Theorem brcodir 5053

Description: Two ways of saying that two elements have an upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brcodir	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴(◡𝑅 ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑧(𝐴𝑅𝑧 ∧ 𝐵𝑅𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝑅   𝑧,𝑉   𝑧,𝑊

Proof of Theorem brcodir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcog 4829	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴(◡𝑅 ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑧(𝐴𝑅𝑧 ∧ 𝑧◡𝑅𝐵)))
2		vex 2763	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
3		brcnvg 4843	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑧◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝑧))
4	2, 3	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝑧◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝑧))
5	4	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ((𝐴𝑅𝑧 ∧ 𝑧◡𝑅𝐵) ↔ (𝐴𝑅𝑧 ∧ 𝐵𝑅𝑧)))
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴𝑅𝑧 ∧ 𝑧◡𝑅𝐵) ↔ (𝐴𝑅𝑧 ∧ 𝐵𝑅𝑧)))
7	6	exbidv 1836	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑧(𝐴𝑅𝑧 ∧ 𝑧◡𝑅𝐵) ↔ ∃𝑧(𝐴𝑅𝑧 ∧ 𝐵𝑅𝑧)))
8	1, 7	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴(◡𝑅 ∘ 𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑧(𝐴𝑅𝑧 ∧ 𝐵𝑅𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   class class class wbr 4029  ^◡ccnv 4658   ∘ ccom 4663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-cnv 4667  df-co 4668

This theorem is referenced by:  codir  5054