Theorem mnfxr 8159

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8140	. . . . 5 |- -oo = ~P +oo
2		pnfex 8156	. . . . . 6 |- +oo e. _V
3	2	pwex 4238	. . . . 5 |- ~P +oo e. _V
4	1, 3	eqeltri 2279	. . . 4 |- -oo e. _V
5	4	prid2 3745	. . 3 |- -oo e. { +oo , -oo }
6		elun2 3345	. . 3 |- ( -oo e. { +oo , -oo } -> -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
8		df-xr 8141	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
9	7, 8	eleqtrri 2282	1 |- -oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   u. cun 3168   ~Pcpw 3621   {cpr 3639   RRcr 7954   +oocpnf 8134   -oocmnf 8135   RR*cxr 8136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-un 4493  ax-cnex 8046

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-uni 3860  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141

This theorem is referenced by:  elxr  9928  xrltnr  9931  mnflt  9935  mnfltpnf  9937  nltmnf  9940  mnfle  9944  xrltnsym  9945  xrlttri3  9949  ngtmnft  9969  xrrebnd  9971  xrre2  9973  xrre3  9974  ge0gtmnf  9975  xnegcl  9984  xltnegi  9987  xaddf  9996  xaddval  9997  xaddmnf1  10000  xaddmnf2  10001  pnfaddmnf  10002  mnfaddpnf  10003  xrex  10008  xltadd1  10028  xlt2add  10032  xsubge0  10033  xposdif  10034  xleaddadd  10039  elioc2  10088  elico2  10089  elicc2  10090  ioomax  10100  iccmax  10101  elioomnf  10120  unirnioo  10125  xrmaxadd  11657  reopnap  15103  blssioo  15110  tgioo  15111