Theorem mnfxr 8235

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8216	. . . . 5 |- -oo = ~P +oo
2		pnfex 8232	. . . . . 6 |- +oo e. _V
3	2	pwex 4273	. . . . 5 |- ~P +oo e. _V
4	1, 3	eqeltri 2304	. . . 4 |- -oo e. _V
5	4	prid2 3778	. . 3 |- -oo e. { +oo , -oo }
6		elun2 3375	. . 3 |- ( -oo e. { +oo , -oo } -> -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
8		df-xr 8217	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
9	7, 8	eleqtrri 2307	1 |- -oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   u. cun 3198   ~Pcpw 3652   {cpr 3670   RRcr 8030   +oocpnf 8210   -oocmnf 8211   RR*cxr 8212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-un 4530  ax-cnex 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217

This theorem is referenced by:  elxr  10010  xrltnr  10013  mnflt  10017  mnfltpnf  10019  nltmnf  10022  mnfle  10026  xrltnsym  10027  xrlttri3  10031  ngtmnft  10051  xrrebnd  10053  xrre2  10055  xrre3  10056  ge0gtmnf  10057  xnegcl  10066  xltnegi  10069  xaddf  10078  xaddval  10079  xaddmnf1  10082  xaddmnf2  10083  pnfaddmnf  10084  mnfaddpnf  10085  xrex  10090  xltadd1  10110  xlt2add  10114  xsubge0  10115  xposdif  10116  xleaddadd  10121  elioc2  10170  elico2  10171  elicc2  10172  ioomax  10182  iccmax  10183  elioomnf  10202  unirnioo  10207  xrmaxadd  11821  reopnap  15269  blssioo  15276  tgioo  15277