Theorem mnfxr 8078

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8059	. . . . 5 |- -oo = ~P +oo
2		pnfex 8075	. . . . . 6 |- +oo e. _V
3	2	pwex 4213	. . . . 5 |- ~P +oo e. _V
4	1, 3	eqeltri 2266	. . . 4 |- -oo e. _V
5	4	prid2 3726	. . 3 |- -oo e. { +oo , -oo }
6		elun2 3328	. . 3 |- ( -oo e. { +oo , -oo } -> -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
8		df-xr 8060	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
9	7, 8	eleqtrri 2269	1 |- -oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   u. cun 3152   ~Pcpw 3602   {cpr 3620   RRcr 7873   +oocpnf 8053   -oocmnf 8054   RR*cxr 8055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-un 4465  ax-cnex 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060

This theorem is referenced by:  elxr  9845  xrltnr  9848  mnflt  9852  mnfltpnf  9854  nltmnf  9857  mnfle  9861  xrltnsym  9862  xrlttri3  9866  ngtmnft  9886  xrrebnd  9888  xrre2  9890  xrre3  9891  ge0gtmnf  9892  xnegcl  9901  xltnegi  9904  xaddf  9913  xaddval  9914  xaddmnf1  9917  xaddmnf2  9918  pnfaddmnf  9919  mnfaddpnf  9920  xrex  9925  xltadd1  9945  xlt2add  9949  xsubge0  9950  xposdif  9951  xleaddadd  9956  elioc2  10005  elico2  10006  elicc2  10007  ioomax  10017  iccmax  10018  elioomnf  10037  unirnioo  10042  xrmaxadd  11407  reopnap  14725  blssioo  14732  tgioo  14733