ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  diftpsn3 GIF version

Theorem diftpsn3 3600
Description: Removal of a singleton from an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
diftpsn3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem diftpsn3
StepHypRef Expression
1 df-tp 3474 . . . 4 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
21a1i 9 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
32difeq1d 3132 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}))
4 difundir 3268 . . 3 (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶}))
54a1i 9 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})))
6 df-pr 3473 . . . . . . . . 9 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
76a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
87ineq1d 3215 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}))
9 incom 3207 . . . . . . . . 9 (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ({𝐶} ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
10 indi 3262 . . . . . . . . 9 ({𝐶} ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵}))
119, 10eqtri 2115 . . . . . . . 8 (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵}))
1211a1i 9 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})))
13 necom 2346 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐶𝐶𝐴)
14 disjsn2 3525 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐴 → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
1513, 14sylbi 120 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐶 → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
1615adantr 271 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
17 necom 2346 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐶𝐶𝐵)
18 disjsn2 3525 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐵 → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
1917, 18sylbi 120 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐶 → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
2019adantl 272 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
2116, 20uneq12d 3170 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})) = (∅ ∪ ∅))
22 unidm 3158 . . . . . . . 8 (∅ ∪ ∅) = ∅
2321, 22syl6eq 2143 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})) = ∅)
248, 12, 233eqtrd 2131 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
25 disj3 3354 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}))
2624, 25sylib 121 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}))
2726eqcomd 2100 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
28 difid 3370 . . . . 5 ({𝐶} ∖ {𝐶}) = ∅
2928a1i 9 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐶} ∖ {𝐶}) = ∅)
3027, 29uneq12d 3170 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})) = ({𝐴, 𝐵} ∪ ∅))
31 un0 3335 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ∪ ∅) = {𝐴, 𝐵}
3230, 31syl6eq 2143 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})) = {𝐴, 𝐵})
333, 5, 323eqtrd 2131 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1296  wne 2262  cdif 3010  cun 3011  cin 3012  c0 3302  {csn 3466  {cpr 3467  {ctp 3468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rab 2379  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-sn 3472  df-pr 3473  df-tp 3474
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator