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Theorem lgsdi 15710

Description: The Legendre symbol is completely multiplicative in its right argument. Generalization of theorem 9.9(b) in [ApostolNT] p. 188 (which assumes that 𝑀 and 𝑁 are odd positive integers). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
lgsdi	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /_L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /_L 𝑀) · (𝐴 /_L 𝑁)))

Proof of Theorem lgsdi Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anrot 1007	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
2		lgsdilem 15700	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → if((𝐴 < 0 ∧ (𝑀 · 𝑁) < 0), -1, 1) = (if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1) · if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1)))
3	1, 2	sylanb 284	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → if((𝐴 < 0 ∧ (𝑀 · 𝑁) < 0), -1, 1) = (if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1) · if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1)))
4		ancom 266	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ (𝑀 · 𝑁) < 0))
5		ifbi 3623	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 · 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ (𝑀 · 𝑁) < 0)) → if(((𝑀 · 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ (𝑀 · 𝑁) < 0), -1, 1))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ if(((𝑀 · 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ (𝑀 · 𝑁) < 0), -1, 1)
7		ancom 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0))
8		ifbi 3623	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0)) → if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1)
10		ancom 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0))
11		ifbi 3623	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0) ↔ (𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1)
13	9, 12	oveq12i 6012	. . . 4 ⊢ (if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) = (if((𝐴 < 0 ∧ 𝑀 < 0), -1, 1) · if((𝐴 < 0 ∧ 𝑁 < 0), -1, 1))
14	3, 6, 13	3eqtr4g 2287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → if(((𝑀 · 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = (if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)))
15		simpl2 1025	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
16		simpl3 1026	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
17	15, 16	zmulcld 9571	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
18	15	zcnd 9566	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
19	16	zcnd 9566	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
20		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ≠ 0)
21		0z 9453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
22		zapne 9517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
23	15, 21, 22	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 # 0 ↔ 𝑀 ≠ 0))
24	20, 23	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 # 0)
25		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ≠ 0)
26		zapne 9517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
27	16, 21, 26	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
28	25, 27	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 # 0)
29	18, 19, 24, 28	mulap0d 8801	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) # 0)
30		zapne 9517	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝑀 · 𝑁) # 0 ↔ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0))
31	17, 21, 30	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑁) # 0 ↔ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0))
32	29, 31	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
33		nnabscl 11606	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
34	17, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
35		nnuz 9754	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
36	34, 35	eleqtrdi 2322	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ (ℤ_≥‘1))
37		simpl1 1024	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
38		eqid 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
39	38	lgsfcl3 15694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)):ℕ⟶ℤ)
40	37, 15, 20, 39	syl3anc 1271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)):ℕ⟶ℤ)
41		elnnuz 9755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1))
42	41	biimpri 133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑘 ∈ ℕ)
43		ffvelcdm 5767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)):ℕ⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
44	40, 42, 43	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
45	44	zcnd 9566	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))‘𝑘) ∈ ℂ)
46		eqid 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
47	46	lgsfcl3 15694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
48	37, 16, 25, 47	syl3anc 1271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ)
49		ffvelcdm 5767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)):ℕ⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
50	48, 42, 49	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
51	50	zcnd 9566	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℂ)
52		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
53	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
54	20	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ≠ 0)
55	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
56	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
57		pcmul 12819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑘 pCnt 𝑀) + (𝑘 pCnt 𝑁)))
58	52, 53, 54, 55, 56, 57	syl122anc 1280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑘 pCnt 𝑀) + (𝑘 pCnt 𝑁)))
59	58	oveq2d 6016	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))) = ((𝐴 /_L 𝑘)↑((𝑘 pCnt 𝑀) + (𝑘 pCnt 𝑁))))
60	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
61		prmz 12628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℤ)
62	61	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℤ)
63		lgscl 15687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 /_L 𝑘) ∈ ℤ)
64	60, 62, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑘) ∈ ℤ)
65	64	zcnd 9566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /_L 𝑘) ∈ ℂ)
66		pczcl 12816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ₀)
67	52, 55, 56, 66	syl12anc 1269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ₀)
68		pczcl 12816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝑘 pCnt 𝑀) ∈ ℕ₀)
69	52, 53, 54, 68	syl12anc 1269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑀) ∈ ℕ₀)
70	65, 67, 69	expaddd 10892	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /_L 𝑘)↑((𝑘 pCnt 𝑀) + (𝑘 pCnt 𝑁))) = (((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) · ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
71	59, 70	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))) = (((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) · ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
72		iftrue 3607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1) = ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))))
73	72	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1) = ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))))
74		iftrue 3607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) = ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)))
75		iftrue 3607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
76	74, 75	oveq12d 6018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℙ → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = (((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) · ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
77	76	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = (((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) · ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁))))
78	71, 73, 77	3eqtr4rd 2273	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))
79		1t1e1 9259	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
80		iffalse 3610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) = 1)
81		iffalse 3610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) = 1)
82	80, 81	oveq12d 6018	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ℙ → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = (1 · 1))
83		iffalse 3610	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ℙ → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1) = 1)
84	79, 82, 83	3eqtr4a 2288	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ ℙ → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))
85	84	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))
86		prmdc 12647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → DECID 𝑘 ∈ ℙ)
87		exmiddc 841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ ℙ → (𝑘 ∈ ℙ ∨ ¬ 𝑘 ∈ ℙ))
88	86, 87	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℙ ∨ ¬ 𝑘 ∈ ℙ))
89	42, 88	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1) → (𝑘 ∈ ℙ ∨ ¬ 𝑘 ∈ ℙ))
90	89	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (𝑘 ∈ ℙ ∨ ¬ 𝑘 ∈ ℙ))
91	78, 85, 90	mpjaodan 803	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))
92		eleq1w 2290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
93		oveq2 6008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 /_L 𝑛) = (𝐴 /_L 𝑘))
94		oveq1 6007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt 𝑀) = (𝑘 pCnt 𝑀))
