Theorem djudomr 7566

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudomr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djudomr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inr 7378	. . . . 5 ⊢ inr = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨1o, 𝑥⟩)
2	1	funmpt2 5411	. . . 4 ⊢ Fun inr
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		resfunexg 5927	. . . 4 ⊢ ((Fun inr ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (inr ↾ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	sylancr 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (inr ↾ 𝐵) ∈ V)
6		inrresf1 7392	. . 3 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)
7		f1eq1 5588	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (inr ↾ 𝐵) → (𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
8	7	spcegv 2913	. . 3 ⊢ ((inr ↾ 𝐵) ∈ V → ((inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
9	5, 6, 8	mpisyl 1496	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵))
10		djuex 7373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
11		brdomg 7022	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
13	9, 12	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⟨cop 3708   class class class wbr 4125   ↾ cres 4771  Fun wfun 5366  –1-1→wf1 5369  1_oc1o 6670   ≼ cdom 7011   ⊔ cdju 7367  inrcinr 7376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-1o 6677  df-dom 7014  df-dju 7368  df-inr 7378

This theorem is referenced by:  sbthom  16976