Theorem dff3im 5753

Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dff3im	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dff3im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 5467	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
2		ffun 5452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
3	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
4		fdm 5455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	4	eleq2d 2279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
6	5	biimpar 297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
7		funfvop 5720	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
9		df-br 4063	. . . . . 6 ⊢ (𝑥𝐹(𝐹‘𝑥) ↔ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
10	8, 9	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥𝐹(𝐹‘𝑥))
11		funfvex 5620	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
12		breq2 4066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (𝑥𝐹𝑦 ↔ 𝑥𝐹(𝐹‘𝑥)))
13	12	spcegv 2871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ V → (𝑥𝐹(𝐹‘𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
14	11, 13	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥𝐹(𝐹‘𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
15	3, 6, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥𝐹(𝐹‘𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
16	10, 15	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
17		funmo 5309	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
18	2, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
19	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
20		eu5 2105	. . . 4 ⊢ (∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
21	16, 19, 20	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
22	21	ralrimiva 2583	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
23	1, 22	jca 306	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1518  ∃!weu 2057  ∃*wmo 2058   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  Vcvv 2779   ⊆ wss 3177  ⟨cop 3649   class class class wbr 4062   × cxp 4694  dom cdm 4696  Fun wfun 5288  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-v 2781  df-sbc 3009  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302

This theorem is referenced by:  dff4im  5754