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Theorem lgsdir 15587

Description: The Legendre symbol is completely multiplicative in its left argument. Generalization of theorem 9.9(a) in [ApostolNT] p. 188 (which assumes that 𝐴 and 𝐵 are odd positive integers). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
lgsdir	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdir Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 8108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
2		0cnd 8085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℂ)
3		zsqcl 10777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
5		1z 9418	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
6		zdceq 9468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐵↑2) = 1)
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝐵↑2) = 1)
8	1, 2, 7	ifcldcd 3613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if((𝐵↑2) = 1, 1, 0) ∈ ℂ)
9	8	mulid2d 8111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = if((𝐵↑2) = 1, 1, 0))
10	9	ad3antrrr 492	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (1 · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = if((𝐵↑2) = 1, 1, 0))
11		iftrue 3580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑2) = 1 → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 1)
12	11	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 1)
13	12	oveq1d 5972	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = (1 · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)))
14		simpl1 1003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 9516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		simpl2 1004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 9516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	16, 19	sqmuld 10852	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → ((𝐴 · 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
21		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴↑2) = 1)
22	21	oveq1d 5972	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) = (1 · (𝐵↑2)))
23	18	sqcld 10838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
24	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	24	mulid2d 8111	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (1 · (𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
26	20, 22, 25	3eqtrd 2243	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → ((𝐴 · 𝐵)↑2) = (𝐵↑2))
27	26	eqeq1d 2215	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1 ↔ (𝐵↑2) = 1))
28	27	ifbid 3597	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0) = if((𝐵↑2) = 1, 1, 0))
29	10, 13, 28	3eqtr4d 2249	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
30	8	mul02d 8484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = 0)
31	30	ad3antrrr 492	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ ¬ (𝐴↑2) = 1) → (0 · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = 0)
32		iffalse 3583	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴↑2) = 1 → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 0)
33	32	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ ¬ (𝐴↑2) = 1) → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 0)
34	33	oveq1d 5972	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ ¬ (𝐴↑2) = 1) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = (0 · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)))
35		dvdsmul1 12199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
36	14, 17, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
37	14, 17	zmulcld 9521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
38		dvdssq 12427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝐴↑2) ∥ ((𝐴 · 𝐵)↑2)))
39	14, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝐴↑2) ∥ ((𝐴 · 𝐵)↑2)))
40	36, 39	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∥ ((𝐴 · 𝐵)↑2))
41	40	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑2) ∥ ((𝐴 · 𝐵)↑2))
42		breq2 4055	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1 → ((𝐴↑2) ∥ ((𝐴 · 𝐵)↑2) ↔ (𝐴↑2) ∥ 1))
43	41, 42	syl5ibcom 155	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1 → (𝐴↑2) ∥ 1))
44		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ 0)
45	44	neneqd 2398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ¬ 𝐴 = 0)
46		sqeq0 10769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
47	15, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
48	45, 47	mtbird 675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ¬ (𝐴↑2) = 0)
49		zsqcl2 10784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℕ₀)
50	14, 49	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℕ₀)
51		elnn0 9317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝐴↑2) ∈ ℕ ∨ (𝐴↑2) = 0))
52	50, 51	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴↑2) ∈ ℕ ∨ (𝐴↑2) = 0))
53	48, 52	ecased 1362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
55	54	nnzd 9514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
56		1nn 9067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
57		dvdsle 12230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) ∥ 1 → (𝐴↑2) ≤ 1))
58	55, 56, 57	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑2) ∥ 1 → (𝐴↑2) ≤ 1))
59	54	nnge1d 9099	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → 1 ≤ (𝐴↑2))
60	58, 59	jctird 317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑2) ∥ 1 → ((𝐴↑2) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝐴↑2))))
61	54	nnred 9069	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
62		1re 8091	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
63		letri3 8173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) = 1 ↔ ((𝐴↑2) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝐴↑2))))
64	61, 62, 63	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑2) = 1 ↔ ((𝐴↑2) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝐴↑2))))
65	60, 64	sylibrd 169	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑2) ∥ 1 → (𝐴↑2) = 1))
66	43, 65	syld 45	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1 → (𝐴↑2) = 1))
