ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reu5 GIF version

Theorem reu5 2617
Description: Restricted uniqueness in terms of "at most one." (Contributed by NM, 23-May-1999.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
reu5 (∃!𝑥𝐴 𝜑 ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑥𝐴 𝜑))

Proof of Theorem reu5
StepHypRef Expression
1 eu5 2022 . 2 (∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
2 df-reu 2397 . 2 (∃!𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑))
3 df-rex 2396 . . 3 (∃𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑))
4 df-rmo 2398 . . 3 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑))
53, 4anbi12i 453 . 2 ((∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑥𝐴 𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
61, 2, 53bitr4i 211 1 (∃!𝑥𝐴 𝜑 ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑥𝐴 𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104  wex 1451  wcel 1463  ∃!weu 1975  ∃*wmo 1976  wrex 2391  ∃!wreu 2392  ∃*wrmo 2393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398
This theorem is referenced by:  reurex  2618  reurmo  2619  reu4  2847  reueq  2852  reusv1  4339  fncnv  5147  moriotass  5712  supeuti  6833  infeuti  6868  lteupri  7373  elrealeu  7564  rereceu  7624  exbtwnz  9921  rersqreu  10692  divalglemeunn  11466  divalglemeuneg  11468  bezoutlemeu  11541  pw2dvdseu  11691
  Copyright terms: Public domain W3C validator