Theorem dff3im 5782

Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dff3im	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dff3im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 5493	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
2		ffun 5476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
3	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹)
4		fdm 5479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
5	4	eleq2d 2299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
6	5	biimpar 297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
7		funfvop 5749	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
9		df-br 4084	. . . . . 6 ⊢ (𝑥𝐹(𝐹‘𝑥) ↔ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝐹)
10	8, 9	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥𝐹(𝐹‘𝑥))
11		funfvex 5646	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
12		breq2 4087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (𝑥𝐹𝑦 ↔ 𝑥𝐹(𝐹‘𝑥)))
13	12	spcegv 2891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ V → (𝑥𝐹(𝐹‘𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
14	11, 13	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝑥𝐹(𝐹‘𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
15	3, 6, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥𝐹(𝐹‘𝑥) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦))
16	10, 15	mpd 13	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 𝑥𝐹𝑦)
17		funmo 5333	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
18	2, 17	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
19	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦)
20		eu5 2125	. . . 4 ⊢ (∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ (∃𝑦 𝑥𝐹𝑦 ∧ ∃*𝑦 𝑥𝐹𝑦))
21	16, 19, 20	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
22	21	ralrimiva 2603	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
23	1, 22	jca 306	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1538  ∃!weu 2077  ∃*wmo 2078   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083   × cxp 4717  dom cdm 4719  Fun wfun 5312  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  dff4im  5783