Theorem ixxex 9974

Description: The set of intervals of extended reals exists. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	|- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )

Assertion

Ref	Expression
ixxex	|- O e. _V

Distinct variable groups:   x, y, z, R   x, S, y, z

Allowed substitution hints:   O( x, y, z)

Proof of Theorem ixxex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrex 9931	. . . 4 |- RR* e. _V
2	1, 1	xpex 4778	. . 3 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
3	1	pwex 4216	. . 3 |- ~P RR* e. _V
4	2, 3	xpex 4778	. 2 |- ( ( RR* X. RR* ) X. ~P RR* ) e. _V
5		ixx.1	. . . 4 |- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )
6	5	ixxf 9973	. . 3 |- O : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR*
7		fssxp 5425	. . 3 |- ( O : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR* -> O C_ ( ( RR* X. RR* ) X. ~P RR* ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 |- O C_ ( ( RR* X. RR* ) X. ~P RR* )
9	4, 8	ssexi 4171	1 |- O e. _V

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   ~Pcpw 3605   class class class wbr 4033   X. cxp 4661   -->wf 5254   e. cmpo 5924   RR*cxr 8060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065

This theorem is referenced by:  iooex  9982