Proof of Theorem remullem
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | replim 10810 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i ·
(ℑ‘𝐴)))) |
2 | | replim 10810 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i ·
(ℑ‘𝐵)))) |
3 | 1, 2 | oveqan12d 5869 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) ·
((ℜ‘𝐵) + (i
· (ℑ‘𝐵))))) |
4 | | recl 10804 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(ℜ‘𝐴) ∈
ℝ) |
5 | 4 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(ℜ‘𝐴) ∈
ℝ) |
6 | 5 | recnd 7935 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(ℜ‘𝐴) ∈
ℂ) |
7 | | ax-icn 7856 |
. . . . . . . 8
⊢ i ∈
ℂ |
8 | | imcl 10805 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(ℑ‘𝐴) ∈
ℝ) |
9 | 8 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(ℑ‘𝐴) ∈
ℝ) |
10 | 9 | recnd 7935 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(ℑ‘𝐴) ∈
ℂ) |
11 | | mulcl 7888 |
. . . . . . . 8
⊢ ((i
∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i ·
(ℑ‘𝐴)) ∈
ℂ) |
12 | 7, 10, 11 | sylancr 412 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i
· (ℑ‘𝐴))
∈ ℂ) |
13 | 6, 12 | addcld 7926 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((ℜ‘𝐴) + (i
· (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ) |
14 | | recl 10804 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐵 ∈ ℂ →
(ℜ‘𝐵) ∈
ℝ) |
15 | 14 | adantl 275 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(ℜ‘𝐵) ∈
ℝ) |
16 | 15 | recnd 7935 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(ℜ‘𝐵) ∈
ℂ) |
17 | | imcl 10805 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ∈ ℂ →
(ℑ‘𝐵) ∈
ℝ) |
18 | 17 | adantl 275 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(ℑ‘𝐵) ∈
ℝ) |
19 | 18 | recnd 7935 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(ℑ‘𝐵) ∈
ℂ) |
20 | | mulcl 7888 |
. . . . . . 7
⊢ ((i
∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i ·
(ℑ‘𝐵)) ∈
ℂ) |
21 | 7, 19, 20 | sylancr 412 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i
· (ℑ‘𝐵))
∈ ℂ) |
22 | 13, 16, 21 | adddid 7931 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(((ℜ‘𝐴) + (i
· (ℑ‘𝐴))) · ((ℜ‘𝐵) + (i ·
(ℑ‘𝐵)))) =
((((ℜ‘𝐴) + (i
· (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐵)) + (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (i ·
(ℑ‘𝐵))))) |
23 | 6, 12, 16 | adddird 7932 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(((ℜ‘𝐴) + (i
· (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)))) |
24 | 6, 12, 21 | adddird 7932 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(((ℜ‘𝐴) + (i
· (ℑ‘𝐴))) · (i ·
(ℑ‘𝐵))) =
(((ℜ‘𝐴) ·
(i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i ·
(ℑ‘𝐵))))) |
25 | 23, 24 | oveq12d 5868 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((((ℜ‘𝐴) + (i
· (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐵)) + (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (i ·
(ℑ‘𝐵)))) =
((((ℜ‘𝐴)
· (ℜ‘𝐵))
+ ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))) + (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i ·
(ℑ‘𝐴)) ·
(i · (ℑ‘𝐵)))))) |
26 | 5, 15 | remulcld 7937 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((ℜ‘𝐴) ·
(ℜ‘𝐵)) ∈
ℝ) |
27 | 26 | recnd 7935 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((ℜ‘𝐴) ·
(ℜ‘𝐵)) ∈
ℂ) |
28 | 12, 21 | mulcld 7927 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i
· (ℑ‘𝐴))
· (i · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ) |
29 | 12, 16 | mulcld 7927 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i
· (ℑ‘𝐴))
· (ℜ‘𝐵))
∈ ℂ) |
30 | 6, 21 | mulcld 7927 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((ℜ‘𝐴) ·
(i · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ) |
31 | 27, 28, 29, 30 | add42d 8076 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((((ℜ‘𝐴)
