Theorem mnfxr 8382

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8363	. . . . 5 |- -oo = ~P +oo
2		pnfex 8379	. . . . . 6 |- +oo e. _V
3	2	pwex 4320	. . . . 5 |- ~P +oo e. _V
4	1, 3	eqeltri 2311	. . . 4 |- -oo e. _V
5	4	prid2 3818	. . 3 |- -oo e. { +oo , -oo }
6		elun2 3397	. . 3 |- ( -oo e. { +oo , -oo } -> -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
8		df-xr 8364	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
9	7, 8	eleqtrri 2314	1 |- -oo e. RR*

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   ~Pcpw 3688   {cpr 3710   RRcr 8178   +oocpnf 8357   -oocmnf 8358   RR*cxr 8359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-un 4578  ax-cnex 8270

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364

This theorem is used by:  elxr  10178  xrltnr  10181  mnflt  10185  mnfltpnf  10187  nltmnf  10190  mnfle  10194  xrltnsym  10195  xrlttri3  10199  ngtmnft  10219  xrrebnd  10221  xrre2  10223  xrre3  10224  ge0gtmnf  10225  xnegcl  10234  xltnegi  10237  xaddf  10246  xaddval  10247  xaddmnf1  10250  xaddmnf2  10251  pnfaddmnf  10252  mnfaddpnf  10253  xrex  10258  xltadd1  10278  xlt2add  10282  xsubge0  10283  xposdif  10284  xleaddadd  10289  elioc2  10338  elico2  10339  elicc2  10340  ioomax  10350  iccmax  10351  elioomnf  10370  unirnioo  10375  xrmaxadd  12027  reopnap  15647  blssioo  15654  tgioo  15655  repiecelem  17074  repiecele0  17075  repiecege0  17076