Theorem mnfxr 8382

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8363	. . . . 5 |- -oo = ~P +oo
2		pnfex 8379	. . . . . 6 |- +oo e. _V
3	2	pwex 4320	. . . . 5 |- ~P +oo e. _V
4	1, 3	eqeltri 2311	. . . 4 |- -oo e. _V
5	4	prid2 3818	. . 3 |- -oo e. { +oo , -oo }
6		elun2 3397	. . 3 |- ( -oo e. { +oo , -oo } -> -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
8		df-xr 8364	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
9	7, 8	eleqtrri 2314	1 |- -oo e. RR*

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   ~Pcpw 3688   {cpr 3710   RRcr 8178   +oocpnf 8357   -oocmnf 8358   RR*cxr 8359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-un 4578  ax-cnex 8270

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364

This theorem is used by:  elxr  10188  xrltnr  10191  mnflt  10195  mnfltpnf  10197  nltmnf  10200  mnfle  10204  xrltnsym  10205  xrlttri3  10209  ngtmnft  10229  xrrebnd  10231  xrre2  10233  xrre3  10234  ge0gtmnf  10235  xnegcl  10244  xltnegi  10247  xaddf  10256  xaddval  10257  xaddmnf1  10260  xaddmnf2  10261  pnfaddmnf  10262  mnfaddpnf  10263  xrex  10268  xltadd1  10288  xlt2add  10292  xsubge0  10293  xposdif  10294  xleaddadd  10299  elioc2  10348  elico2  10349  elicc2  10350  ioomax  10360  iccmax  10361  elioomnf  10380  unirnioo  10385  xrmaxadd  12043  reopnap  15696  blssioo  15703  tgioo  15704  repiecelem  17172  repiecele0  17173  repiecege0  17174