Theorem xrex 9948

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	⊢ ℝ* ∈ V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8082	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		reex 8030	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
3		pnfxr 8096	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		mnfxr 8100	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		prexg 4245	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → {+∞, -∞} ∈ V)
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ∈ V
7	2, 6	unex 4477	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2269	1 ⊢ ℝ* ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155  {cpr 3624  ℝcr 7895  +∞cpnf 8075  -∞cmnf 8076  ℝ^*cxr 8077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082

This theorem is referenced by:  ixxval  9988  ixxf  9990  ixxex  9991  blfn  14183  cnfldstr  14190  cnfldle  14199  znval  14268  znle  14269  znbaslemnn  14271  ispsmet  14643  isxmet  14665  xmetunirn  14678  blfvalps  14705  blex  14707