Theorem brcnvg 4961

Description: The converse of a binary relation swaps arguments. Theorem 11 of [Suppes] p. 61. (Contributed by NM, 10-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
brcnvg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐴))

Proof of Theorem brcnvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelcnvg 4960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅))
2		df-br 4131	. 2 ⊢ (𝐴◡𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ◡𝑅)
3		df-br 4131	. 2 ⊢ (𝐵𝑅𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ 𝑅)
4	1, 2, 3	3bitr4g 223	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴◡𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  ^◡ccnv 4773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-cnv 4782

This theorem is used by:  brcnv  4963  brelrng  5013  eliniseg  5157  relbrcnvg  5166  brcodir  5175  sefvex  5716  foeqcnvco  5996  isocnv2  6018  ersym  6819  brdifun  6834  ecidg  6873  cnvti  7359  eqinfti  7360  inflbti  7364  infglbti  7365  negiso  9285  xrnegiso  12028  znleval  14988  pw1nct  17033