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Theorem fiintim 6810
Description: If a class is closed under pairwise intersections, then it is closed under nonempty finite intersections. The converse would appear to require an additional condition, such as 𝑥 and 𝑦 not being equal, or 𝐴 having decidable equality.

This theorem is applicable to a topology, which (among other axioms) is closed under finite intersections. Some texts use a pairwise intersection and some texts use a finite intersection, but most topology texts assume excluded middle (in which case the two intersection properties would be equivalent). (Contributed by NM, 22-Sep-2002.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jan-2023.)

Assertion
Ref Expression
fiintim (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦) ∈ 𝐴 → ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem fiintim
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6648 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥𝑦)
2 ensym 6668 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦𝑦𝑥)
3 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝑥 ↔ ∅ ≈ 𝑥))
43anbi2d 459 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ∅ → (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝑥) ↔ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ ∅ ≈ 𝑥)))
54imbi1d 230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → ((((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐴) ↔ (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ ∅ ≈ 𝑥) → 𝑥𝐴)))
65albidv 1796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ∅ → (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐴) ↔ ∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ ∅ ≈ 𝑥) → 𝑥𝐴)))
7 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑣 → (𝑦𝑥𝑣𝑥))
87anbi2d 459 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑣 → (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝑥) ↔ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥)))
98imbi1d 230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑣 → ((((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐴) ↔ (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴)))
109albidv 1796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑣 → (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐴) ↔ ∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴)))
11 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = suc 𝑣 → (𝑦𝑥 ↔ suc 𝑣𝑥))
1211anbi2d 459 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = suc 𝑣 → (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝑥) ↔ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ suc 𝑣𝑥)))
1312imbi1d 230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = suc 𝑣 → ((((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐴) ↔ (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ suc 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴)))
1413albidv 1796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = suc 𝑣 → (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐴) ↔ ∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ suc 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴)))
15 ensym 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∅ ≈ 𝑥𝑥 ≈ ∅)
16 en0 6682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ≈ ∅ ↔ 𝑥 = ∅)
1715, 16sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∅ ≈ 𝑥𝑥 = ∅)
1817anim1i 338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∅ ≈ 𝑥𝑥 ≠ ∅) → (𝑥 = ∅ ∧ 𝑥 ≠ ∅))
1918ancoms 266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ ∅ ≈ 𝑥) → (𝑥 = ∅ ∧ 𝑥 ≠ ∅))
2019adantll 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ ∅ ≈ 𝑥) → (𝑥 = ∅ ∧ 𝑥 ≠ ∅))
21 df-ne 2307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑥 = ∅)
22 pm3.24 682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ (𝑥 = ∅ ∧ ¬ 𝑥 = ∅)
2322pm2.21i 635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = ∅ ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥𝐴)
2421, 23sylan2b 285 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = ∅ ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝐴)
2520, 24syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ ∅ ≈ 𝑥) → 𝑥𝐴)
2625ax-gen 1425 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ ∅ ≈ 𝑥) → 𝑥𝐴)
2726a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 → ∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ ∅ ≈ 𝑥) → 𝑥𝐴))
28 nfv 1508 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑣 ∈ ω ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)
29 nfa1 1521 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴)
30 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → 𝑥𝐴)
31 bren 6634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (suc 𝑣𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥)
32 ssel 3086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥𝐴 → ((𝑓𝑣) ∈ 𝑥 → (𝑓𝑣) ∈ 𝐴))
33 f1of 5360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥𝑓:suc 𝑣𝑥)
34 vex 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑣 ∈ V
3534sucid 4334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑣 ∈ suc 𝑣
36 ffvelrn 5546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓:suc 𝑣𝑥𝑣 ∈ suc 𝑣) → (𝑓𝑣) ∈ 𝑥)
3733, 35, 36sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → (𝑓𝑣) ∈ 𝑥)
