Theorem ixxval 9840

Description: Value of the interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	|- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )

Assertion

Ref	Expression
ixxval	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A O B ) = { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   O( x, y, z)

Proof of Theorem ixxval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3990	. . . 4 |- ( x = A -> ( x R z <-> A R z ) )
2	1	anbi1d 462	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x R z /\ z S y ) <-> ( A R z /\ z S y ) ) )
3	2	rabbidv 2719	. 2 |- ( x = A -> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } = { z e. RR* | ( A R z /\ z S y ) } )
4		breq2 3991	. . . 4 |- ( y = B -> ( z S y <-> z S B ) )
5	4	anbi2d 461	. . 3 |- ( y = B -> ( ( A R z /\ z S y ) <-> ( A R z /\ z S B ) ) )
6	5	rabbidv 2719	. 2 |- ( y = B -> { z e. RR* | ( A R z /\ z S y ) } = { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } )
7		ixx.1	. 2 |- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )
8		xrex 9800	. . 3 |- RR* e. _V
9	8	rabex 4131	. 2 |- { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } e. _V
10	3, 6, 7, 9	ovmpo 5985	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A O B ) = { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {crab 2452   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   e. cmpo 5852   RR*cxr 7940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945

This theorem is referenced by:  elixx1  9841  iooval  9852  iocval  9862  icoval  9863  iccval  9864