Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isxmet Unicode version

Theorem isxmet 12551
 Description: Express the predicate " is an extended metric." (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isxmet
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem isxmet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2700 . . . . 5
2 fnmap 6556 . . . . . . . 8
3 xrex 9668 . . . . . . . 8
4 sqxpexg 4662 . . . . . . . 8
5 fnovex 5811 . . . . . . . 8
62, 3, 4, 5mp3an12i 1320 . . . . . . 7
7 rabexg 4078 . . . . . . 7
86, 7syl 14 . . . . . 6
9 xpeq12 4565 . . . . . . . . . 10
109anidms 395 . . . . . . . . 9
1110oveq2d 5797 . . . . . . . 8
12 raleq 2629 . . . . . . . . . . 11
1312anbi2d 460 . . . . . . . . . 10
1413raleqbi1dv 2637 . . . . . . . . 9
1514raleqbi1dv 2637 . . . . . . . 8
1611, 15rabeqbidv 2684 . . . . . . 7
17 df-xmet 12194 . . . . . . 7
1816, 17fvmptg 5504 . . . . . 6
198, 18mpdan 418 . . . . 5
201, 19syl 14 . . . 4
2120eleq2d 2210 . . 3
22 oveq 5787 . . . . . . . 8
2322eqeq1d 2149 . . . . . . 7
2423bibi1d 232 . . . . . 6
25 oveq 5787 . . . . . . . . 9
26 oveq 5787 . . . . . . . . 9
2725, 26oveq12d 5799 . . . . . . . 8
2822, 27breq12d 3949 . . . . . . 7
2928ralbidv 2438 . . . . . 6
3024, 29anbi12d 465 . . . . 5
31302ralbidv 2462 . . . 4
3231elrab 2843 . . 3
3321, 32syl6bb 195 . 2
34 sqxpexg 4662 . . . 4
35 elmapg 6562 . . . 4
363, 34, 35sylancr 411 . . 3
3736anbi1d 461 . 2
3833, 37bitrd 187 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417  crab 2421  cvv 2689   class class class wbr 3936   cxp 4544   wfn 5125  wf 5126  cfv 5130  (class class class)co 5781   cmap 6549  cc0 7643  cxr 7822   cle 7824  cxad 9586  cxmet 12186 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-xmet 12194 This theorem is referenced by:  isxmetd  12553  xmetf  12556  ismet2  12560  xmeteq0  12565  xmettri2  12567
 Copyright terms: Public domain W3C validator