Theorem dff3im 5824

Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dff3im	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dff3im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 5532	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
2		ffun 5513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
3	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
4		fdm 5516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	4	eleq2d 2304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
6	5	biimpar 297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
7		funfvop 5792	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
9		df-br 4112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥𝐹(𝐹‘𝑥) ↔ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
10	8, 9	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥𝐹(𝐹‘𝑥))
11		funfvex 5689	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
12		breq2 4115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (𝑥𝐹𝑦 ↔ 𝑥𝐹(𝐹‘𝑥)))
13	12	spcegv 2907	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ V → (𝑥𝐹(𝐹‘𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
14	11, 13	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥𝐹(𝐹‘𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
15	3, 6, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥𝐹(𝐹‘𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
16	10, 15	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
17		funmo 5369	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
18	2, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
19	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
20		eu5 2130	. . . 4 ⊢ (∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
21	16, 19, 20	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
22	21	ralrimiva 2617	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
23	1, 22	jca 306	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1541  ∃!weu 2082  ∃*wmo 2083   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  Vcvv 2815   ⊆ wss 3213  ⟨cop 3694   class class class wbr 4111   × cxp 4749  dom cdm 4751  Fun wfun 5348  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362

This theorem is referenced by:  dff4im  5825