Theorem xrex 10069

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	⊢ ℝ* ∈ V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8201	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		reex 8149	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
3		pnfxr 8215	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		mnfxr 8219	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		prexg 4296	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → {+∞, -∞} ∈ V)
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ∈ V
7	2, 6	unex 4533	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2302	1 ⊢ ℝ* ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∪ cun 3195  {cpr 3667  ℝcr 8014  +∞cpnf 8194  -∞cmnf 8195  ℝ^*cxr 8196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201

This theorem is referenced by:  ixxval  10109  ixxf  10111  ixxex  10112  blfn  14536  cnfldstr  14543  cnfldle  14552  znval  14621  znle  14622  znbaslemnn  14624  ispsmet  15018  isxmet  15040  xmetunirn  15053  blfvalps  15080  blex  15082