ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qtopbasss GIF version

Theorem qtopbasss 14024
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopbas.1 𝑆 βŠ† ℝ*
qtopbas.max ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ sup({π‘₯, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
qtopbas.min ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ inf({π‘₯, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
qtopbasss ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ TopBases
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝑆

Proof of Theorem qtopbasss
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑣 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 9907 . . 3 (,) ∈ V
21imaex 4984 . 2 ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ V
3 qtopbas.1 . . . . . . . . 9 𝑆 βŠ† ℝ*
43sseli 3152 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
53sseli 3152 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝑆 β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
64, 5anim12i 338 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*))
73sseli 3152 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ 𝑆 β†’ 𝑣 ∈ ℝ*)
83sseli 3152 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ 𝑆 β†’ 𝑒 ∈ ℝ*)
97, 8anim12i 338 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (𝑣 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 ∈ ℝ*))
10 iooinsup 11285 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝑣 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 ∈ ℝ*)) β†’ ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) = (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < )))
116, 9, 10syl2an 289 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) = (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < )))
12 qtopbas.max . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ sup({π‘₯, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
1312rgen2a 2531 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 sup({π‘₯, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆
14 preq12 3672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑧) β†’ {π‘₯, 𝑦} = {𝑣, 𝑧})
15 prcom 3669 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑣, 𝑧} = {𝑧, 𝑣}
1614, 15eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑧) β†’ {π‘₯, 𝑦} = {𝑧, 𝑣})
1716supeq1d 6986 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑧) β†’ sup({π‘₯, 𝑦}, ℝ*, < ) = sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ))
1817eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑧) β†’ (sup({π‘₯, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ↔ sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
1918rspc2gv 2854 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 sup({π‘₯, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 β†’ sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
2013, 19mpi 15 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
2120ancoms 268 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) β†’ sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
22 qtopbas.min . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ inf({π‘₯, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
2322rgen2a 2531 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 inf({π‘₯, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆
24 preq12 3672 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑒) β†’ {π‘₯, 𝑦} = {𝑀, 𝑒})
2524infeq1d 7011 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑒) β†’ inf({π‘₯, 𝑦}, ℝ*, < ) = inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < ))
2625eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 𝑀 ∧ 𝑦 = 𝑒) β†’ (inf({π‘₯, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ↔ inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
2726rspc2gv 2854 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 inf({π‘₯, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 β†’ inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
2823, 27mpi 15 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆) β†’ inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
29 df-ov 5878 . . . . . . . . 9 (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < )) = ((,)β€˜βŸ¨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < )⟩)
30 opelxpi 4659 . . . . . . . . . 10 ((sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ∧ inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆) β†’ ⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < )⟩ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆))
31 ioof 9971 . . . . . . . . . . . 12 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
32 ffun 5369 . . . . . . . . . . . 12 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun (,))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Fun (,)
34 xpss12 4734 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 βŠ† ℝ* ∧ 𝑆 βŠ† ℝ*) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
353, 3, 34mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
3631fdmi 5374 . . . . . . . . . . . 12 dom (,) = (ℝ* Γ— ℝ*)
3735, 36sseqtrri 3191 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† dom (,)
38 funfvima2 5750 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (,) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† dom (,)) β†’ (⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < )⟩ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆) β†’ ((,)β€˜βŸ¨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < )⟩) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
3933, 37, 38mp2an 426 . . . . . . . . . 10 (⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < )⟩ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆) β†’ ((,)β€˜βŸ¨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < )⟩) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
