Theorem diftpsn3 3854

Description: Removal of a singleton from an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
diftpsn3	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem diftpsn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3716	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
3	2	difeq1d 3346	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}))
4		difundir 3484	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶}))
5	4	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})))
6		df-pr 3715	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
8	7	ineq1d 3431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}))
9		incom 3421	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ({𝐶} ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
10		indi 3478	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐶} ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵}))
11	9, 10	eqtri 2259	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵}))
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})))
13		necom 2504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐴)
14		disjsn2 3771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐴 → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
15	13, 14	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
16	15	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
17		necom 2504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵)
18		disjsn2 3771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐵 → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
19	17, 18	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
20	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
21	16, 20	uneq12d 3384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})) = (∅ ∪ ∅))
22		unidm 3372	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
23	21, 22	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})) = ∅)
24	8, 12, 23	3eqtrd 2275	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
25		disj3 3577	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}))
26	24, 25	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}))
27	26	eqcomd 2244	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
28		difid 3594	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ∖ {𝐶}) = ∅
29	28	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐶} ∖ {𝐶}) = ∅)
30	27, 29	uneq12d 3384	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})) = ({𝐴, 𝐵} ∪ ∅))
31		un0 3556	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ ∅) = {𝐴, 𝐵}
32	30, 31	eqtrdi 2287	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})) = {𝐴, 𝐵})
33	3, 5, 32	3eqtrd 2275	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ≠ wne 2420   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219  ∅c0 3520  {csn 3708  {cpr 3709  {ctp 3710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716

This theorem is referenced by: (None)