· (ℜ‘𝐵))
+ ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) + (((i ·
(ℑ‘𝐴)) ·
(ℜ‘𝐵)) +
((ℜ‘𝐴) ·
(i · (ℑ‘𝐵))))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))) + (((ℜ‘𝐴) · (i ·
(ℑ‘𝐵))) + ((i
· (ℑ‘𝐴))
· (i · (ℑ‘𝐵)))))) |
32 | 7 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈
ℂ) |
33 | 32, 10, 32, 19 | mul4d 8061 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i
· (ℑ‘𝐴))
· (i · (ℑ‘𝐵))) = ((i · i) ·
((ℑ‘𝐴) ·
(ℑ‘𝐵)))) |
34 | | ixi 8489 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (i
· i) = -1 |
35 | 34 | oveq1i 5860 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((i
· i) · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = (-1 · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) |
36 | 9, 18 | remulcld 7937 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((ℑ‘𝐴) ·
(ℑ‘𝐵)) ∈
ℝ) |
37 | 36 | recnd 7935 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((ℑ‘𝐴) ·
(ℑ‘𝐵)) ∈
ℂ) |
38 | 37 | mulm1d 8316 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1
· ((ℑ‘𝐴)
· (ℑ‘𝐵))) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) |
39 | 35, 38 | eqtrid 2215 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i
· i) · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) |
40 | 33, 39 | eqtrd 2203 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i
· (ℑ‘𝐴))
· (i · (ℑ‘𝐵))) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) |
41 | 40 | oveq2d 5866 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(((ℜ‘𝐴) ·
(ℜ‘𝐵)) + ((i
· (ℑ‘𝐴))
· (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))) |
42 | 27, 37 | negsubd 8223 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(((ℜ‘𝐴) ·
(ℜ‘𝐵)) +
-((ℑ‘𝐴)
· (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))) |
43 | 41, 42 | eqtrd 2203 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(((ℜ‘𝐴) ·
(ℜ‘𝐵)) + ((i
· (ℑ‘𝐴))
· (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))) |
44 | 9, 15 | remulcld 7937 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((ℑ‘𝐴) ·
(ℜ‘𝐵)) ∈
ℝ) |
45 | 44 | recnd 7935 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((ℑ‘𝐴) ·
(ℜ‘𝐵)) ∈
ℂ) |
46 | | mulcl 7888 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((i
∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ) → (i ·
((ℑ‘𝐴) ·
(ℜ‘𝐵))) ∈
ℂ) |
47 | 7, 45, 46 | sylancr 412 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i
· ((ℑ‘𝐴)
· (ℜ‘𝐵)))
∈ ℂ) |
48 | 5, 18 | remulcld 7937 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((ℜ‘𝐴) ·
(ℑ‘𝐵)) ∈
ℝ) |
49 | 48 | recnd 7935 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((ℜ‘𝐴) ·
(ℑ‘𝐵)) ∈
ℂ) |
50 | | mulcl 7888 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((i
∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ) → (i ·
((ℜ‘𝐴) ·
(ℑ‘𝐵))) ∈
ℂ) |
51 | 7, 49, 50 | sylancr 412 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i
· ((ℜ‘𝐴)
· (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ) |
52 | 47, 51 | addcomd 8057 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i
· ((ℑ‘𝐴)
· (ℜ‘𝐵)))
+ (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))) = ((i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i ·
((ℑ‘𝐴) ·
(ℜ‘𝐵))))) |
53 | 32, 10, 16 | mulassd 7930 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i
· (ℑ‘𝐴))
· (ℜ‘𝐵))
= (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))) |
54 | 6, 32, 19 | mul12d 8058 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((ℜ‘𝐴) ·
(i · (ℑ‘𝐵))) = (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))) |
55 | 53, 54 | oveq12d 5868 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((i
· (ℑ‘𝐴))
· (ℜ‘𝐵))
+ ((ℜ‘𝐴)
· (i · (ℑ‘𝐵)))) = ((i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) + (i ·
((ℜ‘𝐴) ·