95	93, 94	oveq12d 6018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)))
96	92, 95	ifbieq1d 3625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
97	42	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
98		zexpcl 10771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 /_L 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 pCnt 𝑀) ∈ ℕ₀) → ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) ∈ ℤ)
99	64, 69, 98	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) ∈ ℤ)
100		1zzd 9469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
101	97, 86	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → DECID 𝑘 ∈ ℙ)
102	99, 100, 101	ifcldadc 3632	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) ∈ ℤ)
103	38, 96, 97, 102	fvmptd3 5727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
104		oveq1 6007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt 𝑁) = (𝑘 pCnt 𝑁))
105	93, 104	oveq12d 6018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)) = ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)))
106	92, 105	ifbieq1d 3625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
107		zexpcl 10771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 /_L 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 pCnt 𝑁) ∈ ℕ₀) → ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
108	64, 67, 107	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)) ∈ ℤ)
109	108, 100, 101	ifcldadc 3632	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1) ∈ ℤ)
110	46, 106, 97, 109	fvmptd3 5727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1))
111	103, 110	oveq12d 6018	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘)) = (if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) · if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑁)), 1)))
112		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))
113		oveq1 6007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁)) = (𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁)))
114	93, 113	oveq12d 6018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))) = ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))))
115	92, 114	ifbieq1d 3625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))
116	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
117	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
118		pczcl 12816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℙ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)) → (𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ₀)
119	52, 116, 117, 118	syl12anc 1269	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ₀)
120		zexpcl 10771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 /_L 𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ₀) → ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))) ∈ ℤ)
121	64, 119, 120	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))) ∈ ℤ)
122	121, 100, 101	ifcldadc 3632	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1) ∈ ℤ)
123	112, 115, 97, 122	fvmptd3 5727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑘)↑(𝑘 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))
124	91, 111, 123	3eqtr4rd 2273	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘)))
125	36, 45, 51, 124	prod3fmul 12047	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁)))))
126	37, 15, 16, 20, 25, 38	lgsdilem2 15709	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))))
127	37, 16, 15, 25, 20, 46	lgsdilem2 15709	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘(𝑁 · 𝑀))))
128	18, 19	mulcomd 8164	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
129	128	fveq2d 5630	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (abs‘(𝑁 · 𝑀)))
130	129	fveq2d 5630	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘(𝑁 · 𝑀))))
131	127, 130	eqtr4d 2265	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))))
132	126, 131	oveq12d 6018	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁)))))
133	125, 132	eqtr4d 2265	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))) = ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
134	14, 133	oveq12d 6018	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (if(((𝑀 · 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) = ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) · ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
135	112	lgsval4 15693	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0) → (𝐴 /_L (𝑀 · 𝑁)) = (if(((𝑀 · 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁)))))
136	37, 17, 32, 135	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /_L (𝑀 · 𝑁)) = (if(((𝑀 · 𝑁) < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt (𝑀 · 𝑁))), 1)))‘(abs‘(𝑀 · 𝑁)))))
137	38	lgsval4 15693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐴 /_L 𝑀) = (if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀))))
138	37, 15, 20, 137	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /_L 𝑀) = (if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀))))
139	46	lgsval4 15693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /_L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
140	37, 16, 25, 139	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /_L 𝑁) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁))))
141	138, 140	oveq12d 6018	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝐴 /_L 𝑀) · (𝐴 /_L 𝑁)) = ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀))) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
142		neg1z 9474	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
143	142	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → -1 ∈ ℤ)
144		1zzd 9469	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 1 ∈ ℤ)
145		zdclt 9520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 < 0)
146	15, 21, 145	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → DECID 𝑀 < 0)
147		zdclt 9520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 0)
148	37, 21, 147	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → DECID 𝐴 < 0)
149		dcan2 940	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑀 < 0 → (DECID 𝐴 < 0 → DECID (𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
150	146, 148, 149	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → DECID (𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
151	143, 144, 150	ifcldcd 3640	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℤ)
152	151	zcnd 9566	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℂ)
153	40	ffvelcdmda 5769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
154		zmulcl 9496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑣) ∈ ℤ)
155	154	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑣) ∈ ℤ)
156	35, 144, 153, 155	seqf 10681	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))):ℕ⟶ℤ)
157		nnabscl 11606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
158	15, 20, 157	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
159	156, 158	ffvelcdmd 5770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀)) ∈ ℤ)
160	159	zcnd 9566	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀)) ∈ ℂ)
161		zdclt 9520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 0)
162	16, 21, 161	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → DECID 𝑁 < 0)
163		dcan2 940	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑁 < 0 → (DECID 𝐴 < 0 → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
164	162, 148, 163	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → DECID (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
165	143, 144, 164	ifcldcd 3640	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℤ)
166	165	zcnd 9566	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) ∈ ℂ)
167	48	ffvelcdmda 5769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))‘𝑘) ∈ ℤ)
168	35, 144, 167, 155	seqf 10681	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))):ℕ⟶ℤ)
169		nnabscl 11606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
170	16, 25, 169	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
171	168, 170	ffvelcdmd 5770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℤ)
172	171	zcnd 9566	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)) ∈ ℂ)
173	152, 160, 166, 172	mul4d 8297	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀))) · (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))) = ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) · ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
174	141, 173	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝐴 /_L 𝑀) · (𝐴 /_L 𝑁)) = ((if((𝑀 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1)) · ((seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1)))‘(abs‘𝑀)) · (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /_L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1)))‘(abs‘𝑁)))))
175	134, 136, 174	3eqtr4d 2272	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 /_L (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴 /_L 𝑀) · (𝐴 /_L 𝑁)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 713 DECID wdc 839 ∧ w3a 1002 = wceq 1395 ∈ wcel 2200 ≠ wne 2400 ifcif 3602 class class class wbr 4082 ↦ cmpt 4144 ⟶wf 5313 ‘cfv 5317 (class class class)co 6000 0cc0 7995 1c1 7996 + caddc 7998 · cmul 8000 < clt 8177 -cneg 8314 # cap 8724 ℕcn 9106 ℕ₀cn0 9365 ℤcz 9442 ℤ_≥cuz 9718 seqcseq 10664 ↑cexp 10755 abscabs 11503 ℙcprime 12624 pCnt cpc 12802 /_L clgs 15670

