ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgsdir GIF version

Theorem lgsdir 14914
Description: The Legendre symbol is completely multiplicative in its left argument. Generalization of theorem 9.9(a) in [ApostolNT] p. 188 (which assumes that 𝐴 and 𝐵 are odd positive integers). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdir
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1cnd 8004 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
2 0cnd 7981 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℂ)
3 zsqcl 10625 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
433ad2ant2 1021 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
5 1z 9310 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
6 zdceq 9359 . . . . . . . . 9 (((𝐵↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐵↑2) = 1)
74, 5, 6sylancl 413 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝐵↑2) = 1)
81, 2, 7ifcldcd 3585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if((𝐵↑2) = 1, 1, 0) ∈ ℂ)
98mulid2d 8007 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = if((𝐵↑2) = 1, 1, 0))
109ad3antrrr 492 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (1 · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = if((𝐵↑2) = 1, 1, 0))
11 iftrue 3554 . . . . . . 7 ((𝐴↑2) = 1 → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 1)
1211adantl 277 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 1)
1312oveq1d 5912 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = (1 · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)))
14 simpl1 1002 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
1514zcnd 9407 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1615ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 simpl2 1003 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
1817zcnd 9407 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1918ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
2016, 19sqmuld 10700 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → ((𝐴 · 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)))
21 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐴↑2) = 1)
2221oveq1d 5912 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → ((𝐴↑2) · (𝐵↑2)) = (1 · (𝐵↑2)))
2318sqcld 10686 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
2423ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
2524mulid2d 8007 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (1 · (𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
2620, 22, 253eqtrd 2226 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → ((𝐴 · 𝐵)↑2) = (𝐵↑2))
2726eqeq1d 2198 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1 ↔ (𝐵↑2) = 1))
2827ifbid 3570 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0) = if((𝐵↑2) = 1, 1, 0))
2910, 13, 283eqtr4d 2232 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ (𝐴↑2) = 1) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
308mul02d 8380 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = 0)
3130ad3antrrr 492 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ ¬ (𝐴↑2) = 1) → (0 · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = 0)
32 iffalse 3557 . . . . . . 7 (¬ (𝐴↑2) = 1 → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 0)
3332adantl 277 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ ¬ (𝐴↑2) = 1) → if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) = 0)
3433oveq1d 5912 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ ¬ (𝐴↑2) = 1) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = (0 · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)))
35 dvdsmul1 11855 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
3614, 17, 35syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
3714, 17zmulcld 9412 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
38 dvdssq 12067 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝐴↑2) ∥ ((𝐴 · 𝐵)↑2)))
3914, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵) ↔ (𝐴↑2) ∥ ((𝐴 · 𝐵)↑2)))
4036, 39mpbid 147 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∥ ((𝐴 · 𝐵)↑2))
4140adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑2) ∥ ((𝐴 · 𝐵)↑2))
42 breq2 4022 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1 → ((𝐴↑2) ∥ ((𝐴 · 𝐵)↑2) ↔ (𝐴↑2) ∥ 1))
4341, 42syl5ibcom 155 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1 → (𝐴↑2) ∥ 1))
44 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ 0)
4544neneqd 2381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ¬ 𝐴 = 0)
46 sqeq0 10617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
4715, 46syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴↑2) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
4845, 47mtbird 674 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ¬ (𝐴↑2) = 0)
49 zsqcl2 10632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
5014, 49syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
51 elnn0 9209 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴↑2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐴↑2) ∈ ℕ ∨ (𝐴↑2) = 0))
5250, 51sylib 122 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴↑2) ∈ ℕ ∨ (𝐴↑2) = 0))
5348, 52ecased 1360 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
5453adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
5554nnzd 9405 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
56 1nn 8961 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
57 dvdsle 11885 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) ∥ 1 → (𝐴↑2) ≤ 1))
5855, 56, 57sylancl 413 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑2) ∥ 1 → (𝐴↑2) ≤ 1))
5954nnge1d 8993 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → 1 ≤ (𝐴↑2))
