Theorem xmetunirn 15081

Description: Two ways to express an extended metric on an unspecified base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetunirn	|- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )

Proof of Theorem xmetunirn

Dummy variables x y z d w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6823	. . . . . . 7 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		xrex 10090	. . . . . . 7 |- RR* e. _V
3		sqxpexg 4843	. . . . . . . 8 |- ( x e. _V -> ( x X. x ) e. _V )
4	3	elv 2806	. . . . . . 7 |- ( x X. x ) e. _V
5		fnovex 6050	. . . . . . 7 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ RR* e. _V /\ ( x X. x ) e. _V ) -> ( RR* ^m ( x X. x ) ) e. _V )
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1373	. . . . . 6 |- ( RR* ^m ( x X. x ) ) e. _V
7	6	rabex 4234	. . . . 5 |- { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x A. z e. x ( ( ( y d z ) = 0 <-> y = z ) /\ A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } e. _V
8		df-xmet 14557	. . . . 5 |- *Met = ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x A. z e. x ( ( ( y d z ) = 0 <-> y = z ) /\ A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
9	7, 8	fnmpti 5461	. . . 4 |- *Met Fn _V
10		fnunirn 5907	. . . 4 |- ( *Met Fn _V -> ( D e. U. ran *Met <-> E. x e. _V D e. ( *Met ` x ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 |- ( D e. U. ran *Met <-> E. x e. _V D e. ( *Met ` x ) )
12		id 19	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> D e. ( *Met ` x ) )
13		xmetdmdm 15079	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> x = dom dom D )
14	13	fveq2d 5643	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> ( *Met ` x ) = ( *Met ` dom dom D ) )
15	12, 14	eleqtrd 2310	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
16	15	rexlimivw 2646	. . 3 |- ( E. x e. _V D e. ( *Met ` x ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
17	11, 16	sylbi 121	. 2 |- ( D e. U. ran *Met -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
18		elex 2814	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> D e. _V )
19		dmexg 4996	. . . . . 6 |- ( D e. _V -> dom D e. _V )
20		dmexg 4996	. . . . . 6 |- ( dom D e. _V -> dom dom D e. _V )
21	18, 19, 20	3syl 17	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> dom dom D e. _V )
22		fvssunirng 5654	. . . . 5 |- ( dom dom D e. _V -> ( *Met ` dom dom D ) C_ U. ran *Met )
23	21, 22	syl 14	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> ( *Met ` dom dom D ) C_ U. ran *Met )
24	23	sseld 3226	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> D e. U. ran *Met ) )
25	24	pm2.43i 49	. 2 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> D e. U. ran *Met )
26	17, 25	impbii 126	1 |- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   {crab 2514   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   U.cuni 3893   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   dom cdm 4725   ran crn 4726   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   ^m cmap 6816   0cc0 8031   RR*cxr 8212   <_ cle 8214   +ecxad 10004   *Metcxmet 14549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-map 6818  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-xmet 14557

This theorem is referenced by:  isxms2  15175