Theorem ltpiord 7260

Description: Positive integer 'less than' in terms of ordinal membership. (Contributed by NM, 6-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltpiord	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem ltpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lti 7248	. . 3 ⊢ <N = ( E ∩ (N × N))
2	1	breqi 3988	. 2 ⊢ (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴( E ∩ (N × N))𝐵)
3		brinxp 4672	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 E 𝐵 ↔ 𝐴( E ∩ (N × N))𝐵))
4		epelg 4268	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → (𝐴 E 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
5	4	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 E 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
6	3, 5	bitr3d 189	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴( E ∩ (N × N))𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
7	2, 6	syl5bb 191	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2136   ∩ cin 3115   class class class wbr 3982   E cep 4265   × cxp 4602  Ncnpi 7213   <_N clti 7216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-eprel 4267  df-xp 4610  df-lti 7248

This theorem is referenced by:  ltsopi  7261  pitric  7262  pitri3or  7263  ltdcpi  7264  ltexpi  7278  ltapig  7279  ltmpig  7280  1lt2pi  7281  nlt1pig  7282  archnqq  7358  prarloclemarch2  7360  prarloclemlt  7434  prarloclemn  7440