ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprod1p GIF version

Theorem fprod1p 11500
Description: Separate out the first term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 24-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprod1p.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprod1p.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprod1p.3 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprod1p (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (𝐵 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprod1p
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprod1p.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzfz1 9934 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
31, 2syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
4 elfzelz 9929 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
53, 4syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 fzsn 9969 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
75, 6syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
87ineq1d 3307 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
95zred 9287 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
109ltp1d 8802 . . . . 5 (𝜑𝑀 < (𝑀 + 1))
11 fzdisj 9955 . . . . 5 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
1210, 11syl 14 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
138, 12eqtr3d 2192 . . 3 (𝜑 → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
14 fzsplit 9954 . . . . 5 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
153, 14syl 14 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
167uneq1d 3260 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
1715, 16eqtrd 2190 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
18 eluzelz 9449 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
191, 18syl 14 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
205, 19fzfigd 10334 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
21 elfzelz 9929 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
22 zdceq 9240 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑗 = 𝑀)
2321, 5, 22syl2anr 288 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → DECID 𝑗 = 𝑀)
24 velsn 3577 . . . . . 6 (𝑗 ∈ {𝑀} ↔ 𝑗 = 𝑀)
2524dcbii 826 . . . . 5 (DECID 𝑗 ∈ {𝑀} ↔ DECID 𝑗 = 𝑀)
2623, 25sylibr 133 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → DECID 𝑗 ∈ {𝑀})
2726ralrimiva 2530 . . 3 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)DECID 𝑗 ∈ {𝑀})
28 fprod1p.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2913, 17, 20, 27, 28fprodsplitdc 11497 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
30 fprod1p.3 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
3130eleq1d 2226 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
3228ralrimiva 2530 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
3331, 32, 3rspcdva 2821 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3430prodsn 11494 . . . 4 ((𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
353, 33, 34syl2anc 409 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
3635oveq1d 5840 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴) = (𝐵 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
3729, 36eqtrd 2190 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (𝐵 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  DECID wdc 820   = wceq 1335  wcel 2128  cun 3100  cin 3101  c0 3394  {csn 3560   class class class wbr 3966  cfv 5171  (class class class)co 5825  cc 7731  1c1 7734   + caddc 7736   · cmul 7738   < clt 7913  cz 9168  cuz 9440  ...cfz 9913  cprod 11451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-frec 6339  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-er 6481  df-en 6687  df-dom 6688  df-fin 6689  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-ihash 10654  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-clim 11180  df-proddc 11452
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator