Theorem mnfxr 8388

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8369	. . . . 5 |- -oo = ~P +oo
2		pnfex 8385	. . . . . 6 |- +oo e. _V
3	2	pwex 4322	. . . . 5 |- ~P +oo e. _V
4	1, 3	eqeltri 2311	. . . 4 |- -oo e. _V
5	4	prid2 3818	. . 3 |- -oo e. { +oo , -oo }
6		elun2 3397	. . 3 |- ( -oo e. { +oo , -oo } -> -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
8		df-xr 8370	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
9	7, 8	eleqtrri 2314	1 |- -oo e. RR*

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   ~Pcpw 3688   {cpr 3710   RRcr 8184   +oocpnf 8363   -oocmnf 8364   RR*cxr 8365

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-un 4580  ax-cnex 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370

This theorem is used by:  elxr  10195  xrltnr  10198  mnflt  10202  mnfltpnf  10204  nltmnf  10207  mnfle  10211  xrltnsym  10212  xrlttri3  10216  ngtmnft  10236  xrrebnd  10238  xrre2  10240  xrre3  10241  ge0gtmnf  10242  xnegcl  10251  xltnegi  10254  xaddf  10263  xaddval  10264  xaddmnf1  10267  xaddmnf2  10268  pnfaddmnf  10269  mnfaddpnf  10270  xrex  10275  xltadd1  10295  xlt2add  10299  xsubge0  10300  xposdif  10301  xleaddadd  10306  elioc2  10355  elico2  10356  elicc2  10357  ioomax  10367  iccmax  10368  elioomnf  10387  unirnioo  10392  xrmaxadd  12052  reopnap  15772  blssioo  15779  tgioo  15780  repiecelem  17280  repiecele0  17281  repiecege0  17282