Theorem diftpsn3 3714

Description: Removal of a singleton from an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
diftpsn3	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem diftpsn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3584	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
3	2	difeq1d 3239	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}))
4		difundir 3375	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶}))
5	4	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})))
6		df-pr 3583	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
8	7	ineq1d 3322	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}))
9		incom 3314	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ({𝐶} ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
10		indi 3369	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐶} ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵}))
11	9, 10	eqtri 2186	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵}))
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})))
13		necom 2420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐴)
14		disjsn2 3639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐴 → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
15	13, 14	sylbi 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
16	15	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
17		necom 2420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵)
18		disjsn2 3639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐵 → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
19	17, 18	sylbi 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
20	19	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
21	16, 20	uneq12d 3277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})) = (∅ ∪ ∅))
22		unidm 3265	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
23	21, 22	eqtrdi 2215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})) = ∅)
24	8, 12, 23	3eqtrd 2202	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
25		disj3 3461	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}))
26	24, 25	sylib 121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}))
27	26	eqcomd 2171	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
28		difid 3477	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ∖ {𝐶}) = ∅
29	28	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐶} ∖ {𝐶}) = ∅)
30	27, 29	uneq12d 3277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})) = ({𝐴, 𝐵} ∪ ∅))
31		un0 3442	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ ∅) = {𝐴, 𝐵}
32	30, 31	eqtrdi 2215	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})) = {𝐴, 𝐵})
33	3, 5, 32	3eqtrd 2202	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ≠ wne 2336   ∖ cdif 3113   ∪ cun 3114   ∩ cin 3115  ∅c0 3409  {csn 3576  {cpr 3577  {ctp 3578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-sn 3582  df-pr 3583  df-tp 3584

This theorem is referenced by: (None)