ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qtopbasss GIF version

Theorem qtopbasss 13957
Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopbas.1 𝑆 ⊆ ℝ*
qtopbas.max ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
qtopbas.min ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
qtopbasss ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑆

Proof of Theorem qtopbasss
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooex 9906 . . 3 (,) ∈ V
21imaex 4983 . 2 ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V
3 qtopbas.1 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℝ*
43sseli 3151 . . . . . . . 8 (𝑧𝑆𝑧 ∈ ℝ*)
53sseli 3151 . . . . . . . 8 (𝑤𝑆𝑤 ∈ ℝ*)
64, 5anim12i 338 . . . . . . 7 ((𝑧𝑆𝑤𝑆) → (𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*))
73sseli 3151 . . . . . . . 8 (𝑣𝑆𝑣 ∈ ℝ*)
83sseli 3151 . . . . . . . 8 (𝑢𝑆𝑢 ∈ ℝ*)
97, 8anim12i 338 . . . . . . 7 ((𝑣𝑆𝑢𝑆) → (𝑣 ∈ ℝ*𝑢 ∈ ℝ*))
10 iooinsup 11284 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝑣 ∈ ℝ*𝑢 ∈ ℝ*)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )))
116, 9, 10syl2an 289 . . . . . 6 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) = (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )))
12 qtopbas.max . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
1312rgen2a 2531 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑆𝑦𝑆 sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆
14 preq12 3671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑧) → {𝑥, 𝑦} = {𝑣, 𝑧})
15 prcom 3668 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑣, 𝑧} = {𝑧, 𝑣}
1614, 15eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑧) → {𝑥, 𝑦} = {𝑧, 𝑣})
1716supeq1d 6985 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑧) → sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ))
1817eleq1d 2246 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑧) → (sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ↔ sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
1918rspc2gv 2853 . . . . . . . . . 10 ((𝑣𝑆𝑧𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 sup({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 → sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
2013, 19mpi 15 . . . . . . . . 9 ((𝑣𝑆𝑧𝑆) → sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
2120ancoms 268 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑆𝑣𝑆) → sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
22 qtopbas.min . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
2322rgen2a 2531 . . . . . . . . 9 𝑥𝑆𝑦𝑆 inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆
24 preq12 3671 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑤𝑦 = 𝑢) → {𝑥, 𝑦} = {𝑤, 𝑢})
2524infeq1d 7010 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑤𝑦 = 𝑢) → inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) = inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ))
2625eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑤𝑦 = 𝑢) → (inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ↔ inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
2726rspc2gv 2853 . . . . . . . . 9 ((𝑤𝑆𝑢𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 inf({𝑥, 𝑦}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 → inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆))
2823, 27mpi 15 . . . . . . . 8 ((𝑤𝑆𝑢𝑆) → inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆)
29 df-ov 5877 . . . . . . . . 9 (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )) = ((,)‘⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩)
30 opelxpi 4658 . . . . . . . . . 10 ((sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ∧ inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆) → ⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆))
31 ioof 9970 . . . . . . . . . . . 12 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
32 ffun 5368 . . . . . . . . . . . 12 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Fun (,)
34 xpss12 4733 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℝ*𝑆 ⊆ ℝ*) → (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
353, 3, 34mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3631fdmi 5373 . . . . . . . . . . . 12 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
3735, 36sseqtrri 3190 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)
38 funfvima2 5749 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (,) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ dom (,)) → (⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
3933, 37, 38mp2an 426 . . . . . . . . . 10 (⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩ ∈ (𝑆 × 𝑆) → ((,)‘⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
4030, 39syl 14 . . . . . . . . 9 ((sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ∧ inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆) → ((,)‘⟨sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ), inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )⟩) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
4129, 40eqeltrid 2264 . . . . . . . 8 ((sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆 ∧ inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < ) ∈ 𝑆) → (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
4221, 28, 41syl2an 289 . . . . . . 7 (((𝑧𝑆𝑣𝑆) ∧ (𝑤𝑆𝑢𝑆)) → (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
4342an4s 588 . . . . . 6 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → (sup({𝑧, 𝑣}, ℝ*, < )(,)inf({𝑤, 𝑢}, ℝ*, < )) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
4411, 43eqeltrd 2254 . . . . 5 (((𝑧𝑆𝑤𝑆) ∧ (𝑣𝑆𝑢𝑆)) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
4544ralrimivva 2559 . . . 4 ((𝑧𝑆𝑤𝑆) → ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
4645rgen2a 2531 . . 3 𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
47 ffn 5365 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4831, 47ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
49 ineq1 3329 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (𝑥𝑦) = (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦))
5049eleq1d 2246 . . . . . . 7 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → ((𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
5150ralbidv 2477 . . . . . 6 (𝑥 = ((,)‘𝑡) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
5251ralima 5756 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
5348, 35, 52mp2an 426 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
54 fveq2 5515 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩))
55 df-ov 5877 . . . . . . . . . 10 (𝑧(,)𝑤) = ((,)‘⟨𝑧, 𝑤⟩)
5654, 55eqtr4di 2228 . . . . . . . . 9 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑧(,)𝑤))
5756ineq1d 3335 . . . . . . . 8 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦))
5857eleq1d 2246 . . . . . . 7 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → ((((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
5958ralbidv 2477 . . . . . 6 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
60 ineq2 3330 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((,)‘𝑡) → ((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)))
6160eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((,)‘𝑡) → (((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
6261ralima 5756 . . . . . . . 8 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ (𝑆 × 𝑆) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
6348, 35, 62mp2an 426 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
64 fveq2 5515 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩))
65 df-ov 5877 . . . . . . . . . . 11 (𝑣(,)𝑢) = ((,)‘⟨𝑣, 𝑢⟩)
6664, 65eqtr4di 2228 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((,)‘𝑡) = (𝑣(,)𝑢))
6766ineq2d 3336 . . . . . . . . 9 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → ((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) = ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)))
6867eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑡 = ⟨𝑣, 𝑢⟩ → (((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
6968ralxp 4770 . . . . . . 7 (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)((𝑧(,)𝑤) ∩ ((,)‘𝑡)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
7063, 69bitri 184 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))((𝑧(,)𝑤) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
7159, 70bitrdi 196 . . . . 5 (𝑡 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ → (∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))))
7271ralxp 4770 . . . 4 (∀𝑡 ∈ (𝑆 × 𝑆)∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(((,)‘𝑡) ∩ 𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
7353, 72bitri 184 . . 3 (∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ↔ ∀𝑧𝑆𝑤𝑆𝑣𝑆𝑢𝑆 ((𝑧(,)𝑤) ∩ (𝑣(,)𝑢)) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆)))
7446, 73mpbir 146 . 2 𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))
75 fiinbas 13485 . 2 ((((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))∀𝑦 ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))(𝑥𝑦) ∈ ((,) “ (𝑆 × 𝑆))) → ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases)
762, 74, 75mp2an 426 1 ((,) “ (𝑆 × 𝑆)) ∈ TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  Vcvv 2737  cin 3128  wss 3129  𝒫 cpw 3575  {cpr 3593  cop 3595   × cxp 4624  dom cdm 4626  cima 4629  Fun wfun 5210   Fn wfn 5211  wf 5212  cfv 5216  (class class class)co 5874  supcsup 6980  infcinf 6981  cr 7809  *cxr 7990   < clt 7991  (,)cioo 9887  TopBasesctb 13478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-ioo 9891  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-bases 13479
This theorem is referenced by:  qtopbas  13958  retopbas  13959
  Copyright terms: Public domain W3C validator