3832, 37impel 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥𝐴𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) → (𝑓𝑣) ∈ 𝐴)
3938adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥𝐴𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) → (𝑓𝑣) ∈ 𝐴)
4039adantlll 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) → (𝑓𝑣) ∈ 𝐴)
41 imaeq2 4872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑣 = ∅ → (𝑓𝑣) = (𝑓 “ ∅))
42 ima0 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 “ ∅) = ∅
4341, 42syl6eq 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 = ∅ → (𝑓𝑣) = ∅)
44 inteq 3769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑓𝑣) = ∅ → (𝑓𝑣) = ∅)
45 int0 3780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ∅ = V
4644, 45syl6eq 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑓𝑣) = ∅ → (𝑓𝑣) = V)
4746ineq1d 3271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑓𝑣) = ∅ → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) = (V ∩ (𝑓𝑣)))
48 ssv 3114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑓𝑣) ⊆ V
49 sseqin2 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑓𝑣) ⊆ V ↔ (V ∩ (𝑓𝑣)) = (𝑓𝑣))
5048, 49mpbi 144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (V ∩ (𝑓𝑣)) = (𝑓𝑣)
5147, 50syl6eq 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓𝑣) = ∅ → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) = (𝑓𝑣))
5251eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓𝑣) = ∅ → (( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑓𝑣) ∈ 𝐴))
5352biimprd 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓𝑣) = ∅ → ((𝑓𝑣) ∈ 𝐴 → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴))
5443, 53syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣 = ∅ → ((𝑓𝑣) ∈ 𝐴 → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴))
5554adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑣 = ∅) → ((𝑓𝑣) ∈ 𝐴 → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴))
56 f1ofun 5362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → Fun 𝑓)
5756ad3antlr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) ∧ ∅ ∈ 𝑣) → Fun 𝑓)
58 elelsuc 4326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (∅ ∈ 𝑣 → ∅ ∈ suc 𝑣)
5958adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) ∧ ∅ ∈ 𝑣) → ∅ ∈ suc 𝑣)
60 f1odm 5364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → dom 𝑓 = suc 𝑣)
6160eleq2d 2207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → (∅ ∈ dom 𝑓 ↔ ∅ ∈ suc 𝑣))
6261ad3antlr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) ∧ ∅ ∈ 𝑣) → (∅ ∈ dom 𝑓 ↔ ∅ ∈ suc 𝑣))
6359, 62mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) ∧ ∅ ∈ 𝑣) → ∅ ∈ dom 𝑓)
6457, 63jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) ∧ ∅ ∈ 𝑣) → (Fun 𝑓 ∧ ∅ ∈ dom 𝑓))
65 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) ∧ ∅ ∈ 𝑣) → ∅ ∈ 𝑣)
66 funfvima 5642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((Fun 𝑓 ∧ ∅ ∈ dom 𝑓) → (∅ ∈ 𝑣 → (𝑓‘∅) ∈ (𝑓𝑣)))
6764, 65, 66sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) ∧ ∅ ∈ 𝑣) → (𝑓‘∅) ∈ (𝑓𝑣))
68 ne0i 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓‘∅) ∈ (𝑓𝑣) → (𝑓𝑣) ≠ ∅)
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) ∧ ∅ ∈ 𝑣) → (𝑓𝑣) ≠ ∅)
70 imassrn 4887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑓𝑣) ⊆ ran 𝑓
71 dff1o2 5365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 ↔ (𝑓 Fn suc 𝑣 ∧ Fun 𝑓 ∧ ran 𝑓 = 𝑥))
7271simp3bi 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → ran 𝑓 = 𝑥)
7370, 72sseqtrid 3142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → (𝑓𝑣) ⊆ 𝑥)
74 sstr2 3099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑓𝑣) ⊆ 𝑥 → (𝑥𝐴 → (𝑓𝑣) ⊆ 𝐴))
7573, 74syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → (𝑥𝐴 → (𝑓𝑣) ⊆ 𝐴))
7675anim1d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → ((𝑥𝐴 ∧ (𝑓𝑣) ≠ ∅) → ((𝑓𝑣) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑣) ≠ ∅)))
77 f1of1 5359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥𝑓:suc 𝑣1-1𝑥)
78 vex 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 𝑥 ∈ V
79 sssucid 4332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 𝑣 ⊆ suc 𝑣
80 f1imaen2g 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑓:suc 𝑣1-1𝑥𝑥 ∈ V) ∧ (𝑣 ⊆ suc 𝑣𝑣 ∈ V)) → (𝑓𝑣) ≈ 𝑣)
8179, 34, 80mpanr12 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑓:suc 𝑣1-1𝑥𝑥 ∈ V) → (𝑓𝑣) ≈ 𝑣)
8277, 78, 81sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → (𝑓𝑣) ≈ 𝑣)
8382ensymd 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥𝑣 ≈ (𝑓𝑣))
8476, 83jctird 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → ((𝑥𝐴 ∧ (𝑓𝑣) ≠ ∅) → (((𝑓𝑣) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑣) ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ (𝑓𝑣))))
85 vex 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 𝑓 ∈ V
8685imaex 4889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑓𝑣) ∈ V
87 sseq1 3115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 = (𝑓𝑣) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑓𝑣) ⊆ 𝐴))
88 neeq1 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 = (𝑓𝑣) → (𝑥 ≠ ∅ ↔ (𝑓𝑣) ≠ ∅))
8987, 88anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 = (𝑓𝑣) → ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ↔ ((𝑓𝑣) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑣) ≠ ∅)))
90 breq2 3928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 = (𝑓𝑣) → (𝑣𝑥𝑣 ≈ (𝑓𝑣)))
9189, 90anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 = (𝑓𝑣) → (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) ↔ (((𝑓𝑣) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑣) ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ (𝑓𝑣))))
92 inteq 3769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 = (𝑓𝑣) → 𝑥 = (𝑓𝑣))
9392eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 = (𝑓𝑣) → ( 𝑥𝐴 (𝑓𝑣) ∈ 𝐴))
9491, 93imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 = (𝑓𝑣) → ((((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ↔ ((((𝑓𝑣) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑣) ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ (𝑓𝑣)) → (𝑓𝑣) ∈ 𝐴)))
9586, 94spcv 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) → ((((𝑓𝑣) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑣) ≠ ∅) ∧ 𝑣 ≈ (𝑓𝑣)) → (𝑓𝑣) ∈ 𝐴))
9684, 95sylan9 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴)) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝑓𝑣) ≠ ∅) → (𝑓𝑣) ∈ 𝐴))
97 ineq1 3265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧 = (𝑓𝑣) → (𝑧𝑤) = ( (𝑓𝑣) ∩ 𝑤))
9897eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 = (𝑓𝑣) → ((𝑧𝑤) ∈ 𝐴 ↔ ( (𝑓𝑣) ∩ 𝑤) ∈ 𝐴))
99 ineq2 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑤 = (𝑓𝑣) → ( (𝑓𝑣) ∩ 𝑤) = ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)))
10099eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑤 = (𝑓𝑣) → (( (𝑓𝑣) ∩ 𝑤) ∈ 𝐴 ↔ ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴))
10198, 100rspc2v 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (( (𝑓𝑣) ∈ 𝐴 ∧ (𝑓𝑣) ∈ 𝐴) → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴))
102101ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ( (𝑓𝑣) ∈ 𝐴 → ((𝑓𝑣) ∈ 𝐴 → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴)))
10396, 102syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴)) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝑓𝑣) ≠ ∅) → ((𝑓𝑣) ∈ 𝐴 → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴))))
104103com4r 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 → ((𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴)) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝑓𝑣) ≠ ∅) → ((𝑓𝑣) ∈ 𝐴 → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴))))
105104exp5c 373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 → (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) → (𝑥𝐴 → ((𝑓𝑣) ≠ ∅ → ((𝑓𝑣) ∈ 𝐴 → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴))))))
106105com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥𝐴 → (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 → ((𝑓𝑣) ≠ ∅ → ((𝑓𝑣) ∈ 𝐴 → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴))))))
107106imp43 352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑥𝐴𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) → ((𝑓𝑣) ≠ ∅ → ((𝑓𝑣) ∈ 𝐴 → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴)))
108107adantlll 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) → ((𝑓𝑣) ≠ ∅ → ((𝑓𝑣) ∈ 𝐴 → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴)))
109108adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) ∧ ∅ ∈ 𝑣) → ((𝑓𝑣) ≠ ∅ → ((𝑓𝑣) ∈ 𝐴 → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴)))
11069, 109mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) ∧ ∅ ∈ 𝑣) → ((𝑓𝑣) ∈ 𝐴 → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴))
111 0elnn 4527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣 ∈ ω → (𝑣 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑣))
112111ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) → (𝑣 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑣))
11355, 110, 112mpjaodan 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) → ((𝑓𝑣) ∈ 𝐴 → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴))
11440, 113mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴)
11585, 34fvex 5434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓𝑣) ∈ V
116115intunsn 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓𝑣) ∪ {(𝑓𝑣)}) = ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣))
117 f1ofn 5361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥𝑓 Fn suc 𝑣)
118 fnsnfv 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑓 Fn suc 𝑣𝑣 ∈ suc 𝑣) → {(𝑓𝑣)} = (𝑓 “ {𝑣}))
119117, 35, 118sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → {(𝑓𝑣)} = (𝑓 “ {𝑣}))
120119uneq2d 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → ((𝑓𝑣) ∪ {(𝑓𝑣)}) = ((𝑓𝑣) ∪ (𝑓 “ {𝑣})))
121 df-suc 4288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 suc 𝑣 = (𝑣 ∪ {𝑣})
122121imaeq2i 4874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 “ suc 𝑣) = (𝑓 “ (𝑣 ∪ {𝑣}))
123 imaundi 4946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 “ (𝑣 ∪ {𝑣})) = ((𝑓𝑣) ∪ (𝑓 “ {𝑣}))
124122, 123eqtr2i 2159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑓𝑣) ∪ (𝑓 “ {𝑣})) = (𝑓 “ suc 𝑣)
125120, 124syl6eq 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → ((𝑓𝑣) ∪ {(𝑓𝑣)}) = (𝑓 “ suc 𝑣))
126 f1ofo 5367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥𝑓:suc 𝑣onto𝑥)
127 foima 5345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑓:suc 𝑣onto𝑥 → (𝑓 “ suc 𝑣) = 𝑥)
128126, 127syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → (𝑓 “ suc 𝑣) = 𝑥)
129125, 128eqtrd 2170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → ((𝑓𝑣) ∪ {(𝑓𝑣)}) = 𝑥)
130129inteqd 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 ((𝑓𝑣) ∪ {(𝑓𝑣)}) = 𝑥)