4030, 39syl 14 . . . . . . . . 9 ((sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ∧ inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆) β†’ ((,)β€˜βŸ¨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < )⟩) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
4129, 40eqeltrid 2264 . . . . . . . 8 ((sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ∧ inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆) β†’ (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < )) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
4221, 28, 41syl2an 289 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑀 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < )) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
4342an4s 588 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑀, 𝑒}, ℝ*, < )) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
4411, 43eqeltrd 2254 . . . . 5 (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑒 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
4544ralrimivva 2559 . . . 4 ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
4645rgen2a 2531 . . 3 βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))
47 ffn 5366 . . . . . 6 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
4831, 47ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
49 ineq1 3330 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ((,)β€˜π‘‘) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = (((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦))
5049eleq1d 2246 . . . . . . 7 (π‘₯ = ((,)β€˜π‘‘) β†’ ((π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ (((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
5150ralbidv 2477 . . . . . 6 (π‘₯ = ((,)β€˜π‘‘) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
5251ralima 5757 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
5348, 35, 52mp2an 426 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
54 fveq2 5516 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ ((,)β€˜π‘‘) = ((,)β€˜βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©))
55 df-ov 5878 . . . . . . . . . 10 (𝑧(,)𝑀) = ((,)β€˜βŸ¨π‘§, π‘€βŸ©)
5654, 55eqtr4di 2228 . . . . . . . . 9 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ ((,)β€˜π‘‘) = (𝑧(,)𝑀))
5756ineq1d 3336 . . . . . . . 8 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ (((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦))
5857eleq1d 2246 . . . . . . 7 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ ((((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
5958ralbidv 2477 . . . . . 6 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
60 ineq2 3331 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((,)β€˜π‘‘) β†’ ((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)))
6160eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((,)β€˜π‘‘) β†’ (((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
6261ralima 5757 . . . . . . . 8 (((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ (𝑆 Γ— 𝑆) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
6348, 35, 62mp2an 426 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
64 fveq2 5516 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = βŸ¨π‘£, π‘’βŸ© β†’ ((,)β€˜π‘‘) = ((,)β€˜βŸ¨π‘£, π‘’βŸ©))
65 df-ov 5878 . . . . . . . . . . 11 (𝑣(,)𝑒) = ((,)β€˜βŸ¨π‘£, π‘’βŸ©)
6664, 65eqtr4di 2228 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = βŸ¨π‘£, π‘’βŸ© β†’ ((,)β€˜π‘‘) = (𝑣(,)𝑒))
6766ineq2d 3337 . . . . . . . . 9 (𝑑 = βŸ¨π‘£, π‘’βŸ© β†’ ((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) = ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)))
6867eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑑 = βŸ¨π‘£, π‘’βŸ© β†’ (((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
6968ralxp 4771 . . . . . . 7 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)((𝑧(,)𝑀) ∩ ((,)β€˜π‘‘)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
7063, 69bitri 184 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))((𝑧(,)𝑀) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
7159, 70bitrdi 196 . . . . 5 (𝑑 = βŸ¨π‘§, π‘€βŸ© β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))))
7271ralxp 4771 . . . 4 (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑆 Γ— 𝑆)βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(((,)β€˜π‘‘) ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
7353, 72bitri 184 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 βˆ€π‘£ ∈ 𝑆 βˆ€π‘’ ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑀) ∩ (𝑣(,)𝑒)) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)))
7446, 73mpbir 146 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))
75 fiinbas 13552 . 2 ((((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))βˆ€π‘¦ ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))(π‘₯ ∩ 𝑦) ∈ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆))) β†’ ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ TopBases)
762, 74, 75mp2an 426 1 ((,) β€œ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  Vcvv 2738   ∩ cin 3129   βŠ† wss 3130  π’« cpw 3576  {cpr 3594  βŸ¨cop 3596   Γ— cxp 4625  dom cdm 4627   β€œ cima 4630  Fun wfun 5211   Fn wfn 5212  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  supcsup 6981  infcinf 6982  β„cr 7810  β„*cxr 7991   < clt 7992  (,)cioo 9888  TopBasesctb 13545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-ioo 9892  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-bases 13546
This theorem is referenced by:  qtopbas  14025  retopbas  14026
  Copyright terms: Public domain W3C validator