6058, 59jctird 317 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑2) ∥ 1 → ((𝐴↑2) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝐴↑2))))
6154nnred 8963 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
62 1re 7987 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
63 letri3 8069 . . . . . . . . . 10 (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) = 1 ↔ ((𝐴↑2) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝐴↑2))))
6461, 62, 63sylancl 413 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑2) = 1 ↔ ((𝐴↑2) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (𝐴↑2))))
6560, 64sylibrd 169 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑2) ∥ 1 → (𝐴↑2) = 1))
6643, 65syld 45 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1 → (𝐴↑2) = 1))
6766con3dimp 636 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ ¬ (𝐴↑2) = 1) → ¬ ((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1)
6867iffalsed 3559 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ ¬ (𝐴↑2) = 1) → if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0) = 0)
6931, 34, 683eqtr4d 2232 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) ∧ ¬ (𝐴↑2) = 1) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
70 zdceq 9359 . . . . . 6 (((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID (𝐴↑2) = 1)
7155, 5, 70sylancl 413 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → DECID (𝐴↑2) = 1)
72 exmiddc 837 . . . . 5 (DECID (𝐴↑2) = 1 → ((𝐴↑2) = 1 ∨ ¬ (𝐴↑2) = 1))
7371, 72syl 14 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴↑2) = 1 ∨ ¬ (𝐴↑2) = 1))
7429, 69, 73mpjaodan 799 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
75 oveq2 5905 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝐴 /L 𝑁) = (𝐴 /L 0))
76 lgs0 14892 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
7714, 76syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 /L 0) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
7875, 77sylan9eqr 2244 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L 𝑁) = if((𝐴↑2) = 1, 1, 0))
79 oveq2 5905 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝐵 /L 𝑁) = (𝐵 /L 0))
80 lgs0 14892 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 /L 0) = if((𝐵↑2) = 1, 1, 0))
8117, 80syl 14 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐵 /L 0) = if((𝐵↑2) = 1, 1, 0))
8279, 81sylan9eqr 2244 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐵 /L 𝑁) = if((𝐵↑2) = 1, 1, 0))
8378, 82oveq12d 5915 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = (if((𝐴↑2) = 1, 1, 0) · if((𝐵↑2) = 1, 1, 0)))
84 oveq2 5905 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 · 𝐵) /L 0))
85 lgs0 14892 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 · 𝐵) /L 0) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
8637, 85syl 14 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 0) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
8784, 86sylan9eqr 2244 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = if(((𝐴 · 𝐵)↑2) = 1, 1, 0))
8874, 83, 873eqtr4rd 2233 . 2 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
89 lgsdilem 14906 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))
9089adantr 276 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))
91 simpl3 1004 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
92 nnabscl 11144 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
9391, 92sylan 283 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
94 nnuz 9595 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
9593, 94eleqtrdi 2282 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ (ℤ‘1))
96 simpll1 1038 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
97 simpll3 1040 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
98 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
99 eqid 2189 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
10099lgsfcl3 14900 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
10196, 97, 98, 100syl3anc 1249 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
102 elnnuz 9596 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
103102biimpri 133 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → 𝑘 ∈ ℕ)
104 ffvelcdm 5670 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
105101, 103, 104syl2an 289 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
106105zcnd 9407 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℂ)
107 simpll2 1039 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
108 eqid 2189 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
109108lgsfcl3 14900 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
110107, 97, 98, 109syl3anc 1249 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
111 ffvelcdm 5670 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
112110, 103, 111syl2an 289 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
113112zcnd 9407 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℂ)
11496adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
115107adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ ℤ)
116 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
117 lgsdirprm 14913 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘) = ((𝐴 /L 𝑘) · (𝐵 /L 𝑘)))
118114, 115, 116, 117syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘) = ((𝐴 /L 𝑘) · (𝐵 /L 𝑘)))
119118oveq1d 5912 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) = (((𝐴 /L 𝑘) · (𝐵 /L 𝑘))↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
120 prmz 12146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℤ)
121 lgscl 14893 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
12296, 120, 121syl2an 289 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
