ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  muladd11r GIF version

Theorem muladd11r 8115
Description: A simple product of sums expansion. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
muladd11r ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + 1) ยท (๐ต + 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด + ๐ต)) + 1))

Proof of Theorem muladd11r
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 1cnd 7975 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
31, 2addcomd 8110 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + 1) = (1 + ๐ด))
4 simpr 110 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
54, 2addcomd 8110 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต + 1) = (1 + ๐ต))
63, 5oveq12d 5895 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + 1) ยท (๐ต + 1)) = ((1 + ๐ด) ยท (1 + ๐ต)))
7 muladd11 8092 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + ๐ด) ยท (1 + ๐ต)) = ((1 + ๐ด) + (๐ต + (๐ด ยท ๐ต))))
8 mulcl 7940 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
94, 8addcld 7979 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต + (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
102, 1, 9addassd 7982 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + ๐ด) + (๐ต + (๐ด ยท ๐ต))) = (1 + (๐ด + (๐ต + (๐ด ยท ๐ต)))))
111, 9addcld 7979 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + (๐ต + (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
122, 11addcomd 8110 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (๐ด + (๐ต + (๐ด ยท ๐ต)))) = ((๐ด + (๐ต + (๐ด ยท ๐ต))) + 1))
131, 4, 8addassd 7982 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต)) = (๐ด + (๐ต + (๐ด ยท ๐ต))))
14 addcl 7938 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1514, 8addcomd 8110 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต)) = ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด + ๐ต)))
1613, 15eqtr3d 2212 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + (๐ต + (๐ด ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด + ๐ต)))
1716oveq1d 5892 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + (๐ต + (๐ด ยท ๐ต))) + 1) = (((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด + ๐ต)) + 1))
1810, 12, 173eqtrd 2214 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + ๐ด) + (๐ต + (๐ด ยท ๐ต))) = (((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด + ๐ต)) + 1))
196, 7, 183eqtrd 2214 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + 1) ยท (๐ต + 1)) = (((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด + ๐ต)) + 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-1rid 7920  ax-cnre 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator