Theorem mnfxr 8100

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8081	. . . . 5 |- -oo = ~P +oo
2		pnfex 8097	. . . . . 6 |- +oo e. _V
3	2	pwex 4217	. . . . 5 |- ~P +oo e. _V
4	1, 3	eqeltri 2269	. . . 4 |- -oo e. _V
5	4	prid2 3730	. . 3 |- -oo e. { +oo , -oo }
6		elun2 3332	. . 3 |- ( -oo e. { +oo , -oo } -> -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
8		df-xr 8082	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
9	7, 8	eleqtrri 2272	1 |- -oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   u. cun 3155   ~Pcpw 3606   {cpr 3624   RRcr 7895   +oocpnf 8075   -oocmnf 8076   RR*cxr 8077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-un 4469  ax-cnex 7987

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082

This theorem is referenced by:  elxr  9868  xrltnr  9871  mnflt  9875  mnfltpnf  9877  nltmnf  9880  mnfle  9884  xrltnsym  9885  xrlttri3  9889  ngtmnft  9909  xrrebnd  9911  xrre2  9913  xrre3  9914  ge0gtmnf  9915  xnegcl  9924  xltnegi  9927  xaddf  9936  xaddval  9937  xaddmnf1  9940  xaddmnf2  9941  pnfaddmnf  9942  mnfaddpnf  9943  xrex  9948  xltadd1  9968  xlt2add  9972  xsubge0  9973  xposdif  9974  xleaddadd  9979  elioc2  10028  elico2  10029  elicc2  10030  ioomax  10040  iccmax  10041  elioomnf  10060  unirnioo  10065  xrmaxadd  11443  reopnap  14866  blssioo  14873  tgioo  14874