Theorem qtopbasss 15108

Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
qtopbas.1	⊢ 𝑆 ⊆ ℝ*
qtopbas.max	⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
qtopbas.min	⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
qtopbasss	⊢ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑆

Proof of Theorem qtopbasss

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooex 10064	. . 3 ⊢ (,) ∈ V
2	1	imaex 5056	. 2 ⊢ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V
3		qtopbas.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ*
4	3	sseli 3197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ ℝ*)
5	3	sseli 3197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ ℝ*)
6	4, 5	anim12i 338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*))
7	3	sseli 3197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑆 → 𝑣 ∈ ℝ*)
8	3	sseli 3197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ℝ*)
9	7, 8	anim12i 338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 ∈ ℝ*))
10		iooinsup 11703	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑣 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 ∈ ℝ*)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )))
11	6, 9, 10	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )))
12		qtopbas.max	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
13	12	rgen2a 2562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆
14		preq12 3722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑧) → {𝑥, 𝑦} = {𝑣, 𝑧})
15		prcom 3719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑣, 𝑧} = {𝑧, 𝑣}
16	14, 15	eqtrdi 2256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑧) → {𝑥, 𝑦} = {𝑧, 𝑣})
17	16	supeq1d 7115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑧) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ))
18	17	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑧) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ↔ sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
19	18	rspc2gv 2896	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 → sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
20	13, 19	mpi 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
21	20	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
22		qtopbas.min	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
23	22	rgen2a 2562	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆
24		preq12 3722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑤 ∧ 𝑦 = 𝑢) → {𝑥, 𝑦} = {𝑤, 𝑢})
25	24	infeq1d 7140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑤 ∧ 𝑦 = 𝑢) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ))
26	25	eleq1d 2276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑤 ∧ 𝑦 = 𝑢) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ↔ inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
27	26	rspc2gv 2896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 → inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
28	23, 27	mpi 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
29		df-ov 5970	. . . . . . . . 9 ⊢ (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )) = ((,)‘⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩)
30		opelxpi 4725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ∧ inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆) → ⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆))
31		ioof 10128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
32		ffun 5448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Fun (,)
34		xpss12 4800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ* ∧ 𝑆 ⊆ ℝ*) → (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
35	3, 3, 34	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
36	31	fdmi 5453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
37	35, 36	sseqtrri 3236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)
38		funfvima2 5840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun (,) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)) → (⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
39	33, 37, 38	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
40	30, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ∧ inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆) → ((,)‘⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
41	29, 40	eqeltrid 2294	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ∧ inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆) → (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
42	21, 28, 41	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
43	42	an4s 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
44	11, 43	eqeltrd 2284	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
45	44	ralrimivva 2590	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
46	45	rgen2a 2562	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑤 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
47		ffn 5445	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
48	31, 47	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
49		ineq1 3375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (𝑥 ∩ 𝑦) = (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦))
50	49	eleq1d 2276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((,)‘𝑡) → ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
51	50	ralbidv 2508	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
52	51	ralima 5847	. . . . 5 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
53	48, 35, 52	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
54		fveq2 5599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩))
55		df-ov 5970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧(,)𝑤) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩)
56	54, 55	eqtr4di 2258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑧(,)𝑤))
57	56	ineq1d 3381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦))
58	57	eleq1d 2276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
59	58	ralbidv 2508	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
60		ineq2 3376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((,)‘𝑡) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)))
61	60	eleq1d 2276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((,)‘𝑡) → (((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
62	61	ralima 5847	. . . . . . . 8 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
63	48, 35, 62	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
64		fveq2 5599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩))
65		df-ov 5970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣(,)𝑢) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩)
66	64, 65	eqtr4di 2258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑣(,)𝑢))
67	66	ineq2d 3382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)))
68	67	eleq1d 2276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → (((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
69	68	ralxp 4839	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
70	63, 69	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
71	59, 70	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
72	71	ralxp 4839	. . . 4 ⊢ (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑤 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
73	53, 72	bitri 184	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑤 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
74	46, 73	mpbir 146	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
75		fiinbas 14636	. 2 ⊢ ((((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))) → ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases)
76	2, 74, 75	mp2an 426	1 ⊢ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486  Vcvv 2776   ∩ cin 3173   ⊆ wss 3174  𝒫 cpw 3626  {cpr 3644  ⟨cop 3646   × cxp 4691  dom cdm 4693   “ cima 4696  Fun wfun 5284   Fn wfn 5285  ⟶wf 5286  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  supcsup 7110  infcinf 7111  ℝcr 7959  ℝ^*cxr 8141   < clt 8142  (,)cioo 10045  TopBasesctb 14629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-ioo 10049  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-bases 14630

This theorem is referenced by:  qtopbas  15109  retopbas  15110