Theorem ixxval 9971

Description: Value of the interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	|- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )

Assertion

Ref	Expression
ixxval	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A O B ) = { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   O( x, y, z)

Proof of Theorem ixxval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4036	. . . 4 |- ( x = A -> ( x R z <-> A R z ) )
2	1	anbi1d 465	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x R z /\ z S y ) <-> ( A R z /\ z S y ) ) )
3	2	rabbidv 2752	. 2 |- ( x = A -> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } = { z e. RR* | ( A R z /\ z S y ) } )
4		breq2 4037	. . . 4 |- ( y = B -> ( z S y <-> z S B ) )
5	4	anbi2d 464	. . 3 |- ( y = B -> ( ( A R z /\ z S y ) <-> ( A R z /\ z S B ) ) )
6	5	rabbidv 2752	. 2 |- ( y = B -> { z e. RR* | ( A R z /\ z S y ) } = { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } )
7		ixx.1	. 2 |- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )
8		xrex 9931	. . 3 |- RR* e. _V
9	8	rabex 4177	. 2 |- { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } e. _V
10	3, 6, 7, 9	ovmpo 6058	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A O B ) = { z e. RR* | ( A R z /\ z S B ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924   RR*cxr 8060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065

This theorem is referenced by:  elixx1  9972  iooval  9983  iocval  9993  icoval  9994  iccval  9995