Theorem qtopbasss 13957

Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
qtopbas.1	⊢ 𝑆 ⊆ ℝ*
qtopbas.max	⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
qtopbas.min	⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
qtopbasss	⊢ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑆

Proof of Theorem qtopbasss

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooex 9906	. . 3 ⊢ (,) ∈ V
2	1	imaex 4983	. 2 ⊢ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V
3		qtopbas.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ*
4	3	sseli 3151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ ℝ*)
5	3	sseli 3151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ ℝ*)
6	4, 5	anim12i 338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*))
7	3	sseli 3151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑆 → 𝑣 ∈ ℝ*)
8	3	sseli 3151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ℝ*)
9	7, 8	anim12i 338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 ∈ ℝ*))
10		iooinsup 11284	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑣 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 ∈ ℝ*)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )))
11	6, 9, 10	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )))
12		qtopbas.max	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
13	12	rgen2a 2531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆
14		preq12 3671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑧) → {𝑥, 𝑦} = {𝑣, 𝑧})
15		prcom 3668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑣, 𝑧} = {𝑧, 𝑣}
16	14, 15	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑧) → {𝑥, 𝑦} = {𝑧, 𝑣})
17	16	supeq1d 6985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑧) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ))
18	17	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑧) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ↔ sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
19	18	rspc2gv 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 → sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
20	13, 19	mpi 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
21	20	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
22		qtopbas.min	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
23	22	rgen2a 2531	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆
24		preq12 3671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑤 ∧ 𝑦 = 𝑢) → {𝑥, 𝑦} = {𝑤, 𝑢})
25	24	infeq1d 7010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑤 ∧ 𝑦 = 𝑢) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ))
26	25	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑤 ∧ 𝑦 = 𝑢) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ↔ inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
27	26	rspc2gv 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 → inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
28	23, 27	mpi 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
29		df-ov 5877	. . . . . . . . 9 ⊢ (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )) = ((,)‘⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩)
30		opelxpi 4658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ∧ inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆) → ⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆))
31		ioof 9970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
32		ffun 5368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Fun (,)
34		xpss12 4733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ* ∧ 𝑆 ⊆ ℝ*) → (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
35	3, 3, 34	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
36	31	fdmi 5373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
37	35, 36	sseqtrri 3190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)
38		funfvima2 5749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun (,) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)) → (⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
39	33, 37, 38	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
40	30, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ∧ inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆) → ((,)‘⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
41	29, 40	eqeltrid 2264	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ∧ inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆) → (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
42	21, 28, 41	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
43	42	an4s 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
44	11, 43	eqeltrd 2254	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
45	44	ralrimivva 2559	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
46	45	rgen2a 2531	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑤 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
47		ffn 5365	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
48	31, 47	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
49		ineq1 3329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (𝑥 ∩ 𝑦) = (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦))
50	49	eleq1d 2246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((,)‘𝑡) → ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
51	50	ralbidv 2477	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
52	51	ralima 5756	. . . . 5 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
53	48, 35, 52	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
54		fveq2 5515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩))
55		df-ov 5877	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧(,)𝑤) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩)
56	54, 55	eqtr4di 2228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑧(,)𝑤))
57	56	ineq1d 3335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦))
58	57	eleq1d 2246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
59	58	ralbidv 2477	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
60		ineq2 3330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((,)‘𝑡) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)))
61	60	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((,)‘𝑡) → (((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
62	61	ralima 5756	. . . . . . . 8 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
63	48, 35, 62	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
64		fveq2 5515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩))
65		df-ov 5877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣(,)𝑢) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩)
66	64, 65	eqtr4di 2228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑣(,)𝑢))
67	66	ineq2d 3336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)))
68	67	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → (((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
69	68	ralxp 4770	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
70	63, 69	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
71	59, 70	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
72	71	ralxp 4770	. . . 4 ⊢ (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑤 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
73	53, 72	bitri 184	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑤 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
74	46, 73	mpbir 146	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
75		fiinbas 13485	. 2 ⊢ ((((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))) → ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases)
76	2, 74, 75	mp2an 426	1 ⊢ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  Vcvv 2737   ∩ cin 3128   ⊆ wss 3129  𝒫 cpw 3575  {cpr 3593  ⟨cop 3595   × cxp 4624  dom cdm 4626   “ cima 4629  Fun wfun 5210   Fn wfn 5211  ⟶wf 5212  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  supcsup 6980  infcinf 6981  ℝcr 7809  ℝ^*cxr 7990   < clt 7991  (,)cioo 9887  TopBasesctb 13478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-ioo 9891  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-bases 13479

This theorem is referenced by:  qtopbas  13958  retopbas  13959