Theorem xmetunirn 14594

Description: Two ways to express an extended metric on an unspecified base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetunirn	|- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )

Proof of Theorem xmetunirn

Dummy variables x y z d w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6714	. . . . . . 7 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		xrex 9931	. . . . . . 7 |- RR* e. _V
3		sqxpexg 4779	. . . . . . . 8 |- ( x e. _V -> ( x X. x ) e. _V )
4	3	elv 2767	. . . . . . 7 |- ( x X. x ) e. _V
5		fnovex 5955	. . . . . . 7 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ RR* e. _V /\ ( x X. x ) e. _V ) -> ( RR* ^m ( x X. x ) ) e. _V )
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1348	. . . . . 6 |- ( RR* ^m ( x X. x ) ) e. _V
7	6	rabex 4177	. . . . 5 |- { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x A. z e. x ( ( ( y d z ) = 0 <-> y = z ) /\ A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } e. _V
8		df-xmet 14100	. . . . 5 |- *Met = ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x A. z e. x ( ( ( y d z ) = 0 <-> y = z ) /\ A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
9	7, 8	fnmpti 5386	. . . 4 |- *Met Fn _V
10		fnunirn 5814	. . . 4 |- ( *Met Fn _V -> ( D e. U. ran *Met <-> E. x e. _V D e. ( *Met ` x ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 |- ( D e. U. ran *Met <-> E. x e. _V D e. ( *Met ` x ) )
12		id 19	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> D e. ( *Met ` x ) )
13		xmetdmdm 14592	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> x = dom dom D )
14	13	fveq2d 5562	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> ( *Met ` x ) = ( *Met ` dom dom D ) )
15	12, 14	eleqtrd 2275	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
16	15	rexlimivw 2610	. . 3 |- ( E. x e. _V D e. ( *Met ` x ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
17	11, 16	sylbi 121	. 2 |- ( D e. U. ran *Met -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
18		elex 2774	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> D e. _V )
19		dmexg 4930	. . . . . 6 |- ( D e. _V -> dom D e. _V )
20		dmexg 4930	. . . . . 6 |- ( dom D e. _V -> dom dom D e. _V )
21	18, 19, 20	3syl 17	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> dom dom D e. _V )
22		fvssunirng 5573	. . . . 5 |- ( dom dom D e. _V -> ( *Met ` dom dom D ) C_ U. ran *Met )
23	21, 22	syl 14	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> ( *Met ` dom dom D ) C_ U. ran *Met )
24	23	sseld 3182	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> D e. U. ran *Met ) )
25	24	pm2.43i 49	. 2 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> D e. U. ran *Met )
26	17, 25	impbii 126	1 |- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   U.cuni 3839   class class class wbr 4033   X. cxp 4661   dom cdm 4663   ran crn 4664   Fn wfn 5253   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   ^m cmap 6707   0cc0 7879   RR*cxr 8060   <_ cle 8062   +ecxad 9845   *Metcxmet 14092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-xmet 14100

This theorem is referenced by:  isxms2  14688