67	66	con3dimp 636	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ ¬ (𝐴↑2) = 1) → ¬ ((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1)
68	67	iffalsed 3585	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ ¬ (𝐴↑2) = 1) → if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0) = 0)
69	31, 34, 68	3eqtr4d 2249	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ ¬ (𝐴↑2) = 1) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
70		zdceq 9468	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴↑2) = 1)
71	55, 5, 70	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → DECID (𝐴↑2) = 1)
72		exmiddc 838	. . . . 5 ⊢ (DECID (𝐴↑2) = 1 → ((𝐴↑2) = 1 ∨ ¬ (𝐴↑2) = 1))
73	71, 72	syl 14	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑2) = 1 ∨ ¬ (𝐴↑2) = 1))
74	29, 69, 73	mpjaodan 800	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
75		oveq2 5965	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐴 /_L 𝑁) = (𝐴 /_L 0))
76		lgs0 15565	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /_L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
77	14, 76	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 /_L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
78	75, 77	sylan9eqr 2261	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /_L 𝑁) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
79		oveq2 5965	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝐵 /_L 𝑁) = (𝐵 /_L 0))
80		lgs0 15565	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 /_L 0) = if((𝐵↑2) = 1, 1, 0))
81	17, 80	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐵 /_L 0) = if((𝐵↑2) = 1, 1, 0))
82	79, 81	sylan9eqr 2261	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐵 /_L 𝑁) = if((𝐵↑2) = 1, 1, 0))
83	78, 82	oveq12d 5975	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)) = (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)))
84		oveq2 5965	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = ((𝐴 · 𝐵) /_L 0))
85		lgs0 15565	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 · 𝐵) /_L 0) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
86	37, 85	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 0) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
87	84, 86	sylan9eqr 2261	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
88	74, 83, 87	3eqtr4rd 2250	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)))
89		lgsdilem 15579	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))
90	89	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))
91		simpl3 1005	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
92		nnabscl 11486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
93	91, 92	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
94		nnuz 9704	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
95	93, 94	eleqtrdi 2299	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ (ℤ_≥‘1))
96		simpll1 1039	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
97		simpll3 1041	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
98		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
99		eqid 2206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
100	99	lgsfcl3 15573	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
101	96, 97, 98, 100	syl3anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
102		elnnuz 9705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1))
103	102	biimpri 133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑘 ∈ ℕ)
104		ffvelcdm 5726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
105	101, 103, 104	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
106	105	zcnd 9516	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℂ)
107		simpll2 1040	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
108		eqid 2206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
109	108	lgsfcl3 15573	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
110	107, 97, 98, 109	syl3anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
111		ffvelcdm 5726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
112	110, 103, 111	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
113	112	zcnd 9516	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℂ)
114	96	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
115	107	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
116		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
117		lgsdirprm 15586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘) = ((𝐴 /_L 𝑘) · (𝐵 /_L 𝑘)))
118	114, 115, 116, 117	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘) = ((𝐴 /_L 𝑘) · (𝐵 /_L 𝑘)))
119	118	oveq1d 5972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) = (((𝐴 /_L 𝑘) · (𝐵 /_L 𝑘))↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
120		prmz 12508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℤ)
121		lgscl 15566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 /_L 𝑘) ∈ ℤ)
122	96, 120, 121	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑘) ∈ ℤ)
123	122	zcnd 9516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑘) ∈ ℂ)
124		lgscl 15566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐵 /_L 𝑘) ∈ ℤ)
125	107, 120, 124	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐵 /_L 𝑘) ∈ ℤ)
126	125	zcnd 9516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐵 /_L 𝑘) ∈ ℂ)
127	97	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
128	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
129		pczcl 12696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ₀)
130	116, 127, 128, 129	syl12anc 1248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ₀)
131	123, 126, 130	mulexpd 10855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (((𝐴 /_L 𝑘) · (𝐵 /_L 𝑘))↑(𝑘 pCnt 𝑁)) = (((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) · ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
132	119, 131	eqtrd 2239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) = (((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) · ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
133		iftrue 3580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
134	133	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
