Theorem restopnb 14728

Description: If 𝐵 is an open subset of the subspace base set 𝐴, then any subset of 𝐵 is open iff it is open in 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restopnb	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ 𝐶 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))

Proof of Theorem restopnb

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 1008	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
2		simpr2 1007	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3	1, 2	sstrd 3207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → 𝐶 ⊆ 𝐴)
4		df-ss 3183	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐶 ∩ 𝐴) = 𝐶)
5	3, 4	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → (𝐶 ∩ 𝐴) = 𝐶)
6	5	eqcomd 2212	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → 𝐶 = (𝐶 ∩ 𝐴))
7		ineq1 3371	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (𝑣 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐴))
8	7	rspceeqv 2899	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝐶 ∩ 𝐴)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))
9	8	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝐶 = (𝐶 ∩ 𝐴) → (𝐶 ∈ 𝐽 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴)))
10	6, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → (𝐶 ∈ 𝐽 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴)))
11		inass 3387	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))
12		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))
13	12	ineq1d 3377	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → (𝐶 ∩ 𝐵) = ((𝑣 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵))
14		simplr3 1044	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
15		df-ss 3183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 ∩ 𝐵) = 𝐶)
16	14, 15	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝐶 ∩ 𝐵) = 𝐶)
17	16	adantrr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → (𝐶 ∩ 𝐵) = 𝐶)
18	13, 17	eqtr3d 2241	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → ((𝑣 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐶)
19		simplr2 1043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
20		sseqin2 3396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
21	19, 20	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
22	21	ineq2d 3378	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝑣 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑣 ∩ 𝐵))
23	22	adantrr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → (𝑣 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑣 ∩ 𝐵))
24	11, 18, 23	3eqtr3a 2263	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐵))
25		simplll 533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → 𝐽 ∈ Top)
26		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → 𝑣 ∈ 𝐽)
27		simplr1 1042	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → 𝐵 ∈ 𝐽)
28		inopn 14550	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑣 ∩ 𝐵) ∈ 𝐽)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → (𝑣 ∩ 𝐵) ∈ 𝐽)
30	24, 29	eqeltrd 2283	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → 𝐶 ∈ 𝐽)
31	30	rexlimdvaa 2625	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → (∃𝑣 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐽))
32	10, 31	impbid 129	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴)))
33		elrest 13153	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐶 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴)))
34	33	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴)))
35	32, 34	bitr4d 191	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ 𝐶 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486   ∩ cin 3169   ⊆ wss 3170  (class class class)co 5957   ↾_t crest 13146  Topctop 14544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-rest 13148  df-top 14545

This theorem is referenced by:  restopn2  14730