Theorem xmetunirn 15240

Description: Two ways to express an extended metric on an unspecified base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetunirn	|- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )

Proof of Theorem xmetunirn

Dummy variables x y z d w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6891	. . . . . . 7 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		xrex 10192	. . . . . . 7 |- RR* e. _V
3		sqxpexg 4870	. . . . . . . 8 |- ( x e. _V -> ( x X. x ) e. _V )
4	3	elv 2819	. . . . . . 7 |- ( x X. x ) e. _V
5		fnovex 6085	. . . . . . 7 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ RR* e. _V /\ ( x X. x ) e. _V ) -> ( RR* ^m ( x X. x ) ) e. _V )
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1374	. . . . . 6 |- ( RR* ^m ( x X. x ) ) e. _V
7	6	rabex 4258	. . . . 5 |- { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x A. z e. x ( ( ( y d z ) = 0 <-> y = z ) /\ A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } e. _V
8		df-xmet 14709	. . . . 5 |- *Met = ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x A. z e. x ( ( ( y d z ) = 0 <-> y = z ) /\ A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
9	7, 8	fnmpti 5489	. . . 4 |- *Met Fn _V
10		fnunirn 5942	. . . 4 |- ( *Met Fn _V -> ( D e. U. ran *Met <-> E. x e. _V D e. ( *Met ` x ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 |- ( D e. U. ran *Met <-> E. x e. _V D e. ( *Met ` x ) )
12		id 19	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> D e. ( *Met ` x ) )
13		xmetdmdm 15238	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> x = dom dom D )
14	13	fveq2d 5676	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> ( *Met ` x ) = ( *Met ` dom dom D ) )
15	12, 14	eleqtrd 2313	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
16	15	rexlimivw 2658	. . 3 |- ( E. x e. _V D e. ( *Met ` x ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
17	11, 16	sylbi 121	. 2 |- ( D e. U. ran *Met -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
18		elex 2827	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> D e. _V )
19		dmexg 5023	. . . . . 6 |- ( D e. _V -> dom D e. _V )
20		dmexg 5023	. . . . . 6 |- ( dom D e. _V -> dom dom D e. _V )
21	18, 19, 20	3syl 17	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> dom dom D e. _V )
22		fvssunirng 5687	. . . . 5 |- ( dom dom D e. _V -> ( *Met ` dom dom D ) C_ U. ran *Met )
23	21, 22	syl 14	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> ( *Met ` dom dom D ) C_ U. ran *Met )
24	23	sseld 3239	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> D e. U. ran *Met ) )
25	24	pm2.43i 49	. 2 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> D e. U. ran *Met )
26	17, 25	impbii 126	1 |- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   {crab 2526   _Vcvv 2815   C_ wss 3213   U.cuni 3916   class class class wbr 4111   X. cxp 4749   dom cdm 4751   ran crn 4752   Fn wfn 5349   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   ^m cmap 6884   0cc0 8129   RR*cxr 8309   <_ cle 8311   +ecxad 10106   *Metcxmet 14701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-map 6886  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-xmet 14709

This theorem is referenced by:  isxms2  15334