Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  diftpsn3 GIF version

Theorem diftpsn3 3693
 Description: Removal of a singleton from an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
diftpsn3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem diftpsn3
StepHypRef Expression
1 df-tp 3564 . . . 4 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
21a1i 9 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
32difeq1d 3220 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}))
4 difundir 3356 . . 3 (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶}))
54a1i 9 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})))
6 df-pr 3563 . . . . . . . . 9 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
76a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
87ineq1d 3303 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}))
9 incom 3295 . . . . . . . . 9 (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ({𝐶} ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
10 indi 3350 . . . . . . . . 9 ({𝐶} ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵}))
119, 10eqtri 2175 . . . . . . . 8 (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵}))
1211a1i 9 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})))
13 necom 2408 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐶𝐶𝐴)
14 disjsn2 3618 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐴 → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
1513, 14sylbi 120 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐶 → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
1615adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
17 necom 2408 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐶𝐶𝐵)
18 disjsn2 3618 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐵 → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
1917, 18sylbi 120 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐶 → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
2019adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
2116, 20uneq12d 3258 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})) = (∅ ∪ ∅))
22 unidm 3246 . . . . . . . 8 (∅ ∪ ∅) = ∅
2321, 22eqtrdi 2203 . . . . . . 7 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})) = ∅)
248, 12, 233eqtrd 2191 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
25 disj3 3442 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}))
2624, 25sylib 121 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}))
2726eqcomd 2160 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
28 difid 3458 . . . . 5 ({𝐶} ∖ {𝐶}) = ∅
2928a1i 9 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐶} ∖ {𝐶}) = ∅)
3027, 29uneq12d 3258 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})) = ({𝐴, 𝐵} ∪ ∅))
31 un0 3423 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ∪ ∅) = {𝐴, 𝐵}
3230, 31eqtrdi 2203 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})) = {𝐴, 𝐵})
333, 5, 323eqtrd 2191 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ≠ wne 2324   ∖ cdif 3095   ∪ cun 3096   ∩ cin 3097  ∅c0 3390  {csn 3556  {cpr 3557  {ctp 3558 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-ext 2136 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rab 2441  df-v 2711  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-sn 3562  df-pr 3563  df-tp 3564 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator