Theorem djudomr 7425

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudomr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djudomr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inr 7238	. . . . 5 ⊢ inr = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨1o, 𝑥⟩)
2	1	funmpt2 5363	. . . 4 ⊢ Fun inr
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		resfunexg 5870	. . . 4 ⊢ ((Fun inr ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (inr ↾ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (inr ↾ 𝐵) ∈ V)
6		inrresf1 7252	. . 3 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)
7		f1eq1 5534	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (inr ↾ 𝐵) → (𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
8	7	spcegv 2892	. . 3 ⊢ ((inr ↾ 𝐵) ∈ V → ((inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
9	5, 6, 8	mpisyl 1489	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵))
10		djuex 7233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
11		brdomg 6914	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
13	9, 12	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800  ⟨cop 3670   class class class wbr 4086   ↾ cres 4725  Fun wfun 5318  –1-1→wf1 5321  1_oc1o 6570   ≼ cdom 6903   ⊔ cdju 7227  inrcinr 7236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-1o 6577  df-dom 6906  df-dju 7228  df-inr 7238

This theorem is referenced by:  sbthom  16566