Theorem strressid 13099

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
strressid.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
strressid.s	⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
strressid.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑊)
strressid.bw	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
strressid	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem strressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strressid.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
2	1	ineq1d 3404	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ (Base‘𝑊)))
3		inidm 3413	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑊) ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	eqtrdi 2278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘𝑊))
5	4	opeq2d 3863	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), (𝐵 ∩ (Base‘𝑊))⟩ = ⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑊)⟩)
6	5	oveq2d 6016	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐵 ∩ (Base‘𝑊))⟩) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑊)⟩))
7		strressid.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩)
8		structex 13039	. . . 4 ⊢ (𝑊 Struct ⟨𝑀, 𝑁⟩ → 𝑊 ∈ V)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
10		basfn 13086	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
11		funfvex 5643	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑊 ∈ dom Base) → (Base‘𝑊) ∈ V)
12	11	funfni 5422	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (Base‘𝑊) ∈ V)
13	10, 9, 12	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ∈ V)
14	1, 13	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
15		ressvalsets 13092	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐵 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
16	9, 14, 15	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐵 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
17		baseid 13081	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
18		strressid.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑊)
19		strressid.bw	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑊)
20	17, 7, 18, 19	strsetsid 13060	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (Base‘𝑊)⟩))
21	6, 16, 20	3eqtr4d 2272	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∩ cin 3196  ⟨cop 3669   class class class wbr 4082  dom cdm 4718  Fun wfun 5311   Fn wfn 5312  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000   Struct cstr 13023  ndxcnx 13024   sSet csts 13025  Basecbs 13027   ↾_s cress 13028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-struct 13029  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-iress 13035

This theorem is referenced by: (None)