131116, 130syl5eqr 2184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → ( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) = 𝑥)
132131eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → (( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴 𝑥𝐴))
133132ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) → (( (𝑓𝑣) ∩ (𝑓𝑣)) ∈ 𝐴 𝑥𝐴))
134114, 133mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥) ∧ (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)) → 𝑥𝐴)
135134exp43 369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 𝑥𝐴))))
136135exlimdv 1791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑓 𝑓:suc 𝑣1-1-onto𝑥 → (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 𝑥𝐴))))
13731, 136syl5bi 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → (suc 𝑣𝑥 → (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 𝑥𝐴))))
138137expimpd 360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 ∈ ω → ((𝑥𝐴 ∧ suc 𝑣𝑥) → (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 𝑥𝐴))))
13930, 138sylani 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ ω → (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ suc 𝑣𝑥) → (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 𝑥𝐴))))
140139com24 87 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ ω → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 → (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ suc 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴))))
141140imp 123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑣 ∈ ω ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴) → (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ suc 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴)))
14228, 29, 141alrimd 1589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 ∈ ω ∧ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴) → (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) → ∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ suc 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴)))
143142ex 114 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ω → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 → (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴) → ∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ suc 𝑣𝑥) → 𝑥𝐴))))
1446, 10, 14, 27, 143finds2 4510 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ω → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 → ∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐴)))
145 sp 1488 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐴))
146144, 145syl6 33 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 → (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐴)))
147146exp4a 363 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 → ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → (𝑦𝑥 𝑥𝐴))))
148147com24 87 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → (𝑦𝑥 → ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 𝑥𝐴))))
1492, 148syl5 32 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ω → (𝑥𝑦 → ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 𝑥𝐴))))
150149rexlimiv 2541 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ω 𝑥𝑦 → ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 𝑥𝐴)))
1511, 150sylbi 120 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin → ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 𝑥𝐴)))
152151com13 80 . . . 4 (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 → ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ Fin → 𝑥𝐴)))
153152impd 252 . . 3 (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 → (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐴))
154153alrimiv 1846 . 2 (∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴 → ∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐴))
155 ineq1 3265 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑦) = (𝑧𝑦))
156155eleq1d 2206 . . 3 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧𝑦) ∈ 𝐴))
157 ineq2 3266 . . . 4 (𝑦 = 𝑤 → (𝑧𝑦) = (𝑧𝑤))
158157eleq1d 2206 . . 3 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑧𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (𝑧𝑤) ∈ 𝐴))
159156, 158cbvral2v 2660 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑧𝐴𝑤𝐴 (𝑧𝑤) ∈ 𝐴)
160 df-3an 964 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ Fin))
161160imbi1i 237 . . 3 (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐴) ↔ (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐴))
162161albii 1446 . 2 (∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐴) ↔ ∀𝑥(((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐴))
163154, 159, 1623imtr4i 200 1 (∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦) ∈ 𝐴 → ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697  w3a 962  wal 1329   = wceq 1331  wex 1468  wcel 1480  wne 2306  wral 2414  wrex 2415  Vcvv 2681  cun 3064  cin 3065  wss 3066  c0 3358  {csn 3522   cint 3766   class class class wbr 3924  suc csuc 4282  ωcom 4499  ccnv 4533  dom cdm 4534  ran crn 4535  cima 4537  Fun wfun 5112   Fn wfn 5113  wf 5114  1-1wf1 5115  ontowfo 5116  1-1-ontowf1o 5117  cfv 5118  cen 6625  Fincfn 6627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630
This theorem is referenced by:  istopfin  12156
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