Theorem xrex 9869

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	⊢ ℝ* ∈ V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 8009	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		reex 7958	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
3		pnfxr 8023	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		mnfxr 8027	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		prexg 4223	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → {+∞, -∞} ∈ V)
6	3, 4, 5	mp2an 426	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ∈ V
7	2, 6	unex 4453	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2260	1 ⊢ ℝ* ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2158  Vcvv 2749   ∪ cun 3139  {cpr 3605  ℝcr 7823  +∞cpnf 8002  -∞cmnf 8003  ℝ^*cxr 8004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-uni 3822  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009

This theorem is referenced by:  ixxval  9909  ixxf  9911  ixxex  9912  ispsmet  14094  isxmet  14116  xmetunirn  14129  blfvalps  14156  blex  14158