Theorem djudomr 7398

Description: A set is dominated by its disjoint union with another. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
djudomr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djudomr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inr 7211	. . . . 5 ⊢ inr = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨1o, 𝑥⟩)
2	1	funmpt2 5356	. . . 4 ⊢ Fun inr
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
4		resfunexg 5859	. . . 4 ⊢ ((Fun inr ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (inr ↾ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (inr ↾ 𝐵) ∈ V)
6		inrresf1 7225	. . 3 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)
7		f1eq1 5525	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (inr ↾ 𝐵) → (𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ (inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
8	7	spcegv 2891	. . 3 ⊢ ((inr ↾ 𝐵) ∈ V → ((inr ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
9	5, 6, 8	mpisyl 1489	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵))
10		djuex 7206	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V)
11		brdomg 6895	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐵) ∈ V → (𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐵–1-1→(𝐴 ⊔ 𝐵)))
13	9, 12	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ⟨cop 3669   class class class wbr 4082   ↾ cres 4720  Fun wfun 5311  –1-1→wf1 5314  1_oc1o 6553   ≼ cdom 6884   ⊔ cdju 7200  inrcinr 7209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-1o 6560  df-dom 6887  df-dju 7201  df-inr 7211

This theorem is referenced by:  sbthom  16353