Theorem mnfxr 8278

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8259	. . . . 5 |- -oo = ~P +oo
2		pnfex 8275	. . . . . 6 |- +oo e. _V
3	2	pwex 4279	. . . . 5 |- ~P +oo e. _V
4	1, 3	eqeltri 2304	. . . 4 |- -oo e. _V
5	4	prid2 3782	. . 3 |- -oo e. { +oo , -oo }
6		elun2 3377	. . 3 |- ( -oo e. { +oo , -oo } -> -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
8		df-xr 8260	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
9	7, 8	eleqtrri 2307	1 |- -oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   u. cun 3199   ~Pcpw 3656   {cpr 3674   RRcr 8074   +oocpnf 8253   -oocmnf 8254   RR*cxr 8255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-un 4536  ax-cnex 8166

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260

This theorem is referenced by:  elxr  10055  xrltnr  10058  mnflt  10062  mnfltpnf  10064  nltmnf  10067  mnfle  10071  xrltnsym  10072  xrlttri3  10076  ngtmnft  10096  xrrebnd  10098  xrre2  10100  xrre3  10101  ge0gtmnf  10102  xnegcl  10111  xltnegi  10114  xaddf  10123  xaddval  10124  xaddmnf1  10127  xaddmnf2  10128  pnfaddmnf  10129  mnfaddpnf  10130  xrex  10135  xltadd1  10155  xlt2add  10159  xsubge0  10160  xposdif  10161  xleaddadd  10166  elioc2  10215  elico2  10216  elicc2  10217  ioomax  10227  iccmax  10228  elioomnf  10247  unirnioo  10252  xrmaxadd  11884  reopnap  15340  blssioo  15347  tgioo  15348  repiecelem  16740  repiecele0  16741  repiecege0  16742