Theorem ablsub32 14123

Description: Swap the second and third terms in a double group subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablnncan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablnncan.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablnncan.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablnncan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablnncan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ablsub32.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsub32	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 − 𝑍) − 𝑌))

Proof of Theorem ablsub32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablnncan.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablnncan.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		ablsub32.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		ablnncan.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6	4, 5	ablcom 14104	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌(+g‘𝐺)𝑍) = (𝑍(+g‘𝐺)𝑌))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌(+g‘𝐺)𝑍) = (𝑍(+g‘𝐺)𝑌))
8	7	oveq2d 6074	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌(+g‘𝐺)𝑍)) = (𝑋 − (𝑍(+g‘𝐺)𝑌)))
9		ablnncan.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
10		ablnncan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	4, 5, 9, 1, 10, 2, 3	ablsubsub4 14120	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑌(+g‘𝐺)𝑍)))
12	4, 5, 9, 1, 10, 3, 2	ablsubsub4 14120	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 − (𝑍(+g‘𝐺)𝑌)))
13	8, 11, 12	3eqtr4d 2277	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = ((𝑋 − 𝑍) − 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13296  +_gcplusg 13374  -_gcsg 13799  Abelcabl 14086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-minusg 13801  df-sbg 13802  df-cmn 14087  df-abl 14088

This theorem is referenced by:  ablnnncan1  14125