Theorem mnfxr 7846

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 7827	. . . . 5 |- -oo = ~P +oo
2		pnfex 7843	. . . . . 6 |- +oo e. _V
3	2	pwex 4115	. . . . 5 |- ~P +oo e. _V
4	1, 3	eqeltri 2213	. . . 4 |- -oo e. _V
5	4	prid2 3638	. . 3 |- -oo e. { +oo , -oo }
6		elun2 3249	. . 3 |- ( -oo e. { +oo , -oo } -> -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
8		df-xr 7828	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
9	7, 8	eleqtrri 2216	1 |- -oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   u. cun 3074   ~Pcpw 3515   {cpr 3533   RRcr 7643   +oocpnf 7821   -oocmnf 7822   RR*cxr 7823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-un 4363  ax-cnex 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828

This theorem is referenced by:  elxr  9593  xrltnr  9596  mnflt  9599  mnfltpnf  9601  nltmnf  9604  mnfle  9608  xrltnsym  9609  xrlttri3  9613  ngtmnft  9630  xrrebnd  9632  xrre2  9634  xrre3  9635  ge0gtmnf  9636  xnegcl  9645  xltnegi  9648  xaddf  9657  xaddval  9658  xaddmnf1  9661  xaddmnf2  9662  pnfaddmnf  9663  mnfaddpnf  9664  xrex  9669  xltadd1  9689  xlt2add  9693  xsubge0  9694  xposdif  9695  xleaddadd  9700  elioc2  9749  elico2  9750  elicc2  9751  ioomax  9761  iccmax  9762  elioomnf  9781  unirnioo  9786  xrmaxadd  11062  reopnap  12746  blssioo  12753  tgioo  12754