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Theorem isxmet 15210
Description: Express the predicate " D is an extended metric". (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isxmet |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, D   x, X, y, z
Allowed substitution hints:   A( x, y, z)
Proof of Theorem isxmet
Dummy variables d t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2825 . . . . 5 |- ( X e. A -> X e. _V )
2 fnmap 6889 . . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
3 xrex 10189 . . . . . . . 8 |- RR* e. _V
4 sqxpexg 4868 . . . . . . . 8 |- ( X e. _V -> ( X X. X ) e. _V )
5 fnovex 6083 . . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ RR* e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V )
62, 3, 4, 5mp3an12i 1378 . . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V )
7 rabexg 4255 . . . . . . 7 |- ( ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V -> { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V )
86, 7syl 14 . . . . . 6 |- ( X e. _V -> { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V )
9 xpeq12 4768 . . . . . . . . . 10 |- ( ( t = X /\ t = X ) -> ( t X. t ) = ( X X. X ) )
109anidms 397 . . . . . . . . 9 |- ( t = X -> ( t X. t ) = ( X X. X ) )
1110oveq2d 6066 . . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( RR* ^m ( t X. t ) ) = ( RR* ^m ( X X. X ) ) )
12 raleq 2741 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = X -> ( A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
1312anbi2d 464 . . . . . . . . . 10 |- ( t = X -> ( ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
1413raleqbi1dv 2753 . . . . . . . . 9 |- ( t = X -> ( A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
1514raleqbi1dv 2753 . . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
1611, 15rabeqbidv 2808 . . . . . . 7 |- ( t = X -> { d e. ( RR* ^m ( t X. t ) ) | A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
17 df-xmet 14692 . . . . . . 7 |- *Met = ( t e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( t X. t ) ) | A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
1816, 17fvmptg 5753 . . . . . 6 |- ( ( X e. _V /\ { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V ) -> ( *Met ` X ) = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
198, 18mpdan 421 . . . . 5 |- ( X e. _V -> ( *Met ` X ) = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
201, 19syl 14 . . . 4 |- ( X e. A -> ( *Met ` X ) = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
2120eleq2d 2302 . . 3 |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
22 oveq 6056 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( x d y ) = ( x D y ) )
2322eqeq1d 2241 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) = 0 <-> ( x D y ) = 0 ) )
2423bibi1d 233 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) <-> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) ) )
25 oveq 6056 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d x ) = ( z D x ) )
26 oveq 6056 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d y ) = ( z D y ) )
2725, 26oveq12d 6068 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) = ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
2822, 27breq12d 4122 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
2928ralbidv 2542 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
3024, 29anbi12d 473 . . . . 5 |- ( d = D -> ( ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
31302ralbidv 2566 . . . 4 |- ( d = D -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3231elrab 2973 . . 3 |- ( D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
3321, 32bitrdi 196 . 2 |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
34 sqxpexg 4868 . . . 4 |- ( X e. A -> ( X X. X ) e. _V )
35 elmapg 6895 . . . 4 |- ( ( RR* e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
363, 34, 35sylancr 414 . . 3 |- ( X e. A -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3736anbi1d 465 . 2 |- ( X e. A -> ( ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
3833, 37bitrd 188 1 |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   {crab 2524   _Vcvv 2813   class class class wbr 4109   X. cxp 4747   Fn wfn 5347   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   ^m cmap 6882   0cc0 8127   RR*cxr 8307   <_ cle 8309   +ecxad 10103   *Metcxmet 14684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-xmet 14692
This theorem is referenced by:  isxmetd  15212  xmetf  15215  ismet2  15219  xmeteq0  15224  xmettri2  15226
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