Theorem qtopbasss 15622

Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
qtopbas.1	⊢ 𝑆 ⊆ ℝ*
qtopbas.max	⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
qtopbas.min	⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
qtopbasss	⊢ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑆

Proof of Theorem qtopbasss

Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooex 10309	. . 3 ⊢ (,) ∈ V
2	1	imaex 5141	. 2 ⊢ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V
3		qtopbas.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ*
4	3	sseli 3244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ ℝ*)
5	3	sseli 3244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑆 → 𝑤 ∈ ℝ*)
6	4, 5	anim12i 338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*))
7	3	sseli 3244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑆 → 𝑣 ∈ ℝ*)
8	3	sseli 3244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑆 → 𝑢 ∈ ℝ*)
9	7, 8	anim12i 338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (𝑣 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 ∈ ℝ*))
10		iooinsup 12043	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑣 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 ∈ ℝ*)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )))
11	6, 9, 10	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )))
12		qtopbas.max	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
13	12	rgen2a 2604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆
14		preq12 3790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑧) → {𝑥, 𝑦} = {𝑣, 𝑧})
15		prcom 3787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑣, 𝑧} = {𝑧, 𝑣}
16	14, 15	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑧) → {𝑥, 𝑦} = {𝑧, 𝑣})
17	16	supeq1d 7327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑧) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ))
18	17	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑣 ∧ 𝑦 = 𝑧) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ↔ sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
19	18	rspc2gv 2942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 → sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
20	13, 19	mpi 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
21	20	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) → sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
22		qtopbas.min	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
23	22	rgen2a 2604	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆
24		preq12 3790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 = 𝑤 ∧ 𝑦 = 𝑢) → {𝑥, 𝑦} = {𝑤, 𝑢})
25	24	infeq1d 7352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = 𝑤 ∧ 𝑦 = 𝑢) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ))
26	25	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 𝑤 ∧ 𝑦 = 𝑢) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ↔ inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
27	26	rspc2gv 2942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 → inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
28	23, 27	mpi 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) → inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
29		df-ov 6088	. . . . . . . . 9 ⊢ (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )) = ((,)‘⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩)
30		opelxpi 4806	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ∧ inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆) → ⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆))
31		ioof 10373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
32		ffun 5536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Fun (,)
34		xpss12 4882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ* ∧ 𝑆 ⊆ ℝ*) → (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
35	3, 3, 34	mp2an 430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
36	31	fdmi 5541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
37	35, 36	sseqtrri 3283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)
38		funfvima2 5951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun (,) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)) → (⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
39	33, 37, 38	mp2an 430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
40	30, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ∧ inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆) → ((,)‘⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
41	29, 40	eqeltrid 2325	. . . . . . . 8 ⊢ ((sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ∧ inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆) → (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
42	21, 28, 41	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑆) ∧ (𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
43	42	an4s 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
44	11, 43	eqeltrd 2315	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
45	44	ralrimivva 2632	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆) → ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
46	45	rgen2a 2604	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑤 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
47		ffn 5533	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
48	31, 47	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
49		ineq1 3425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (𝑥 ∩ 𝑦) = (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦))
50	49	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((,)‘𝑡) → ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
51	50	ralbidv 2550	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
52	51	ralima 5961	. . . . 5 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
53	48, 35, 52	mp2an 430	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
54		fveq2 5695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩))
55		df-ov 6088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧(,)𝑤) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩)
56	54, 55	eqtr4di 2289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑧(,)𝑤))
57	56	ineq1d 3431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦))
58	57	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
59	58	ralbidv 2550	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
60		ineq2 3426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ((,)‘𝑡) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)))
61	60	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ((,)‘𝑡) → (((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
62	61	ralima 5961	. . . . . . . 8 ⊢ (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
63	48, 35, 62	mp2an 430	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
64		fveq2 5695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩))
65		df-ov 6088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣(,)𝑢) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩)
66	64, 65	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑣(,)𝑢))
67	66	ineq2d 3432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)))
68	67	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → (((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
69	68	ralxp 4923	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
70	63, 69	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
71	59, 70	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
72	71	ralxp 4923	. . . 4 ⊢ (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑤 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
73	53, 72	bitri 184	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑤 ∈ 𝑆 ∀𝑣 ∈ 𝑆 ∀𝑢 ∈ 𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
74	46, 73	mpbir 146	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
75		fiinbas 15150	. 2 ⊢ ((((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))) → ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases)
76	2, 74, 75	mp2an 430	1 ⊢ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688  {cpr 3710  ⟨cop 3712   × cxp 4772  dom cdm 4774   “ cima 4777  Fun wfun 5371   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  supcsup 7322  infcinf 7323  ℝcr 8178  ℝ^*cxr 8359   < clt 8360  (,)cioo 10290  TopBasesctb 15143

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-ioo 10294  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-bases 15144

This theorem is used by:  qtopbas  15623  retopbas  15624