ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reu5 GIF version

Theorem reu5 2689
Description: Restricted uniqueness in terms of "at most one". (Contributed by NM, 23-May-1999.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
reu5 (∃!𝑥𝐴 𝜑 ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑥𝐴 𝜑))

Proof of Theorem reu5
StepHypRef Expression
1 eu5 2073 . 2 (∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
2 df-reu 2462 . 2 (∃!𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑))
3 df-rex 2461 . . 3 (∃𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑))
4 df-rmo 2463 . . 3 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑))
53, 4anbi12i 460 . 2 ((∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑥𝐴 𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
61, 2, 53bitr4i 212 1 (∃!𝑥𝐴 𝜑 ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑥𝐴 𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105  wex 1492  ∃!weu 2026  ∃*wmo 2027  wcel 2148  wrex 2456  ∃!wreu 2457  ∃*wrmo 2458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463
This theorem is referenced by:  reurex  2690  reurmo  2691  reu4  2931  reueq  2936  reusv1  4457  fncnv  5280  moriotass  5855  supeuti  6989  infeuti  7024  lteupri  7612  elrealeu  7824  rereceu  7884  exbtwnz  10245  rersqreu  11029  divalglemeunn  11917  divalglemeuneg  11919  bezoutlemeu  11999  pw2dvdseu  12159  ismgmid  12727  mndideu  12758  dedekindeu  13963  dedekindicclemicc  13972
  Copyright terms: Public domain W3C validator