Theorem xmetunirn 12899

Description: Two ways to express an extended metric on an unspecified base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetunirn	|- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )

Proof of Theorem xmetunirn

Dummy variables x y z d w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmap 6612	. . . . . . 7 |- ^m Fn ( _V X. _V )
2		xrex 9783	. . . . . . 7 |- RR* e. _V
3		sqxpexg 4714	. . . . . . . 8 |- ( x e. _V -> ( x X. x ) e. _V )
4	3	elv 2725	. . . . . . 7 |- ( x X. x ) e. _V
5		fnovex 5866	. . . . . . 7 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ RR* e. _V /\ ( x X. x ) e. _V ) -> ( RR* ^m ( x X. x ) ) e. _V )
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1326	. . . . . 6 |- ( RR* ^m ( x X. x ) ) e. _V
7	6	rabex 4120	. . . . 5 |- { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x A. z e. x ( ( ( y d z ) = 0 <-> y = z ) /\ A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } e. _V
8		df-xmet 12529	. . . . 5 |- *Met = ( x e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( x X. x ) ) | A. y e. x A. z e. x ( ( ( y d z ) = 0 <-> y = z ) /\ A. w e. x ( y d z ) <_ ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
9	7, 8	fnmpti 5310	. . . 4 |- *Met Fn _V
10		fnunirn 5729	. . . 4 |- ( *Met Fn _V -> ( D e. U. ran *Met <-> E. x e. _V D e. ( *Met ` x ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 |- ( D e. U. ran *Met <-> E. x e. _V D e. ( *Met ` x ) )
12		id 19	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> D e. ( *Met ` x ) )
13		xmetdmdm 12897	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> x = dom dom D )
14	13	fveq2d 5484	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> ( *Met ` x ) = ( *Met ` dom dom D ) )
15	12, 14	eleqtrd 2243	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` x ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
16	15	rexlimivw 2577	. . 3 |- ( E. x e. _V D e. ( *Met ` x ) -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
17	11, 16	sylbi 120	. 2 |- ( D e. U. ran *Met -> D e. ( *Met ` dom dom D ) )
18		elex 2732	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> D e. _V )
19		dmexg 4862	. . . . . 6 |- ( D e. _V -> dom D e. _V )
20		dmexg 4862	. . . . . 6 |- ( dom D e. _V -> dom dom D e. _V )
21	18, 19, 20	3syl 17	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> dom dom D e. _V )
22		fvssunirng 5495	. . . . 5 |- ( dom dom D e. _V -> ( *Met ` dom dom D ) C_ U. ran *Met )
23	21, 22	syl 14	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> ( *Met ` dom dom D ) C_ U. ran *Met )
24	23	sseld 3136	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> D e. U. ran *Met ) )
25	24	pm2.43i 49	. 2 |- ( D e. ( *Met ` dom dom D ) -> D e. U. ran *Met )
26	17, 25	impbii 125	1 |- ( D e. U. ran *Met <-> D e. ( *Met ` dom dom D ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1342   e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443   {crab 2446   _Vcvv 2721   C_ wss 3111   U.cuni 3783   class class class wbr 3976   X. cxp 4596   dom cdm 4598   ran crn 4599   Fn wfn 5177   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   ^m cmap 6605   0cc0 7744   RR*cxr 7923   <_ cle 7925   +ecxad 9697   *Metcxmet 12521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-map 6607  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-xmet 12529

This theorem is referenced by:  isxms2  12993