123122zcnd 9407 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℂ)
124 lgscl 14893 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑘) ∈ ℤ)
125107, 120, 124syl2an 289 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐵 /L 𝑘) ∈ ℤ)
126125zcnd 9407 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐵 /L 𝑘) ∈ ℂ)
12797adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12898adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
129 pczcl 12333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
130116, 127, 128, 129syl12anc 1247 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
131123, 126, 130mulexpd 10703 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (((𝐴 /L 𝑘) · (𝐵 /L 𝑘))↑(𝑘 pCnt 𝑁)) = (((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) · ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
132119, 131eqtrd 2222 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) = (((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) · ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
133 iftrue 3554 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
134133adantl 277 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
135 iftrue 3554 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
136 iftrue 3554 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
137135, 136oveq12d 5915 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℙ → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = (((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) · ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
138137adantl 277 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = (((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) · ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
139132, 134, 1383eqtr4d 2232 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
140139adantlr 477 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
141 1t1e1 9102 . . . . . . . . . 10 (1 · 1) = 1
142141eqcomi 2193 . . . . . . . . 9 1 = (1 · 1)
143 iffalse 3557 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = 1)
144 iffalse 3557 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = 1)
145 iffalse 3557 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = 1)
146144, 145oveq12d 5915 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ ℙ → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = (1 · 1))
147142, 143, 1463eqtr4a 2248 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
148147adantl 277 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
149103adantl 277 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
150 prmdc 12165 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → DECID 𝑘 ∈ ℙ)
151149, 150syl 14 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → DECID 𝑘 ∈ ℙ)
152 exmiddc 837 . . . . . . . 8 (DECID 𝑘 ∈ ℙ → (𝑘 ∈ ℙ ∨ ¬ 𝑘 ∈ ℙ))
153151, 152syl 14 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (𝑘 ∈ ℙ ∨ ¬ 𝑘 ∈ ℙ))
154140, 148, 153mpjaodan 799 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
155 eqid 2189 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
156 eleq1w 2250 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
157 oveq2 5905 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑛) = ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘))
158 oveq1 5904 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑘 pCnt 𝑁))
159157, 158oveq12d 5915 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
160156, 159ifbieq1d 3571 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
16137ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
162120adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℤ)
163 lgscl 14893 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘) ∈ ℤ)
164161, 162, 163syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘) ∈ ℤ)
165130adantlr 477 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
166 zexpcl 10569 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
167164, 165, 166syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
168 1zzd 9311 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
169167, 168, 151ifcldadc 3578 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) ∈ ℤ)
170155, 160, 149, 169fvmptd3 5630 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
171 oveq2 5905 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 /L 𝑛) = (𝐴 /L 𝑘))
172171, 158oveq12d 5915 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
173156, 172ifbieq1d 3571 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
174122adantlr 477 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
175 zexpcl 10569 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
176174, 165, 175syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
177176, 168, 151ifcldadc 3578 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) ∈ ℤ)
17899, 173, 149, 177fvmptd3 5630 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
179 oveq2 5905 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝐵 /L 𝑛) = (𝐵 /L 𝑘))
180179, 158oveq12d 5915 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
181156, 180ifbieq1d 3571 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
182125adantlr 477 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐵 /L 𝑘) ∈ ℤ)
183 zexpcl 10569 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 /L 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
184182, 165, 183syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
185184, 168, 151ifcldadc 3578 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) ∈ ℤ)
186108, 181, 149, 185fvmptd3 5630 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
187178, 186oveq12d 5915 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘)) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
