Theorem mnfxr 8372

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8353	. . . . 5 |- -oo = ~P +oo
2		pnfex 8369	. . . . . 6 |- +oo e. _V
3	2	pwex 4315	. . . . 5 |- ~P +oo e. _V
4	1, 3	eqeltri 2311	. . . 4 |- -oo e. _V
5	4	prid2 3814	. . 3 |- -oo e. { +oo , -oo }
6		elun2 3397	. . 3 |- ( -oo e. { +oo , -oo } -> -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
8		df-xr 8354	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
9	7, 8	eleqtrri 2314	1 |- -oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   ~Pcpw 3685   {cpr 3706   RRcr 8168   +oocpnf 8347   -oocmnf 8348   RR*cxr 8349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-un 4573  ax-cnex 8260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354

This theorem is referenced by:  elxr  10157  xrltnr  10160  mnflt  10164  mnfltpnf  10166  nltmnf  10169  mnfle  10173  xrltnsym  10174  xrlttri3  10178  ngtmnft  10198  xrrebnd  10200  xrre2  10202  xrre3  10203  ge0gtmnf  10204  xnegcl  10213  xltnegi  10216  xaddf  10225  xaddval  10226  xaddmnf1  10229  xaddmnf2  10230  pnfaddmnf  10231  mnfaddpnf  10232  xrex  10237  xltadd1  10257  xlt2add  10261  xsubge0  10262  xposdif  10263  xleaddadd  10268  elioc2  10317  elico2  10318  elicc2  10319  ioomax  10329  iccmax  10330  elioomnf  10349  unirnioo  10354  xrmaxadd  12005  reopnap  15570  blssioo  15577  tgioo  15578  repiecelem  16979  repiecele0  16980  repiecege0  16981