Theorem djudomr 7176

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudomr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djudomr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inr 7013	. . . . 5 ⊢ inr = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨1o, 𝑥⟩)
2	1	funmpt2 5227	. . . 4 ⊢ Fun inr
3		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		resfunexg 5706	. . . 4 ⊢ ((Fun inr ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (inr ↾ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	sylancr 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (inr ↾ 𝐵) ∈ V)
6		inrresf1 7027	. . 3 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)
7		f1eq1 5388	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (inr ↾ 𝐵) → (𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
8	7	spcegv 2814	. . 3 ⊢ ((inr ↾ 𝐵) ∈ V → ((inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
9	5, 6, 8	mpisyl 1434	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵))
10		djuex 7008	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
11		brdomg 6714	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
13	9, 12	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726  ⟨cop 3579   class class class wbr 3982   ↾ cres 4606  Fun wfun 5182  –1-1→wf1 5185  1_oc1o 6377   ≼ cdom 6705   ⊔ cdju 7002  inrcinr 7011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-1o 6384  df-dom 6708  df-dju 7003  df-inr 7013

This theorem is referenced by:  sbthom  13905