188154, 170, 1873eqtr4d 2232 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘)))
18995, 106, 113, 188prod3fmul 11584 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
19090, 189oveq12d 5915 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) = ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)) · ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
19137adantr 276 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
192155lgsval4 14899 . . . 4 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
193191, 97, 98, 192syl3anc 1249 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
19499lgsval4 14899 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
19596, 97, 98, 194syl3anc 1249 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
196108lgsval4 14899 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐵 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
197107, 97, 98, 196syl3anc 1249 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐵 /L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
198195, 197oveq12d 5915 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
199 neg1cn 9055 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
200199a1i 9 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → -1 ∈ ℂ)
201 1cnd 8004 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
202 0z 9295 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
203 zdclt 9361 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 0)
20497, 202, 203sylancl 413 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → DECID 𝑁 < 0)
205 zdclt 9361 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 0)
20696, 202, 205sylancl 413 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → DECID 𝐴 < 0)
207 dcan2 936 . . . . . . 7 (DECID 𝑁 < 0 → (DECID 𝐴 < 0 → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
208204, 206, 207sylc 62 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
209200, 201, 208ifcldcd 3585 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℂ)
210 1zzd 9311 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 1 ∈ ℤ)
211101ffvelcdmda 5672 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
212 zmulcl 9337 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑣) ∈ ℤ)
213212adantl 277 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑣) ∈ ℤ)
21494, 210, 211, 213seqf 10494 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))):ℕ⟶ℤ)
215214, 93ffvelcdmd 5673 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℤ)
216215zcnd 9407 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℂ)
217 neg1z 9316 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℤ
218217a1i 9 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → -1 ∈ ℤ)
219 zdclt 9361 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐵 < 0)
220107, 202, 219sylancl 413 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → DECID 𝐵 < 0)
221 dcan2 936 . . . . . . . 8 (DECID 𝑁 < 0 → (DECID 𝐵 < 0 → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0)))
222204, 220, 221sylc 62 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0))
223218, 210, 222ifcldcd 3585 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) ∈ ℤ)
224223zcnd 9407 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) ∈ ℂ)
225110ffvelcdmda 5672 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
22694, 210, 225, 213seqf 10494 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))):ℕ⟶ℤ)
227226, 93ffvelcdmd 5673 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℤ)
228227zcnd 9407 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℂ)
229209, 216, 224, 228mul4d 8143 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))) = ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)) · ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
230198, 229eqtrd 2222 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = ((if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)) · ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐵 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
231190, 193, 2303eqtr4d 2232 . 2 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
232 zdceq 9359 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
23391, 202, 232sylancl 413 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → DECID 𝑁 = 0)
234 dcne 2371 . . 3 (DECID 𝑁 = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
235233, 234sylib 122 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
23688, 231, 235mpjaodan 799 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑁) = ((𝐴 /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  DECID wdc 835  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360  ifcif 3549   class class class wbr 4018  cmpt 4079  wf 5231  cfv 5235  (class class class)co 5897  cc 7840  cr 7841  0cc0 7842  1c1 7843   · cmul 7847   < clt 8023  cle 8024  -cneg 8160  cn 8950  2c2 9001  0cn0 9207  cz 9284  cuz 9559  seqcseq 10478  cexp 10553  abscabs 11041  cdvds 11829  cprime 12142   pCnt cpc 12319   /L clgs 14876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-frec 6417  df-1o 6442  df-2o 6443  df-oadd 6446  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-sup 7014  df-inf 7015  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-fz 10041  df-fzo 10175  df-fl 10303  df-mod 10356  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-ihash 10791  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322  df-proddc 11594  df-dvds 11830  df-gcd 11979  df-prm 12143  df-phi 12246  df-pc 12320  df-lgs 14877
This theorem is referenced by:  lgssq  14919  lgsmulsqcoprm  14925  lgsdirnn0  14926
  Copyright terms: Public domain W3C validator