Theorem djudomr 7434

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudomr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djudomr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inr 7246	. . . . 5 ⊢ inr = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨1o, 𝑥⟩)
2	1	funmpt2 5365	. . . 4 ⊢ Fun inr
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		resfunexg 5874	. . . 4 ⊢ ((Fun inr ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (inr ↾ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (inr ↾ 𝐵) ∈ V)
6		inrresf1 7260	. . 3 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)
7		f1eq1 5537	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (inr ↾ 𝐵) → (𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
8	7	spcegv 2894	. . 3 ⊢ ((inr ↾ 𝐵) ∈ V → ((inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
9	5, 6, 8	mpisyl 1491	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵))
10		djuex 7241	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
11		brdomg 6918	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
13	9, 12	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088   ↾ cres 4727  Fun wfun 5320  –1-1→wf1 5323  1_oc1o 6574   ≼ cdom 6907   ⊔ cdju 7235  inrcinr 7244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-1o 6581  df-dom 6910  df-dju 7236  df-inr 7246

This theorem is referenced by:  sbthom  16630