Theorem absmul 10681

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjmul 10498	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵)))
2	1	oveq2d 5722	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐵) · ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵))))
3		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3	cjcld 10553	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
6	4	cjcld 10553	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
7	3, 4, 5, 6	mul4d 7788	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵))) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵))))
8	2, 7	eqtrd 2132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵))))
9	8	fveq2d 5357	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (√‘((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵)))) = (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵)))))
10		cjmulrcl 10500	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
11		cjmulge0 10502	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴)))
12	10, 11	jca 302	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))))
13		cjmulrcl 10500	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · (∗‘𝐵)) ∈ ℝ)
14		cjmulge0 10502	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (𝐵 · (∗‘𝐵)))
15	13, 14	jca 302	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵 · (∗‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 · (∗‘𝐵))))
16		sqrtmul 10647	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))) ∧ ((𝐵 · (∗‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵 · (∗‘𝐵)))) → (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵)))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵)))))
17	12, 15, 16	syl2an 285	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 · (∗‘𝐵)))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵)))))
18	9, 17	eqtrd 2132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (√‘((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵)))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵)))))
19		mulcl 7619	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
20		absval 10613	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = (√‘((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵)))))
21	19, 20	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = (√‘((𝐴 · 𝐵) · (∗‘(𝐴 · 𝐵)))))
22		absval 10613	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
23		absval 10613	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) = (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵))))
24	22, 23	oveqan12d 5725	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 · (∗‘𝐵)))))
25	18, 21, 24	3eqtr4d 2142	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1299   ∈ wcel 1448   class class class wbr 3875  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  ℂcc 7498  ℝcr 7499  0cc0 7500   · cmul 7505   ≤ cle 7673  ∗ccj 10452  √csqrt 10608  abscabs 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611

This theorem is referenced by:  absdivap  10682  absexp  10691  absimle  10696  abstri  10716  absmuli  10763  absmuld  10806  ef01bndlem  11261  absmulgcd  11498  gcdmultiplez  11502