Theorem mnfxr 7976

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 7957	. . . . 5 |- -oo = ~P +oo
2		pnfex 7973	. . . . . 6 |- +oo e. _V
3	2	pwex 4169	. . . . 5 |- ~P +oo e. _V
4	1, 3	eqeltri 2243	. . . 4 |- -oo e. _V
5	4	prid2 3690	. . 3 |- -oo e. { +oo , -oo }
6		elun2 3295	. . 3 |- ( -oo e. { +oo , -oo } -> -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
8		df-xr 7958	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
9	7, 8	eleqtrri 2246	1 |- -oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   u. cun 3119   ~Pcpw 3566   {cpr 3584   RRcr 7773   +oocpnf 7951   -oocmnf 7952   RR*cxr 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-un 4418  ax-cnex 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958

This theorem is referenced by:  elxr  9733  xrltnr  9736  mnflt  9740  mnfltpnf  9742  nltmnf  9745  mnfle  9749  xrltnsym  9750  xrlttri3  9754  ngtmnft  9774  xrrebnd  9776  xrre2  9778  xrre3  9779  ge0gtmnf  9780  xnegcl  9789  xltnegi  9792  xaddf  9801  xaddval  9802  xaddmnf1  9805  xaddmnf2  9806  pnfaddmnf  9807  mnfaddpnf  9808  xrex  9813  xltadd1  9833  xlt2add  9837  xsubge0  9838  xposdif  9839  xleaddadd  9844  elioc2  9893  elico2  9894  elicc2  9895  ioomax  9905  iccmax  9906  elioomnf  9925  unirnioo  9930  xrmaxadd  11224  reopnap  13332  blssioo  13339  tgioo  13340