Theorem mnfxr 8383

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8364	. . . . 5 |- -oo = ~P +oo
2		pnfex 8380	. . . . . 6 |- +oo e. _V
3	2	pwex 4320	. . . . 5 |- ~P +oo e. _V
4	1, 3	eqeltri 2311	. . . 4 |- -oo e. _V
5	4	prid2 3818	. . 3 |- -oo e. { +oo , -oo }
6		elun2 3397	. . 3 |- ( -oo e. { +oo , -oo } -> -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
8		df-xr 8365	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
9	7, 8	eleqtrri 2314	1 |- -oo e. RR*

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   ~Pcpw 3688   {cpr 3710   RRcr 8179   +oocpnf 8358   -oocmnf 8359   RR*cxr 8360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-un 4578  ax-cnex 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365

This theorem is used by:  elxr  10189  xrltnr  10192  mnflt  10196  mnfltpnf  10198  nltmnf  10201  mnfle  10205  xrltnsym  10206  xrlttri3  10210  ngtmnft  10230  xrrebnd  10232  xrre2  10234  xrre3  10235  ge0gtmnf  10236  xnegcl  10245  xltnegi  10248  xaddf  10257  xaddval  10258  xaddmnf1  10261  xaddmnf2  10262  pnfaddmnf  10263  mnfaddpnf  10264  xrex  10269  xltadd1  10289  xlt2add  10293  xsubge0  10294  xposdif  10295  xleaddadd  10300  elioc2  10349  elico2  10350  elicc2  10351  ioomax  10361  iccmax  10362  elioomnf  10381  unirnioo  10386  xrmaxadd  12046  reopnap  15738  blssioo  15745  tgioo  15746  repiecelem  17240  repiecele0  17241  repiecege0  17242