135		iftrue 3580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
136		iftrue 3580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
137	135, 136	oveq12d 5975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = (((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) · ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
138	137	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = (((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) · ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
139	132, 134, 138	3eqtr4d 2249	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
140	139	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
141		1t1e1 9209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 1) = 1
142	141	eqcomi 2210	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1 · 1)
143		iffalse 3583	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = 1)
144		iffalse 3583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = 1)
145		iffalse 3583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = 1)
146	144, 145	oveq12d 5975	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ℙ → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = (1 · 1))
147	142, 143, 146	3eqtr4a 2265	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
148	147	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
149	103	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
150		prmdc 12527	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → DECID 𝑘 ∈ ℙ)
151	149, 150	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → DECID 𝑘 ∈ ℙ)
152		exmiddc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ ℙ → (𝑘 ∈ ℙ ∨ ¬ 𝑘 ∈ ℙ))
153	151, 152	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝑘 ∈ ℙ ∨ ¬ 𝑘 ∈ ℙ))
154	140, 148, 153	mpjaodan 800	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
155		eqid 2206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
156		eleq1w 2267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
157		oveq2 5965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛) = ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘))
158		oveq1 5964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑘 pCnt 𝑁))
159	157, 158	oveq12d 5975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
160	156, 159	ifbieq1d 3598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
161	37	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
162	120	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℤ)
163		lgscl 15566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘) ∈ ℤ)
164	161, 162, 163	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘) ∈ ℤ)
165	130	adantlr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ₀)
166		zexpcl 10721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ₀) → (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
167	164, 165, 166	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
168		1zzd 9419	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
169	167, 168, 151	ifcldadc 3605	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) ∈ ℤ)
170	155, 160, 149, 169	fvmptd3 5686	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
171		oveq2 5965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 /_L 𝑛) = (𝐴 /_L 𝑘))
172	171, 158	oveq12d 5975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
173	156, 172	ifbieq1d 3598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
174	122	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑘) ∈ ℤ)
175		zexpcl 10721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 /_L 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ₀) → ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
176	174, 165, 175	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
177	176, 168, 151	ifcldadc 3605	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) ∈ ℤ)
178	99, 173, 149, 177	fvmptd3 5686	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
179		oveq2 5965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐵 /_L 𝑛) = (𝐵 /_L 𝑘))
180	179, 158	oveq12d 5975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
181	156, 180	ifbieq1d 3598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
182	125	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐵 /_L 𝑘) ∈ ℤ)
183		zexpcl 10721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 /_L 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ₀) → ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
184	182, 165, 183	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
185	184, 168, 151	ifcldadc 3605	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) ∈ ℤ)
186	108, 181, 149, 185	fvmptd3 5686	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
187	178, 186	oveq12d 5975	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘)) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
188	154, 170, 187	3eqtr4d 2249	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘)))
189	95, 106, 113, 188	prod3fmul 11927	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
190	90, 189	oveq12d 5975	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) = ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)) · ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
191	37	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
192	155	lgsval4 15572	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
193	191, 97, 98, 192	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
194	99	lgsval4 15572	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /_L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
195	96, 97, 98, 194	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /_L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
196	108	lgsval4 15572	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐵 /_L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
197	107, 97, 98, 196	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐵 /_L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
198	195, 197	oveq12d 5975	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)) = ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
199		neg1cn 9161	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
