ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dff3im GIF version

Theorem dff3im 5389
Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
dff3im (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dff3im
StepHypRef Expression
1 fssxp 5127 . 2 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
2 ffun 5117 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
32adantr 270 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → Fun 𝐹)
4 fdm 5119 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
54eleq2d 2152 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥𝐴))
65biimpar 291 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
7 funfvop 5356 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝑥, (𝐹𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
83, 6, 7syl2anc 403 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ⟨𝑥, (𝐹𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
9 df-br 3812 . . . . . 6 (𝑥𝐹(𝐹𝑥) ↔ ⟨𝑥, (𝐹𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
108, 9sylibr 132 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝑥𝐹(𝐹𝑥))
11 funfvex 5267 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ V)
12 breq2 3815 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝑥𝐹𝑦𝑥𝐹(𝐹𝑥)))
1312spcegv 2697 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ V → (𝑥𝐹(𝐹𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
1411, 13syl 14 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥𝐹(𝐹𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
153, 6, 14syl2anc 403 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑥𝐹(𝐹𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
1610, 15mpd 13 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
17 funmo 4984 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
182, 17syl 14 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
1918adantr 270 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
20 eu5 1990 . . . 4 (∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
2116, 19, 20sylanbrc 408 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2221ralrimiva 2440 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
231, 22jca 300 1 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wex 1422  wcel 1434  ∃!weu 1943  ∃*wmo 1944  wral 2353  Vcvv 2612  wss 2984  cop 3425   class class class wbr 3811   × cxp 4399  dom cdm 4401  Fun wfun 4963  wf 4965  cfv 4969
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-sbc 2827  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977
This theorem is referenced by:  dff4im  5390
  Copyright terms: Public domain W3C validator