Theorem xrex 10020

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	⊢ ℝ* ∈ V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8153	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		reex 8101	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
3		pnfxr 8167	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		mnfxr 8171	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		prexg 4274	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → {+∞, -∞} ∈ V)
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ∈ V
7	2, 6	unex 4509	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2282	1 ⊢ ℝ* ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2180  Vcvv 2779   ∪ cun 3175  {cpr 3647  ℝcr 7966  +∞cpnf 8146  -∞cmnf 8147  ℝ^*cxr 8148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-rex 2494  df-v 2781  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-uni 3868  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153

This theorem is referenced by:  ixxval  10060  ixxf  10062  ixxex  10063  blfn  14480  cnfldstr  14487  cnfldle  14496  znval  14565  znle  14566  znbaslemnn  14568  ispsmet  14962  isxmet  14984  xmetunirn  14997  blfvalps  15024  blex  15026