |- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )
8		xrex 9639	. . 3 |- RR* e. _V
9	8	rabex 4072	. 2 |- { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } e. _V
10	3, 6, 7, 9	ovmpo 5906	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A O B ) = { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   {crab 2420   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776   RR*cxr 7799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804

This theorem is referenced by:  elixx1  9680  iooval  9691  iocval  9701  icoval  9702  iccval  9703