Theorem mnfxr 8346

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8327	. . . . 5 |- -oo = ~P +oo
2		pnfex 8343	. . . . . 6 |- +oo e. _V
3	2	pwex 4301	. . . . 5 |- ~P +oo e. _V
4	1, 3	eqeltri 2307	. . . 4 |- -oo e. _V
5	4	prid2 3803	. . 3 |- -oo e. { +oo , -oo }
6		elun2 3391	. . 3 |- ( -oo e. { +oo , -oo } -> -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
8		df-xr 8328	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
9	7, 8	eleqtrri 2310	1 |- -oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   u. cun 3212   ~Pcpw 3674   {cpr 3695   RRcr 8142   +oocpnf 8321   -oocmnf 8322   RR*cxr 8323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-un 4559  ax-cnex 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328

This theorem is referenced by:  elxr  10128  xrltnr  10131  mnflt  10135  mnfltpnf  10137  nltmnf  10140  mnfle  10144  xrltnsym  10145  xrlttri3  10149  ngtmnft  10169  xrrebnd  10171  xrre2  10173  xrre3  10174  ge0gtmnf  10175  xnegcl  10184  xltnegi  10187  xaddf  10196  xaddval  10197  xaddmnf1  10200  xaddmnf2  10201  pnfaddmnf  10202  mnfaddpnf  10203  xrex  10208  xltadd1  10228  xlt2add  10232  xsubge0  10233  xposdif  10234  xleaddadd  10239  elioc2  10288  elico2  10289  elicc2  10290  ioomax  10300  iccmax  10301  elioomnf  10320  unirnioo  10325  xrmaxadd  11971  reopnap  15537  blssioo  15544  tgioo  15545  repiecelem  16935  repiecele0  16936  repiecege0  16937