Theorem dff3im 5732

Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dff3im	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dff3im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 5449	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
2		ffun 5434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
3	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
4		fdm 5437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	4	eleq2d 2276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
6	5	biimpar 297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
7		funfvop 5699	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
9		df-br 4048	. . . . . 6 ⊢ (𝑥𝐹(𝐹‘𝑥) ↔ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
10	8, 9	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥𝐹(𝐹‘𝑥))
11		funfvex 5600	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
12		breq2 4051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (𝑥𝐹𝑦 ↔ 𝑥𝐹(𝐹‘𝑥)))
13	12	spcegv 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ V → (𝑥𝐹(𝐹‘𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
14	11, 13	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥𝐹(𝐹‘𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
15	3, 6, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥𝐹(𝐹‘𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
16	10, 15	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
17		funmo 5291	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
18	2, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
19	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
20		eu5 2102	. . . 4 ⊢ (∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
21	16, 19, 20	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
22	21	ralrimiva 2580	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
23	1, 22	jca 306	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1516  ∃!weu 2055  ∃*wmo 2056   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  Vcvv 2773   ⊆ wss 3167  ⟨cop 3637   class class class wbr 4047   × cxp 4677  dom cdm 4679  Fun wfun 5270  ⟶wf 5272  ‘cfv 5276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3000  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-br 4048  df-opab 4110  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fv 5284

This theorem is referenced by:  dff4im  5733