200	199	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → -1 ∈ ℂ)
201		1cnd 8108	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
202		0z 9403	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
203		zdclt 9470	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 0)
204	97, 202, 203	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → DECID 𝑁 < 0)
205		zdclt 9470	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 0)
206	96, 202, 205	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → DECID 𝐴 < 0)
207		dcan2 937	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑁 < 0 → (DECID 𝐴 < 0 → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
208	204, 206, 207	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
209	200, 201, 208	ifcldcd 3613	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℂ)
210		1zzd 9419	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
211	101	ffvelcdmda 5728	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
212		zmulcl 9446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑣) ∈ ℤ)
213	212	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑣) ∈ ℤ)
214	94, 210, 211, 213	seqf 10631	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))):ℕ⟶ℤ)
215	214, 93	ffvelcdmd 5729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℤ)
216	215	zcnd 9516	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℂ)
217		neg1z 9424	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
218	217	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → -1 ∈ ℤ)
219		zdclt 9470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐵 < 0)
220	107, 202, 219	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → DECID 𝐵 < 0)
221		dcan2 937	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑁 < 0 → (DECID 𝐵 < 0 → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0)))
222	204, 220, 221	sylc 62	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0))
223	218, 210, 222	ifcldcd 3613	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) ∈ ℤ)
224	223	zcnd 9516	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) ∈ ℂ)
225	110	ffvelcdmda 5728	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
226	94, 210, 225, 213	seqf 10631	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))):ℕ⟶ℤ)
227	226, 93	ffvelcdmd 5729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℤ)
228	227	zcnd 9516	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℂ)
229	209, 216, 224, 228	mul4d 8247	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))) = ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)) · ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
230	198, 229	eqtrd 2239	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)) = ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)) · ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
231	190, 193, 230	3eqtr4d 2249	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)))
232		zdceq 9468	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
233	91, 202, 232	sylancl 413	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → DECID 𝑁 = 0)
234		dcne 2388	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
235	233, 234	sylib 122	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
236	88, 231, 235	mpjaodan 800	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /_L 𝑁) = ((𝐴 /_L 𝑁) · (𝐵 /_L 𝑁)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 710 DECID wdc 836 ∧ w3a 981 = wceq 1373 ∈ wcel 2177 ≠ wne 2377 ifcif 3575 class class class wbr 4051 ↦ cmpt 4113 ⟶wf 5276 ‘cfv 5280 (class class class)co 5957 ℂcc 7943 ℝcr 7944 0cc0 7945 1c1 7946 · cmul 7950 < clt 8127 ≤ cle 8128 -cneg 8264 ℕcn 9056 2c2 9107 ℕ₀cn0 9315 ℤcz 9392 ℤ_≥cuz 9668 seqcseq 10614 ↑cexp 10705 abscabs 11383 ∥ cdvds 12173 ℙcprime 12504 pCnt cpc 12682 /_L clgs 15549

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2179 ax-14 2180 ax-ext 2188 ax-coll 4167 ax-sep 4170 ax-nul 4178 ax-pow 4226 ax-pr 4261 ax-un 4488 ax-setind 4593 ax-iinf 4644 ax-cnex 8036 ax-resscn 8037 ax-1cn 8038 ax-1re 8039 ax-icn 8040 ax-addcl 8041 ax-addrcl 8042 ax-mulcl 8043 ax-mulrcl 8044 ax-addcom 8045 ax-mulcom 8046 ax-addass 8047 ax-mulass 8048 ax-distr 8049 ax-i2m1 8050 ax-0lt1 8051 ax-1rid 8052 ax-0id 8053 ax-rnegex 8054 ax-precex 8055 ax-cnre 8056 ax-pre-ltirr 8057 ax-pre-ltwlin 8058 ax-pre-lttrn 8059 ax-pre-apti 8060 ax-pre-ltadd 8061 ax-pre-mulgt0 8062 ax-pre-mulext 8063 ax-arch 8064 ax-caucvg 8065

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-xor 1396 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2193 df-cleq 2199 df-clel 2202 df-nfc 2338 df-ne 2378 df-nel 2473 df-ral 2490 df-rex 2491 df-reu 2492 df-rmo 2493 df-rab 2494 df-v 2775 df-sbc 3003 df-csb 3098 df-dif 3172 df-un 3174 df-in 3176 df-ss 3183 df-nul 3465 df-if 3576 df-pw 3623 df-sn 3644 df-pr 3645 df-op 3647 df-uni 3857 df-int 3892 df-iun 3935 df-br 4052 df-opab 4114 df-mpt 4115 df-tr 4151 df-id 4348 df-po 4351 df-iso 4352 df-iord 4421 df-on 4423 df-ilim 4424 df-suc 4426 df-iom 4647 df-xp 4689 df-rel 4690 df-cnv 4691 df-co 4692 df-dm 4693 df-rn 4694 df-res 4695 df-ima 4696 df-iota 5241 df-fun 5282 df-fn 5283 df-f 5284 df-f1 5285 df-fo 5286 df-f1o 5287 df-fv 5288 df-isom 5289 df-riota 5912 df-ov 5960 df-oprab 5961 df-mpo 5962 df-1st 6239 df-2nd 6240 df-recs 6404 df-irdg 6469 df-frec 6490 df-1o 6515 df-2o 6516 df-oadd 6519 df-er 6633 df-en 6841 df-dom 6842 df-fin 6843 df-sup 7101 df-inf 7102 df-pnf 8129 df-mnf 8130 df-xr 8131 df-ltxr 8132 df-le 8133 df-sub 8265 df-neg 8266 df-reap 8668 df-ap 8675 df-div 8766 df-inn 9057 df-2 9115 df-3 9116 df-4 9117 df-5 9118 df-6 9119 df-7 9120 df-8 9121 df-9 9122 df-n0 9316 df-z 9393 df-uz 9669 df-q 9761 df-rp 9796 df-fz 10151 df-fzo 10285 df-fl 10435 df-mod 10490 df-seqfrec 10615 df-exp 10706 df-ihash 10943 df-cj 11228 df-re 11229 df-im 11230 df-rsqrt 11384 df-abs 11385 df-clim 11665 df-proddc 11937 df-dvds 12174 df-gcd 12350 df-prm 12505 df-phi 12608 df-pc 12683 df-lgs 15550

This theorem is referenced by: lgssq 15592 lgsmulsqcoprm 15598 lgsdirnn0 15599 lgsquad2lem1 15633

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