Theorem xrex 10091

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	⊢ ℝ* ∈ V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8218	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		reex 8166	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
3		pnfxr 8232	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		mnfxr 8236	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		prexg 4301	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → {+∞, -∞} ∈ V)
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ∈ V
7	2, 6	unex 4538	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2304	1 ⊢ ℝ* ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ∪ cun 3198  {cpr 3670  ℝcr 8031  +∞cpnf 8211  -∞cmnf 8212  ℝ^*cxr 8213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218

This theorem is referenced by:  ixxval  10131  ixxf  10133  ixxex  10134  blfn  14568  cnfldstr  14575  cnfldle  14584  znval  14653  znle  14654  znbaslemnn  14656  ispsmet  15050  isxmet  15072  xmetunirn  15085  blfvalps  15112  blex  15114