Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  restopnb GIF version

Theorem restopnb 12425
 Description: If 𝐵 is an open subset of the subspace base set 𝐴, then any subset of 𝐵 is open iff it is open in 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restopnb (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴)))

Proof of Theorem restopnb
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 990 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
2 simpr2 989 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐵𝐴)
31, 2sstrd 3114 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐶𝐴)
4 df-ss 3091 . . . . . 6 (𝐶𝐴 ↔ (𝐶𝐴) = 𝐶)
53, 4sylib 121 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐴) = 𝐶)
65eqcomd 2147 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → 𝐶 = (𝐶𝐴))
7 ineq1 3277 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐶 → (𝑣𝐴) = (𝐶𝐴))
87rspceeqv 2813 . . . . 5 ((𝐶𝐽𝐶 = (𝐶𝐴)) → ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴))
98expcom 115 . . . 4 (𝐶 = (𝐶𝐴) → (𝐶𝐽 → ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
106, 9syl 14 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽 → ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
11 inass 3293 . . . . . 6 ((𝑣𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴𝐵))
12 simprr 522 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐶 = (𝑣𝐴))
1312ineq1d 3283 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝐶𝐵) = ((𝑣𝐴) ∩ 𝐵))
14 simplr3 1026 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → 𝐶𝐵)
15 df-ss 3091 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐵 ↔ (𝐶𝐵) = 𝐶)
1614, 15sylib 121 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝐶𝐵) = 𝐶)
1716adantrr 471 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝐶𝐵) = 𝐶)
1813, 17eqtr3d 2176 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → ((𝑣𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐶)
19 simplr2 1025 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → 𝐵𝐴)
20 sseqin2 3302 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 ↔ (𝐴𝐵) = 𝐵)
2119, 20sylib 121 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝐴𝐵) = 𝐵)
2221ineq2d 3284 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ 𝑣𝐽) → (𝑣 ∩ (𝐴𝐵)) = (𝑣𝐵))
2322adantrr 471 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝑣 ∩ (𝐴𝐵)) = (𝑣𝐵))
2411, 18, 233eqtr3a 2198 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐶 = (𝑣𝐵))
25 simplll 523 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐽 ∈ Top)
26 simprl 521 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝑣𝐽)
27 simplr1 1024 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐵𝐽)
28 inopn 12245 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑣𝐽𝐵𝐽) → (𝑣𝐵) ∈ 𝐽)
2925, 26, 27, 28syl3anc 1217 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → (𝑣𝐵) ∈ 𝐽)
3024, 29eqeltrd 2218 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) ∧ (𝑣𝐽𝐶 = (𝑣𝐴))) → 𝐶𝐽)
3130rexlimdvaa 2555 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴) → 𝐶𝐽))
3210, 31impbid 128 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽 ↔ ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
33 elrest 12202 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
3433adantr 274 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐽 𝐶 = (𝑣𝐴)))
3532, 34bitr4d 190 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝐵𝐽𝐵𝐴𝐶𝐵)) → (𝐶𝐽𝐶 ∈ (𝐽t 𝐴)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 2112  ∃wrex 2419   ∩ cin 3077   ⊆ wss 3078  (class class class)co 5786   ↾t crest 12195  Topctop 12239 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-id 4226  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-rest 12197  df-top 12240 This theorem is referenced by:  restopn2  12427
 Copyright terms: Public domain W3C validator