Theorem restopnb 12975

Description: If 𝐵 is an open subset of the subspace base set 𝐴, then any subset of 𝐵 is open iff it is open in 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restopnb	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ 𝐶 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))

Proof of Theorem restopnb

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 1000	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
2		simpr2 999	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3	1, 2	sstrd 3157	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → 𝐶 ⊆ 𝐴)
4		df-ss 3134	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐶 ∩ 𝐴) = 𝐶)
5	3, 4	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → (𝐶 ∩ 𝐴) = 𝐶)
6	5	eqcomd 2176	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → 𝐶 = (𝐶 ∩ 𝐴))
7		ineq1 3321	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝐶 → (𝑣 ∩ 𝐴) = (𝐶 ∩ 𝐴))
8	7	rspceeqv 2852	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝐶 ∩ 𝐴)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))
9	8	expcom 115	. . . 4 ⊢ (𝐶 = (𝐶 ∩ 𝐴) → (𝐶 ∈ 𝐽 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴)))
10	6, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → (𝐶 ∈ 𝐽 → ∃𝑣 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴)))
11		inass 3337	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵))
12		simprr 527	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))
13	12	ineq1d 3327	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → (𝐶 ∩ 𝐵) = ((𝑣 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵))
14		simplr3 1036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
15		df-ss 3134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐶 ∩ 𝐵) = 𝐶)
16	14, 15	sylib 121	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝐶 ∩ 𝐵) = 𝐶)
17	16	adantrr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → (𝐶 ∩ 𝐵) = 𝐶)
18	13, 17	eqtr3d 2205	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → ((𝑣 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵) = 𝐶)
19		simplr2 1035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
20		sseqin2 3346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
21	19, 20	sylib 121	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐵)
22	21	ineq2d 3328	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → (𝑣 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑣 ∩ 𝐵))
23	22	adantrr 476	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → (𝑣 ∩ (𝐴 ∩ 𝐵)) = (𝑣 ∩ 𝐵))
24	11, 18, 23	3eqtr3a 2227	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐵))
25		simplll 528	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → 𝐽 ∈ Top)
26		simprl 526	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → 𝑣 ∈ 𝐽)
27		simplr1 1034	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → 𝐵 ∈ 𝐽)
28		inopn 12795	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑣 ∩ 𝐵) ∈ 𝐽)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1233	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → (𝑣 ∩ 𝐵) ∈ 𝐽)
30	24, 29	eqeltrd 2247	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴))) → 𝐶 ∈ 𝐽)
31	30	rexlimdvaa 2588	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → (∃𝑣 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐽))
32	10, 31	impbid 128	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴)))
33		elrest 12586	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐶 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴)))
34	33	adantr 274	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → (𝐶 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐽 𝐶 = (𝑣 ∩ 𝐴)))
35	32, 34	bitr4d 190	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → (𝐶 ∈ 𝐽 ↔ 𝐶 ∈ (𝐽 ↾t 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121  (class class class)co 5853   ↾_t crest 12579  Topctop 12789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-rest 12581  df-top 12790

This theorem is referenced by:  restopn2  12977