Theorem xrex 9792

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	⊢ ℝ* ∈ V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 7937	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		reex 7887	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
3		pnfxr 7951	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		mnfxr 7955	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		prexg 4189	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → {+∞, -∞} ∈ V)
6	3, 4, 5	mp2an 423	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ∈ V
7	2, 6	unex 4419	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2239	1 ⊢ ℝ* ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   ∪ cun 3114  {cpr 3577  ℝcr 7752  +∞cpnf 7930  -∞cmnf 7931  ℝ^*cxr 7932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937

This theorem is referenced by:  ixxval  9832  ixxf  9834  ixxex  9835  ispsmet  12963  isxmet  12985  xmetunirn  12998  blfvalps  13025  blex  13027