Theorem mnfxr 8330

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8311	. . . . 5 |- -oo = ~P +oo
2		pnfex 8327	. . . . . 6 |- +oo e. _V
3	2	pwex 4296	. . . . 5 |- ~P +oo e. _V
4	1, 3	eqeltri 2305	. . . 4 |- -oo e. _V
5	4	prid2 3798	. . 3 |- -oo e. { +oo , -oo }
6		elun2 3387	. . 3 |- ( -oo e. { +oo , -oo } -> -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
8		df-xr 8312	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
9	7, 8	eleqtrri 2308	1 |- -oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   u. cun 3209   ~Pcpw 3669   {cpr 3690   RRcr 8126   +oocpnf 8305   -oocmnf 8306   RR*cxr 8307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-un 4554  ax-cnex 8218

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312

This theorem is referenced by:  elxr  10109  xrltnr  10112  mnflt  10116  mnfltpnf  10118  nltmnf  10121  mnfle  10125  xrltnsym  10126  xrlttri3  10130  ngtmnft  10150  xrrebnd  10152  xrre2  10154  xrre3  10155  ge0gtmnf  10156  xnegcl  10165  xltnegi  10168  xaddf  10177  xaddval  10178  xaddmnf1  10181  xaddmnf2  10182  pnfaddmnf  10183  mnfaddpnf  10184  xrex  10189  xltadd1  10209  xlt2add  10213  xsubge0  10214  xposdif  10215  xleaddadd  10220  elioc2  10269  elico2  10270  elicc2  10271  ioomax  10281  iccmax  10282  elioomnf  10301  unirnioo  10306  xrmaxadd  11946  reopnap  15411  blssioo  15418  tgioo  15419  repiecelem  16809  repiecele0  16810  repiecege0  16811