Theorem xrex 10195

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	⊢ ℝ* ∈ V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8317	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		reex 8266	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
3		pnfxr 8331	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		mnfxr 8335	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		prexg 4327	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → {+∞, -∞} ∈ V)
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ∈ V
7	2, 6	unex 4564	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2307	1 ⊢ ℝ* ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∪ cun 3211  {cpr 3692  ℝcr 8131  +∞cpnf 8310  -∞cmnf 8311  ℝ^*cxr 8312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-uni 3917  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317

This theorem is referenced by:  ixxval  10235  ixxf  10237  ixxex  10238  blfn  14748  cnfldstr  14755  cnfldle  14764  znval  14833  znle  14834  znbaslemnn  14836  ispsmet  15237  isxmet  15259  xmetunirn  15272  blfvalps  15299  blex  15301