Theorem mnfxr 8214

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8195	. . . . 5 |- -oo = ~P +oo
2		pnfex 8211	. . . . . 6 |- +oo e. _V
3	2	pwex 4267	. . . . 5 |- ~P +oo e. _V
4	1, 3	eqeltri 2302	. . . 4 |- -oo e. _V
5	4	prid2 3773	. . 3 |- -oo e. { +oo , -oo }
6		elun2 3372	. . 3 |- ( -oo e. { +oo , -oo } -> -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
8		df-xr 8196	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
9	7, 8	eleqtrri 2305	1 |- -oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   u. cun 3195   ~Pcpw 3649   {cpr 3667   RRcr 8009   +oocpnf 8189   -oocmnf 8190   RR*cxr 8191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-un 4524  ax-cnex 8101

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196

This theorem is referenced by:  elxr  9984  xrltnr  9987  mnflt  9991  mnfltpnf  9993  nltmnf  9996  mnfle  10000  xrltnsym  10001  xrlttri3  10005  ngtmnft  10025  xrrebnd  10027  xrre2  10029  xrre3  10030  ge0gtmnf  10031  xnegcl  10040  xltnegi  10043  xaddf  10052  xaddval  10053  xaddmnf1  10056  xaddmnf2  10057  pnfaddmnf  10058  mnfaddpnf  10059  xrex  10064  xltadd1  10084  xlt2add  10088  xsubge0  10089  xposdif  10090  xleaddadd  10095  elioc2  10144  elico2  10145  elicc2  10146  ioomax  10156  iccmax  10157  elioomnf  10176  unirnioo  10181  xrmaxadd  11787  reopnap  15235  blssioo  15242  tgioo  15243