ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strressid GIF version

Theorem strressid 12544
Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
strressid.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š))
strressid.s (πœ‘ β†’ π‘Š Struct βŸ¨π‘€, π‘βŸ©)
strressid.f (πœ‘ β†’ Fun π‘Š)
strressid.bw (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜ndx) ∈ dom π‘Š)
Assertion
Ref Expression
strressid (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐡) = π‘Š)

Proof of Theorem strressid
StepHypRef Expression
1 strressid.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š))
21ineq1d 3347 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = ((Baseβ€˜π‘Š) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)))
3 inidm 3356 . . . . 5 ((Baseβ€˜π‘Š) ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜π‘Š)
42, 3eqtrdi 2236 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜π‘Š))
54opeq2d 3797 . . 3 (πœ‘ β†’ ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩ = ⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘Š)⟩)
65oveq2d 5904 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘Š)⟩))
7 strressid.s . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š Struct βŸ¨π‘€, π‘βŸ©)
8 structex 12487 . . . 4 (π‘Š Struct βŸ¨π‘€, π‘βŸ© β†’ π‘Š ∈ V)
97, 8syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ V)
10 basfn 12533 . . . . 5 Base Fn V
11 funfvex 5544 . . . . . 6 ((Fun Base ∧ π‘Š ∈ dom Base) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
1211funfni 5328 . . . . 5 ((Base Fn V ∧ π‘Š ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
1310, 9, 12sylancr 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Š) ∈ V)
141, 13eqeltrd 2264 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
15 ressvalsets 12537 . . 3 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐡) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
169, 14, 15syl2anc 411 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐡) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐡 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
17 baseid 12529 . . 3 Base = Slot (Baseβ€˜ndx)
18 strressid.f . . 3 (πœ‘ β†’ Fun π‘Š)
19 strressid.bw . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜ndx) ∈ dom π‘Š)
2017, 7, 18, 19strsetsid 12508 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘Š)⟩))
216, 16, 203eqtr4d 2230 1 (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐡) = π‘Š)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  Vcvv 2749   ∩ cin 3140  βŸ¨cop 3607   class class class wbr 4015  dom cdm 4638  Fun wfun 5222   Fn wfn 5223  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888   Struct cstr 12471  ndxcnx 12472   sSet csts 12473  Basecbs 12475   β†Ύs cress 12476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-struct 12477  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-iress 12483
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator