Theorem brcnvg 4847

Description: The converse of a binary relation swaps arguments. Theorem 11 of [Suppes] p. 61. (Contributed by NM, 10-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
brcnvg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐴))

Proof of Theorem brcnvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelcnvg 4846	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅))
2		df-br 4034	. 2 ⊢ (𝐴◡𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ◡𝑅)
3		df-br 4034	. 2 ⊢ (𝐵𝑅𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅)
4	1, 2, 3	3bitr4g 223	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167  ⟨cop 3625   class class class wbr 4033  ^◡ccnv 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-cnv 4671

This theorem is referenced by:  brcnv  4849  brelrng  4897  eliniseg  5039  relbrcnvg  5048  brcodir  5057  sefvex  5579  foeqcnvco  5837  isocnv2  5859  ersym  6604  brdifun  6619  ecidg  6658  cnvti  7085  eqinfti  7086  inflbti  7090  infglbti  7091  negiso  8982  xrnegiso  11427  znleval  14209  pw1nct  15647