ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brcodir GIF version

Theorem brcodir 4930
Description: Two ways of saying that two elements have an upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
brcodir ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴(𝑅𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑧(𝐴𝑅𝑧𝐵𝑅𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝑅   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊

Proof of Theorem brcodir
StepHypRef Expression
1 brcog 4710 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴(𝑅𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑧(𝐴𝑅𝑧𝑧𝑅𝐵)))
2 vex 2690 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
3 brcnvg 4724 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → (𝑧𝑅𝐵𝐵𝑅𝑧))
42, 3mpan 421 . . . . 5 (𝐵𝑊 → (𝑧𝑅𝐵𝐵𝑅𝑧))
54anbi2d 460 . . . 4 (𝐵𝑊 → ((𝐴𝑅𝑧𝑧𝑅𝐵) ↔ (𝐴𝑅𝑧𝐵𝑅𝑧)))
65adantl 275 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴𝑅𝑧𝑧𝑅𝐵) ↔ (𝐴𝑅𝑧𝐵𝑅𝑧)))
76exbidv 1798 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∃𝑧(𝐴𝑅𝑧𝑧𝑅𝐵) ↔ ∃𝑧(𝐴𝑅𝑧𝐵𝑅𝑧)))
81, 7bitrd 187 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴(𝑅𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑧(𝐴𝑅𝑧𝐵𝑅𝑧)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wex 1469  wcel 1481  Vcvv 2687   class class class wbr 3933  ccnv 4542  ccom 4547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2689  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-br 3934  df-opab 3994  df-cnv 4551  df-co 4552
This theorem is referenced by:  codir  4931
  Copyright terms: Public domain W3C validator