Theorem strressid 12529

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
strressid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
strressid.s	⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
strressid.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑊)
strressid.bw	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
strressid	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem strressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strressid.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
2	1	ineq1d 3335	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ (Base‘𝑊)))
3		inidm 3344	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑊) ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	eqtrdi 2226	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊))
5	4	opeq2d 3785	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐵 ∩ (Base‘𝑊))⟩ = ⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑊)⟩)
6	5	oveq2d 5890	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐵 ∩ (Base‘𝑊))⟩) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑊)⟩))
7		strressid.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
8		structex 12473	. . . 4 ⊢ (𝑊 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → 𝑊 ∈ V)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
10		basfn 12519	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
11		funfvex 5532	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
12	11	funfni 5316	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
13	10, 9, 12	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
14	1, 13	eqeltrd 2254	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
15		ressvalsets 12523	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐵 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐵 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
17		baseid 12515	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
18		strressid.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑊)
19		strressid.bw	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑊)
20	17, 7, 18, 19	strsetsid 12494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑊)⟩))
21	6, 16, 20	3eqtr4d 2220	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   ∩ cin 3128  ⟨cop 3595   class class class wbr 4003  dom cdm 4626  Fun wfun 5210   Fn wfn 5211  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874   Struct cstr 12457  ndxcnx 12458   sSet csts 12459  Basecbs 12461   ↾_s cress 12462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008  df-struct 12463  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-sets 12468  df-iress 12469

This theorem is referenced by: (None)