Theorem ineq1d 3431

Description: Equality deduction for intersection of two classes. (Contributed by NM, 10-Apr-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
ineq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ineq1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) = (𝐵 ∩ 𝐶))

Proof of Theorem ineq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		ineq1 3425	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐶) = (𝐵 ∩ 𝐶))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) = (𝐵 ∩ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∩ cin 3219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226

This theorem is used by:  diftpsn3  3856  disji2  4122  ordpwsucexmid  4719  riinint  5045  fnresdisj  5496  fnimadisj  5507  ofovex  6311  ecinxp  6888  fiintim  7242  fival  7309  fzval2  10431  fvinim0ffz  10677  hashfibc  11305  fsum1p  12210  fprod1p  12391  ballotfilemfval  13287  ballotfilemfp1  13289  ballotfilemfc0  13290  ballotfilemfcc  13291  ballotfilemgval  13325  ballotfilemgun  13326  strressid  13484  restopnb  15407  metrest  15732  qtopbasss  15747  chtqcl  16244  chtqval  16245  ppiqval  16248  ppival2  16249  ppival2g  16250  chtqfl  16258  ppiprm  16259  chtprm  16261  chtnprm  16262  chtdif  16264  ppidif  16269  prmorcht  16282