Theorem xrex 10096

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	⊢ ℝ* ∈ V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8223	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		reex 8171	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
3		pnfxr 8237	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		mnfxr 8241	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		prexg 4303	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → {+∞, -∞} ∈ V)
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ∈ V
7	2, 6	unex 4540	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2303	1 ⊢ ℝ* ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801   ∪ cun 3197  {cpr 3671  ℝcr 8036  +∞cpnf 8216  -∞cmnf 8217  ℝ^*cxr 8218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-rex 2515  df-v 2803  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-uni 3895  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223

This theorem is referenced by:  ixxval  10136  ixxf  10138  ixxex  10139  blfn  14589  cnfldstr  14596  cnfldle  14605  znval  14674  znle  14675  znbaslemnn  14677  ispsmet  15076  isxmet  15098  xmetunirn  15111  blfvalps  15138  blex  15140