Theorem diftpsn3 3777

Description: Removal of a singleton from an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
diftpsn3	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem diftpsn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3643	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
3	2	difeq1d 3292	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}))
4		difundir 3428	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶}))
5	4	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})))
6		df-pr 3642	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
8	7	ineq1d 3375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}))
9		incom 3367	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ({𝐶} ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
10		indi 3422	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐶} ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵}))
11	9, 10	eqtri 2227	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵}))
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})))
13		necom 2461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐴)
14		disjsn2 3698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐴 → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
15	13, 14	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
16	15	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
17		necom 2461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵)
18		disjsn2 3698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐵 → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
19	17, 18	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
20	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
21	16, 20	uneq12d 3330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})) = (∅ ∪ ∅))
22		unidm 3318	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
23	21, 22	eqtrdi 2255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})) = ∅)
24	8, 12, 23	3eqtrd 2243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
25		disj3 3515	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}))
26	24, 25	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}))
27	26	eqcomd 2212	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
28		difid 3531	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ∖ {𝐶}) = ∅
29	28	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐶} ∖ {𝐶}) = ∅)
30	27, 29	uneq12d 3330	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})) = ({𝐴, 𝐵} ∪ ∅))
31		un0 3496	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ ∅) = {𝐴, 𝐵}
32	30, 31	eqtrdi 2255	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})) = {𝐴, 𝐵})
33	3, 5, 32	3eqtrd 2243	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ≠ wne 2377   ∖ cdif 3165   ∪ cun 3166   ∩ cin 3167  ∅c0 3462  {csn 3635  {cpr 3636  {ctp 3637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-sn 3641  df-pr 3642  df-tp 3643

This theorem is referenced by: (None)