Theorem xrex 9922

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	⊢ ℝ* ∈ V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8058	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		reex 8006	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
3		pnfxr 8072	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		mnfxr 8076	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		prexg 4240	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → {+∞, -∞} ∈ V)
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ∈ V
7	2, 6	unex 4472	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2266	1 ⊢ ℝ* ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∪ cun 3151  {cpr 3619  ℝcr 7871  +∞cpnf 8051  -∞cmnf 8052  ℝ^*cxr 8053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058

This theorem is referenced by:  ixxval  9962  ixxf  9964  ixxex  9965  znval  14124  znle  14125  znbaslemnn  14127  ispsmet  14491  isxmet  14513  xmetunirn  14526  blfvalps  14553  blex  14555