Theorem mnfxr 8128

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	|- -oo e. RR*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 8109	. . . . 5 |- -oo = ~P +oo
2		pnfex 8125	. . . . . 6 |- +oo e. _V
3	2	pwex 4226	. . . . 5 |- ~P +oo e. _V
4	1, 3	eqeltri 2277	. . . 4 |- -oo e. _V
5	4	prid2 3739	. . 3 |- -oo e. { +oo , -oo }
6		elun2 3340	. . 3 |- ( -oo e. { +oo , -oo } -> -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 |- -oo e. ( RR u. { +oo , -oo } )
8		df-xr 8110	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
9	7, 8	eleqtrri 2280	1 |- -oo e. RR*

Syntax hints:   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   u. cun 3163   ~Pcpw 3615   {cpr 3633   RRcr 7923   +oocpnf 8103   -oocmnf 8104   RR*cxr 8105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-un 4479  ax-cnex 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-uni 3850  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110

This theorem is referenced by:  elxr  9897  xrltnr  9900  mnflt  9904  mnfltpnf  9906  nltmnf  9909  mnfle  9913  xrltnsym  9914  xrlttri3  9918  ngtmnft  9938  xrrebnd  9940  xrre2  9942  xrre3  9943  ge0gtmnf  9944  xnegcl  9953  xltnegi  9956  xaddf  9965  xaddval  9966  xaddmnf1  9969  xaddmnf2  9970  pnfaddmnf  9971  mnfaddpnf  9972  xrex  9977  xltadd1  9997  xlt2add  10001  xsubge0  10002  xposdif  10003  xleaddadd  10008  elioc2  10057  elico2  10058  elicc2  10059  ioomax  10069  iccmax  10070  elioomnf  10089  unirnioo  10094  xrmaxadd  11543  reopnap  14989  blssioo  14996  tgioo  14997