ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mnfxr Unicode version

Theorem mnfxr 7955
Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
mnfxr  |- -oo  e.  RR*

Proof of Theorem mnfxr
StepHypRef Expression
1 df-mnf 7936 . . . . 5  |- -oo  =  ~P +oo
2 pnfex 7952 . . . . . 6  |- +oo  e.  _V
32pwex 4162 . . . . 5  |-  ~P +oo  e.  _V
41, 3eqeltri 2239 . . . 4  |- -oo  e.  _V
54prid2 3683 . . 3  |- -oo  e.  { +oo , -oo }
6 elun2 3290 . . 3  |-  ( -oo  e.  { +oo , -oo }  -> -oo  e.  ( RR  u.  { +oo , -oo } ) )
75, 6ax-mp 5 . 2  |- -oo  e.  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
8 df-xr 7937 . 2  |-  RR*  =  ( RR  u.  { +oo , -oo } )
97, 8eleqtrri 2242 1  |- -oo  e.  RR*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 2136   _Vcvv 2726    u. cun 3114   ~Pcpw 3559   {cpr 3577   RRcr 7752   +oocpnf 7930   -oocmnf 7931   RR*cxr 7932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-un 4411  ax-cnex 7844
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937
This theorem is referenced by:  elxr  9712  xrltnr  9715  mnflt  9719  mnfltpnf  9721  nltmnf  9724  mnfle  9728  xrltnsym  9729  xrlttri3  9733  ngtmnft  9753  xrrebnd  9755  xrre2  9757  xrre3  9758  ge0gtmnf  9759  xnegcl  9768  xltnegi  9771  xaddf  9780  xaddval  9781  xaddmnf1  9784  xaddmnf2  9785  pnfaddmnf  9786  mnfaddpnf  9787  xrex  9792  xltadd1  9812  xlt2add  9816  xsubge0  9817  xposdif  9818  xleaddadd  9823  elioc2  9872  elico2  9873  elicc2  9874  ioomax  9884  iccmax  9885  elioomnf  9904  unirnioo  9909  xrmaxadd  11202  reopnap  13178  blssioo  13185  tgioo  13186
  Copyright terms: Public domain W3C validator