ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprod1p GIF version

Theorem fprod1p 11562
Description: Separate out the first term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 24-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprod1p.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprod1p.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprod1p.3 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprod1p (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (𝐵 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprod1p
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprod1p.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzfz1 9987 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
31, 2syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
4 elfzelz 9981 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
53, 4syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 fzsn 10022 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
75, 6syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
87ineq1d 3327 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
95zred 9334 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
109ltp1d 8846 . . . . 5 (𝜑𝑀 < (𝑀 + 1))
11 fzdisj 10008 . . . . 5 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
1210, 11syl 14 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
138, 12eqtr3d 2205 . . 3 (𝜑 → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
14 fzsplit 10007 . . . . 5 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
153, 14syl 14 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
167uneq1d 3280 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
1715, 16eqtrd 2203 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
18 eluzelz 9496 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
191, 18syl 14 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
205, 19fzfigd 10387 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
21 elfzelz 9981 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
22 zdceq 9287 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑗 = 𝑀)
2321, 5, 22syl2anr 288 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → DECID 𝑗 = 𝑀)
24 velsn 3600 . . . . . 6 (𝑗 ∈ {𝑀} ↔ 𝑗 = 𝑀)
2524dcbii 835 . . . . 5 (DECID 𝑗 ∈ {𝑀} ↔ DECID 𝑗 = 𝑀)
2623, 25sylibr 133 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → DECID 𝑗 ∈ {𝑀})
2726ralrimiva 2543 . . 3 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)DECID 𝑗 ∈ {𝑀})
28 fprod1p.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2913, 17, 20, 27, 28fprodsplitdc 11559 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
30 fprod1p.3 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
3130eleq1d 2239 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
3228ralrimiva 2543 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
3331, 32, 3rspcdva 2839 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3430prodsn 11556 . . . 4 ((𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
353, 33, 34syl2anc 409 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
3635oveq1d 5868 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴) = (𝐵 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
3729, 36eqtrd 2203 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (𝐵 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  DECID wdc 829   = wceq 1348  wcel 2141  cun 3119  cin 3120  c0 3414  {csn 3583   class class class wbr 3989  cfv 5198  (class class class)co 5853  cc 7772  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954  cz 9212  cuz 9487  ...cfz 9965  cprod 11513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator