Theorem strressid 12978

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
strressid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
strressid.s	⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
strressid.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑊)
strressid.bw	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
strressid	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem strressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strressid.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
2	1	ineq1d 3377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ (Base‘𝑊)))
3		inidm 3386	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑊) ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	eqtrdi 2255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊))
5	4	opeq2d 3832	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐵 ∩ (Base‘𝑊))⟩ = ⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑊)⟩)
6	5	oveq2d 5973	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐵 ∩ (Base‘𝑊))⟩) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑊)⟩))
7		strressid.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
8		structex 12919	. . . 4 ⊢ (𝑊 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → 𝑊 ∈ V)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
10		basfn 12965	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
11		funfvex 5606	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
12	11	funfni 5385	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
13	10, 9, 12	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
14	1, 13	eqeltrd 2283	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
15		ressvalsets 12971	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐵 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐵 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
17		baseid 12961	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
18		strressid.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑊)
19		strressid.bw	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑊)
20	17, 7, 18, 19	strsetsid 12940	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑊)⟩))
21	6, 16, 20	3eqtr4d 2249	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ∩ cin 3169  ⟨cop 3641   class class class wbr 4051  dom cdm 4683  Fun wfun 5274   Fn wfn 5275  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957   Struct cstr 12903  ndxcnx 12904   sSet csts 12905  Basecbs 12907   ↾_s cress 12908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-fz 10151  df-struct 12909  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-iress 12915

This theorem is referenced by: (None)