Theorem brinxp 4694

Description: Intersection of binary relation with Cartesian product. (Contributed by NM, 9-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
brinxp	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵))

Proof of Theorem brinxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brinxp2 4693	. . 3 ⊢ (𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴𝑅𝐵))
2		df-3an 980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴𝑅𝐵))
3	1, 2	bitri 184	. 2 ⊢ (𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴𝑅𝐵))
4	3	baibr 920	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   ∩ cin 3128   class class class wbr 4003   × cxp 4624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632

This theorem is referenced by:  poinxp  4695  soinxp  4696  seinxp  4697  isores2  5813  ltpiord  7317