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Theorem isxmet 13425
Description: Express the predicate " D is an extended metric". (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isxmet |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, D   x, X, y, z
Allowed substitution hints:   A( x, y, z)
Proof of Theorem isxmet
Dummy variables d t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2746 . . . . 5 |- ( X e. A -> X e. _V )
2 fnmap 6645 . . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
3 xrex 9827 . . . . . . . 8 |- RR* e. _V
4 sqxpexg 4736 . . . . . . . 8 |- ( X e. _V -> ( X X. X ) e. _V )
5 fnovex 5898 . . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ RR* e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V )
62, 3, 4, 5mp3an12i 1341 . . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V )
7 rabexg 4141 . . . . . . 7 |- ( ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V -> { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V )
86, 7syl 14 . . . . . 6 |- ( X e. _V -> { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V )
9 xpeq12 4639 . . . . . . . . . 10 |- ( ( t = X /\ t = X ) -> ( t X. t ) = ( X X. X ) )
109anidms 397 . . . . . . . . 9 |- ( t = X -> ( t X. t ) = ( X X. X ) )
1110oveq2d 5881 . . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( RR* ^m ( t X. t ) ) = ( RR* ^m ( X X. X ) ) )
12 raleq 2670 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = X -> ( A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
1312anbi2d 464 . . . . . . . . . 10 |- ( t = X -> ( ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
1413raleqbi1dv 2678 . . . . . . . . 9 |- ( t = X -> ( A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
1514raleqbi1dv 2678 . . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
1611, 15rabeqbidv 2730 . . . . . . 7 |- ( t = X -> { d e. ( RR* ^m ( t X. t ) ) | A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
17 df-xmet 13068 . . . . . . 7 |- *Met = ( t e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( t X. t ) ) | A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
1816, 17fvmptg 5584 . . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V ) -> ( *Met ` X ) = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
198, 18mpdan 421 . . . . 5 |- ( X e. _V -> ( *Met ` X ) = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
201, 19syl 14 . . . 4 |- ( X e. A -> ( *Met ` X ) = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2120eleq2d 2245 . . 3 |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
22 oveq 5871 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( x d y ) = ( x D y ) )
2322eqeq1d 2184 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) = 0 <-> ( x D y ) = 0 ) )
2423bibi1d 233 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) <-> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) ) )
25 oveq 5871 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d x ) = ( z D x ) )
26 oveq 5871 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d y ) = ( z D y ) )
2725, 26oveq12d 5883 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) = ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
2822, 27breq12d 4011 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
2928ralbidv 2475 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
3024, 29anbi12d 473 . . . . 5 |- ( d = D -> ( ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
31302ralbidv 2499 . . . 4 |- ( d = D -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3231elrab 2891 . . 3 |- ( D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3321, 32bitrdi 196 . 2 |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
34 sqxpexg 4736 . . . 4 |- ( X e. A -> ( X X. X ) e. _V )
35 elmapg 6651 . . . 4 |- ( ( RR* e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
363, 34, 35sylancr 414 . . 3 |- ( X e. A -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3736anbi1d 465 . 2 |- ( X e. A -> ( ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
3833, 37bitrd 188 1 |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   {crab 2457   _Vcvv 2735   class class class wbr 3998   X. cxp 4618   Fn wfn 5203   -->wf 5204   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   ^m cmap 6638   0cc0 7786   RR*cxr 7965   <_ cle 7967   +ecxad 9741   *Metcxmet 13060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-map 6640  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-xmet 13068
This theorem is referenced by:  isxmetd  13427  xmetf  13430  ismet2  13434  xmeteq0  13439  xmettri2  13441
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