ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmetunirn Unicode version

Theorem xmetunirn 12553
Description: Two ways to express an extended metric on an unspecified base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetunirn  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )

Proof of Theorem xmetunirn
Dummy variables  x  y  z  d  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnmap 6552 . . . . . . 7  |-  ^m  Fn  ( _V  X.  _V )
2 xrex 9662 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  _V
3 sqxpexg 4658 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  X.  x )  e.  _V )
43elv 2690 . . . . . . 7  |-  ( x  X.  x )  e. 
_V
5 fnovex 5807 . . . . . . 7  |-  ( (  ^m  Fn  ( _V 
X.  _V )  /\  RR*  e.  _V  /\  ( x  X.  x )  e. 
_V )  ->  ( RR*  ^m  ( x  X.  x ) )  e. 
_V )
61, 2, 4, 5mp3an 1315 . . . . . 6  |-  ( RR*  ^m  ( x  X.  x
) )  e.  _V
76rabex 4075 . . . . 5  |-  { d  e.  ( RR*  ^m  (
x  X.  x ) )  |  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( (
( y d z )  =  0  <->  y  =  z )  /\  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) }  e.  _V
8 df-xmet 12183 . . . . 5  |-  *Met  =  ( x  e. 
_V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  (
x  X.  x ) )  |  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( (
( y d z )  =  0  <->  y  =  z )  /\  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
97, 8fnmpti 5254 . . . 4  |-  *Met  Fn  _V
10 fnunirn 5671 . . . 4  |-  ( *Met  Fn  _V  ->  ( D  e.  U. ran  *Met  <->  E. x  e.  _V  D  e.  ( *Met `  x ) ) )
119, 10ax-mp 5 . . 3  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  E. x  e.  _V  D  e.  ( *Met `  x ) )
12 id 19 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  D  e.  ( *Met `  x ) )
13 xmetdmdm 12551 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  x  =  dom  dom  D )
1413fveq2d 5428 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  ( *Met `  x )  =  ( *Met ` 
dom  dom  D ) )
1512, 14eleqtrd 2218 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
1615rexlimivw 2545 . . 3  |-  ( E. x  e.  _V  D  e.  ( *Met `  x )  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
1711, 16sylbi 120 . 2  |-  ( D  e.  U. ran  *Met  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom 
D ) )
18 elex 2697 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met ` 
dom  dom  D )  ->  D  e.  _V )
19 dmexg 4806 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  ->  dom  D  e.  _V )
20 dmexg 4806 . . . . . 6  |-  ( dom 
D  e.  _V  ->  dom 
dom  D  e.  _V )
2118, 19, 203syl 17 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met ` 
dom  dom  D )  ->  dom  dom  D  e.  _V )
22 fvssunirng 5439 . . . . 5  |-  ( dom 
dom  D  e.  _V  ->  ( *Met `  dom  dom  D )  C_  U.
ran  *Met )
2321, 22syl 14 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met ` 
dom  dom  D )  -> 
( *Met `  dom  dom  D )  C_  U.
ran  *Met )
2423sseld 3096 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met ` 
dom  dom  D )  -> 
( D  e.  ( *Met `  dom  dom 
D )  ->  D  e.  U. ran  *Met ) )
2524pm2.43i 49 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met ` 
dom  dom  D )  ->  D  e.  U. ran  *Met )
2617, 25impbii 125 1  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   {crab 2420   _Vcvv 2686    C_ wss 3071   U.cuni 3739   class class class wbr 3932    X. cxp 4540   dom cdm 4542   ran crn 4543    Fn wfn 5121   ` cfv 5126  (class class class)co 5777    ^m cmap 6545   0cc0 7639   RR*cxr 7818    <_ cle 7820   +ecxad 9580   *Metcxmet 12175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-fv 5134  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-map 6547  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-xmet 12183
This theorem is referenced by:  isxms2  12647
  Copyright terms: Public domain W3C validator