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4198 ax-sep 4201 ax-nul 4209 ax-pow 4257 ax-pr 4292 ax-un 4523 ax-setind 4628 ax-iinf 4679 ax-cnex 8086 ax-resscn 8087 ax-1cn 8088 ax-1re 8089 ax-icn 8090 ax-addcl 8091 ax-addrcl 8092 ax-mulcl 8093 ax-mulrcl 8094 ax-addcom 8095 ax-mulcom 8096 ax-addass 8097 ax-mulass 8098 ax-distr 8099 ax-i2m1 8100 ax-0lt1 8101 ax-1rid 8102 ax-0id 8103 ax-rnegex 8104 ax-precex 8105 ax-cnre 8106 ax-pre-ltirr 8107 ax-pre-ltwlin 8108 ax-pre-lttrn 8109 ax-pre-apti 8110 ax-pre-ltadd 8111 ax-pre-mulgt0 8112 ax-pre-mulext 8113 ax-arch 8114 ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-xor 1418 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3888 df-int 3923 df-iun 3966 df-br 4083 df-opab 4145 df-mpt 4146 df-tr 4182 df-id 4383 df-po 4386 df-iso 4387 df-iord 4456 df-on 4458 df-ilim 4459 df-suc 4461 df-iom 4682 df-xp 4724 df-rel 4725 df-cnv 4726 df-co 4727 df-dm 4728 df-rn 4729 df-res 4730 df-ima 4731 df-iota 5277 df-fun 5319 df-fn 5320 df-f 5321 df-f1 5322 df-fo 5323 df-f1o 5324 df-fv 5325 df-isom 5326 df-riota 5953 df-ov 6003 df-oprab 6004 df-mpo 6005 df-1st 6284 df-2nd 6285 df-recs 6449 df-irdg 6514 df-frec 6535 df-1o 6560 df-2o 6561 df-oadd 6564 df-er 6678 df-en 6886 df-dom 6887 df-fin 6888 df-sup 7147 df-inf 7148 df-pnf 8179 df-mnf 8180 df-xr 8181 df-ltxr 8182 df-le 8183 df-sub 8315 df-neg 8316 df-reap 8718 df-ap 8725 df-div 8816 df-inn 9107 df-2 9165 df-3 9166 df-4 9167 df-5 9168 df-6 9169 df-7 9170 df-8 9171 df-n0 9366 df-z 9443 df-uz 9719 df-q 9811 df-rp 9846 df-fz 10201 df-fzo 10335 df-fl 10485 df-mod 10540 df-seqfrec 10665 df-exp 10756 df-ihash 10993 df-cj 11348 df-re 11349 df-im 11350 df-rsqrt 11504 df-abs 11505 df-clim 11785 df-proddc 12057 df-dvds 12294 df-gcd 12470 df-prm 12625 df-phi 12728 df-pc 12803 df-lgs 15671

This theorem is referenced by: lgssq2 15714 lgsdinn0 15721 lgsquad2lem1 15754

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