Theorem ixxval 9223

Description: Value of the interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	|- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )

Assertion

Ref	Expression
ixxval	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A O B ) = { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   O( x, y, z)

Proof of Theorem ixxval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3817	. . . 4 |- ( x = A -> ( x R z <-> A R z ) )
2	1	anbi1d 453	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x R z /\ z S y ) <-> ( A R z /\ z S y ) ) )
3	2	rabbidv 2603	. 2 |- ( x = A -> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } = { z e. RR* | ( A R z /\ z S y ) } )
4		breq2 3818	. . . 4 |- ( y = B -> ( z S y <-> z S B ) )
5	4	anbi2d 452	. . 3 |- ( y = B -> ( ( A R z /\ z S y ) <-> ( A R z /\ z S B ) ) )
6	5	rabbidv 2603	. 2 |- ( y = B -> { z e. RR* | ( A R z /\ z S y ) } = { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } )
7		ixx.1	. 2 |- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )
8		xrex 9214	. . 3 |- RR* e. _V
9	8	rabex 3951	. 2 |- { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } e. _V
10	3, 6, 7, 9	ovmpt2 5718	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A O B ) = { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1287   e. wcel 1436   {crab 2359   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594   |-> cmpt2 5596   RR*cxr 7442

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fv 4980  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447

This theorem is referenced by:  elixx1  9224  iooval  9235  iocval  9245  icoval  9246  iccval  9247