Theorem xrex 10260

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	⊢ ℝ* ∈ V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8364	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		reex 8313	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
3		pnfxr 8378	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		mnfxr 8382	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		prexg 4349	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → {+∞, -∞} ∈ V)
6	3, 4, 5	mp2an 430	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ∈ V
7	2, 6	unex 4587	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2311	1 ⊢ ℝ* ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  {cpr 3710  ℝcr 8178  +∞cpnf 8357  -∞cmnf 8358  ℝ^*cxr 8359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364

This theorem is used by:  ixxval  10300  ixxf  10302  ixxex  10303  blfn  14890  cnfldstr  14897  cnfldle  14906  znval  14973  znle  14974  znbaslemnn  14976  ispsmet  15426  isxmet  15448  xmetunirn  15461  blfvalps  15488  blex  15490