Theorem brinxp2 4799

Description: Intersection of binary relation with Cartesian product. (Contributed by NM, 3-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brinxp2	⊢ (𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴𝑅𝐵))

Proof of Theorem brinxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brin 4146	. 2 ⊢ (𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵 ↔ (𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵))
2		ancom 266	. 2 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵) ↔ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝐵))
3		brxp 4762	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
4	3	anbi1i 458	. . 3 ⊢ ((𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴𝑅𝐵))
5		df-3an 1007	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴𝑅𝐵))
6	4, 5	bitr4i 187	. 2 ⊢ ((𝐴(𝐶 × 𝐷)𝐵 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴𝑅𝐵))
7	1, 2, 6	3bitri 206	1 ⊢ (𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴𝑅𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2202   ∩ cin 3200   class class class wbr 4093   × cxp 4729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737

This theorem is referenced by:  brinxp  4800  fncnv  5403  erinxp  6821  isstructim  13159  isstructr  13160