ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dff3im GIF version

Theorem dff3im 5573
Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
dff3im (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dff3im
StepHypRef Expression
1 fssxp 5298 . 2 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
2 ffun 5283 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
32adantr 274 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → Fun 𝐹)
4 fdm 5286 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
54eleq2d 2210 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥𝐴))
65biimpar 295 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
7 funfvop 5540 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝑥, (𝐹𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
83, 6, 7syl2anc 409 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ⟨𝑥, (𝐹𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
9 df-br 3938 . . . . . 6 (𝑥𝐹(𝐹𝑥) ↔ ⟨𝑥, (𝐹𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
108, 9sylibr 133 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → 𝑥𝐹(𝐹𝑥))
11 funfvex 5446 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ V)
12 breq2 3941 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝑥𝐹𝑦𝑥𝐹(𝐹𝑥)))
1312spcegv 2777 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥) ∈ V → (𝑥𝐹(𝐹𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
1411, 13syl 14 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥𝐹(𝐹𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
153, 6, 14syl2anc 409 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → (𝑥𝐹(𝐹𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
1610, 15mpd 13 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
17 funmo 5146 . . . . . 6 (Fun 𝐹 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
182, 17syl 14 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
1918adantr 274 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
20 eu5 2047 . . . 4 (∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
2116, 19, 20sylanbrc 414 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵𝑥𝐴) → ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
2221ralrimiva 2508 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
231, 22jca 304 1 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wex 1469  wcel 1481  ∃!weu 2000  ∃*wmo 2001  wral 2417  Vcvv 2689  wss 3076  cop 3535   class class class wbr 3937   × cxp 4545  dom cdm 4547  Fun wfun 5125  wf 5127  cfv 5131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139
This theorem is referenced by:  dff4im  5574
  Copyright terms: Public domain W3C validator