Theorem xrex 10185

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	⊢ ℝ* ∈ V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8308	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		reex 8257	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
3		pnfxr 8322	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		mnfxr 8326	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		prexg 4324	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → {+∞, -∞} ∈ V)
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ∈ V
7	2, 6	unex 4561	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2305	1 ⊢ ℝ* ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812   ∪ cun 3208  {cpr 3689  ℝcr 8122  +∞cpnf 8301  -∞cmnf 8302  ℝ^*cxr 8303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-v 2814  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-uni 3914  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308

This theorem is referenced by:  ixxval  10225  ixxf  10227  ixxex  10228  blfn  14686  cnfldstr  14693  cnfldle  14702  znval  14771  znle  14772  znbaslemnn  14774  ispsmet  15175  isxmet  15197  xmetunirn  15210  blfvalps  15237  blex  15239