ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reu5 GIF version

Theorem reu5 2579
Description: Restricted uniqueness in terms of "at most one." (Contributed by NM, 23-May-1999.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
reu5 (∃!𝑥𝐴 𝜑 ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑥𝐴 𝜑))

Proof of Theorem reu5
StepHypRef Expression
1 eu5 1995 . 2 (∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
2 df-reu 2366 . 2 (∃!𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥𝐴𝜑))
3 df-rex 2365 . . 3 (∃𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑))
4 df-rmo 2367 . . 3 (∃*𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑))
53, 4anbi12i 448 . 2 ((∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑥𝐴 𝜑) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐴𝜑)))
61, 2, 53bitr4i 210 1 (∃!𝑥𝐴 𝜑 ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑥𝐴 𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  wex 1426  wcel 1438  ∃!weu 1948  ∃*wmo 1949  wrex 2360  ∃!wreu 2361  ∃*wrmo 2362
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367
This theorem is referenced by:  reurex  2580  reurmo  2581  reu4  2807  reueq  2812  reusv1  4271  fncnv  5066  moriotass  5618  supeuti  6668  infeuti  6703  lteupri  7155  elrealeu  7346  rereceu  7403  exbtwnz  9627  rersqreu  10426  divalglemeunn  11003  divalglemeuneg  11005  bezoutlemeu  11078  pw2dvdseu  11228
  Copyright terms: Public domain W3C validator