Theorem muladd11r 8175

Description: A simple product of sums expansion. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
muladd11r	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) · (𝐵 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) + 1))

Proof of Theorem muladd11r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 8035	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 8170	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
4		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4, 2	addcomd 8170	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + 1) = (1 + 𝐵))
6	3, 5	oveq12d 5936	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) · (𝐵 + 1)) = ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)))
7		muladd11 8152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))
8		mulcl 7999	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
9	4, 8	addcld 8039	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
10	2, 1, 9	addassd 8042	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))) = (1 + (𝐴 + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵)))))
11	1, 9	addcld 8039	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
12	2, 11	addcomd 8170	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 + (𝐴 + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵)))) = ((𝐴 + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))) + 1))
13	1, 4, 8	addassd 8042	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))
14		addcl 7997	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
15	14, 8	addcomd 8170	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
16	13, 15	eqtr3d 2228	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)))
17	16	oveq1d 5933	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))) + 1) = (((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) + 1))
18	10, 12, 17	3eqtrd 2230	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))) = (((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) + 1))
19	6, 7, 18	3eqtrd 2230	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) · (𝐵 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 + 𝐵)) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-1rid 7979  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921

This theorem is referenced by: (None)