Theorem xmetunirn 14335

Description: Two ways to express an extended metric on an unspecified base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetunirn	|- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )

Proof of Theorem xmetunirn

Dummy variables x y z d w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6682	. . . . . . 7 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		xrex 9888	. . . . . . 7 |- RR* e. _V
3		sqxpexg 4760	. . . . . . . 8 |- ( x e. _V -> ( x X. x ) e. _V )
4	3	elv 2756	. . . . . . 7 |- ( x X. x ) e. _V
5		fnovex 5930	. . . . . . 7 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ RR* e. _V /\ ( x X. x ) e. _V ) -> ( RR* ^m ( x X. x ) ) e. _V )
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1348	. . . . . 6 |- ( RR* ^m ( x X. x ) ) e. _V
7	6	rabex 4162	. . . . 5 |- { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x A. z e. x ( ( ( y d z ) = 0 <-> y = z ) /\ A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } e. _V
8		df-xmet 13874	. . . . 5 |- *Met = ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x A. z e. x ( ( ( y d z ) = 0 <-> y = z ) /\ A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
9	7, 8	fnmpti 5363	. . . 4 |- *Met Fn _V
10		fnunirn 5789	. . . 4 |- ( *Met Fn _V -> ( D e. U. ran *Met <-> E. x e. _V D e. ( *Met ` x ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 |- ( D e. U. ran *Met <-> E. x e. _V D e. ( *Met ` x ) )
12		id 19	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> D e. ( *Met ` x ) )
13		xmetdmdm 14333	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> x = dom dom D )
14	13	fveq2d 5538	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> ( *Met ` x ) = ( *Met ` dom dom D ) )
15	12, 14	eleqtrd 2268	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
16	15	rexlimivw 2603	. . 3 |- ( E. x e. _V D e. ( *Met ` x ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
17	11, 16	sylbi 121	. 2 |- ( D e. U. ran *Met -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
18		elex 2763	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> D e. _V )
19		dmexg 4909	. . . . . 6 |- ( D e. _V -> dom D e. _V )
20		dmexg 4909	. . . . . 6 |- ( dom D e. _V -> dom dom D e. _V )
21	18, 19, 20	3syl 17	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> dom dom D e. _V )
22		fvssunirng 5549	. . . . 5 |- ( dom dom D e. _V -> ( *Met ` dom dom D ) C_ U. ran *Met )
23	21, 22	syl 14	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> ( *Met ` dom dom D ) C_ U. ran *Met )
24	23	sseld 3169	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> D e. U. ran *Met ) )
25	24	pm2.43i 49	. 2 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> D e. U. ran *Met )
26	17, 25	impbii 126	1 |- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   {crab 2472   _Vcvv 2752   C_ wss 3144   U.cuni 3824   class class class wbr 4018   X. cxp 4642   dom cdm 4644   ran crn 4645   Fn wfn 5230   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   ^m cmap 6675   0cc0 7842   RR*cxr 8022   <_ cle 8024   +ecxad 9802   *Metcxmet 13866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-map 6677  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-xmet 13874

This theorem is referenced by:  isxms2  14429