Theorem xrex 9669

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	⊢ ℝ* ∈ V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 7828	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		reex 7778	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
3		pnfxr 7842	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		mnfxr 7846	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		prexg 4141	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → {+∞, -∞} ∈ V)
6	3, 4, 5	mp2an 423	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ∈ V
7	2, 6	unex 4370	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2213	1 ⊢ ℝ* ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689   ∪ cun 3074  {cpr 3533  ℝcr 7643  +∞cpnf 7821  -∞cmnf 7822  ℝ^*cxr 7823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828

This theorem is referenced by:  ixxval  9709  ixxf  9711  ixxex  9712  ispsmet  12531  isxmet  12553  xmetunirn  12566  blfvalps  12593  blex  12595