Theorem brinxp 4653

Description: Intersection of binary relation with Cartesian product. (Contributed by NM, 9-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
brinxp	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵))

Proof of Theorem brinxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brinxp2 4652	. . 3 ⊢ (𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴𝑅𝐵))
2		df-3an 965	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴𝑅𝐵))
3	1, 2	bitri 183	. 2 ⊢ (𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴𝑅𝐵))
4	3	baibr 906	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   ∈ wcel 2128   ∩ cin 3101   class class class wbr 3965   × cxp 4583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4591

This theorem is referenced by:  poinxp  4654  soinxp  4655  seinxp  4656  isores2  5760  ltpiord  7233