ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mnfxr Unicode version

Theorem mnfxr 7834
Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
mnfxr  |- -oo  e.  RR*

Proof of Theorem mnfxr
StepHypRef Expression
1 df-mnf 7815 . . . . 5  |- -oo  =  ~P +oo
2 pnfex 7831 . . . . . 6  |- +oo  e.  _V
32pwex 4107 . . . . 5  |-  ~P +oo  e.  _V
41, 3eqeltri 2212 . . . 4  |- -oo  e.  _V
54prid2 3630 . . 3  |- -oo  e.  { +oo , -oo }
6 elun2 3244 . . 3  |-  ( -oo  e.  { +oo , -oo }  -> -oo  e.  ( RR  u.  { +oo , -oo } ) )
75, 6ax-mp 5 . 2  |- -oo  e.  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
8 df-xr 7816 . 2  |-  RR*  =  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
97, 8eleqtrri 2215 1  |- -oo  e.  RR*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1480   _Vcvv 2686    u. cun 3069   ~Pcpw 3510   {cpr 3528   RRcr 7631   +oocpnf 7809   -oocmnf 7810   RR*cxr 7811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-un 4355  ax-cnex 7723
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816
This theorem is referenced by:  elxr  9575  xrltnr  9578  mnflt  9581  mnfltpnf  9583  nltmnf  9586  mnfle  9590  xrltnsym  9591  xrlttri3  9595  ngtmnft  9612  xrrebnd  9614  xrre2  9616  xrre3  9617  ge0gtmnf  9618  xnegcl  9627  xltnegi  9630  xaddf  9639  xaddval  9640  xaddmnf1  9643  xaddmnf2  9644  pnfaddmnf  9645  mnfaddpnf  9646  xrex  9651  xltadd1  9671  xlt2add  9675  xsubge0  9676  xposdif  9677  xleaddadd  9682  elioc2  9731  elico2  9732  elicc2  9733  ioomax  9743  iccmax  9744  elioomnf  9763  unirnioo  9768  xrmaxadd  11042  reopnap  12721  blssioo  12728  tgioo  12729
  Copyright terms: Public domain W3C validator