(ℑ‘𝐵))))) |
56 | 32, 49, 45 | adddid 7931 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i
· (((ℜ‘𝐴)
· (ℑ‘𝐵))
+ ((ℑ‘𝐴)
· (ℜ‘𝐵)))) = ((i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i ·
((ℑ‘𝐴) ·
(ℜ‘𝐵))))) |
57 | 52, 55, 56 | 3eqtr4d 2213 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((i
· (ℑ‘𝐴))
· (ℜ‘𝐵))
+ ((ℜ‘𝐴)
· (i · (ℑ‘𝐵)))) = (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))) |
58 | 43, 57 | oveq12d 5868 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((((ℜ‘𝐴)
· (ℜ‘𝐵))
+ ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) + (((i ·
(ℑ‘𝐴)) ·
(ℜ‘𝐵)) +
((ℜ‘𝐴) ·
(i · (ℑ‘𝐵))))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) |
59 | 25, 31, 58 | 3eqtr2d 2209 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((((ℜ‘𝐴) + (i
· (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐵)) + (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (i ·
(ℑ‘𝐵)))) =
((((ℜ‘𝐴)
· (ℜ‘𝐵))
− ((ℑ‘𝐴)
· (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) |
60 | 3, 22, 59 | 3eqtrd 2207 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) |
61 | 60 | fveq2d 5498 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(ℜ‘(𝐴 ·
𝐵)) =
(ℜ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))))) |
62 | 26, 36 | resubcld 8287 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(((ℜ‘𝐴) ·
(ℜ‘𝐵)) −
((ℑ‘𝐴) ·
(ℑ‘𝐵))) ∈
ℝ) |
63 | 48, 44 | readdcld 7936 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(((ℜ‘𝐴) ·
(ℑ‘𝐵)) +
((ℑ‘𝐴) ·
(ℜ‘𝐵))) ∈
ℝ) |
64 | | crre 10808 |
. . . 4
⊢
(((((ℜ‘𝐴)
· (ℜ‘𝐵))
− ((ℑ‘𝐴)
· (ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ ∧
(((ℜ‘𝐴) ·
(ℑ‘𝐵)) +
((ℑ‘𝐴) ·
(ℜ‘𝐵))) ∈
ℝ) → (ℜ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))) |
65 | 62, 63, 64 | syl2anc 409 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(ℜ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))) |
66 | 61, 65 | eqtrd 2203 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(ℜ‘(𝐴 ·
𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))) |
67 | 60 | fveq2d 5498 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(ℑ‘(𝐴 ·
𝐵)) =
(ℑ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))))) |
68 | | crim 10809 |
. . . 4
⊢
(((((ℜ‘𝐴)
· (ℜ‘𝐵))
− ((ℑ‘𝐴)
· (ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ ∧
(((ℜ‘𝐴) ·
(ℑ‘𝐵)) +
((ℑ‘𝐴) ·
(ℜ‘𝐵))) ∈
ℝ) → (ℑ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))) |
69 | 62, 63, 68 | syl2anc 409 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(ℑ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))) |
70 | 67, 69 | eqtrd 2203 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(ℑ‘(𝐴 ·
𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))) |
71 | | mulcl 7888 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) |
72 | | remim 10811 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ →
(∗‘(𝐴 ·
𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵))))) |
73 | 71, 72 | syl 14 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(∗‘(𝐴 ·
𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵))))) |
74 | | remim 10811 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℂ →
(∗‘𝐴) =
((ℜ‘𝐴) −
(i · (ℑ‘𝐴)))) |
75 | | remim 10811 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ ℂ →
(∗‘𝐵) =
((ℜ‘𝐵) −
(i · (ℑ‘𝐵)))) |
76 | 74, 75 | oveqan12d 5869 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((∗‘𝐴)
· (∗‘𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) ·
((ℜ‘𝐵) −
(i · (ℑ‘𝐵))))) |
77 | 16, 21 | subcld 8217 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((ℜ‘𝐵) −
(i · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ) |
78 | 6, 12, 77 | subdird 8321 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(((ℜ‘𝐴) −
(i · (ℑ‘𝐴))) · ((ℜ‘𝐵) − (i ·
(ℑ‘𝐵)))) =
(((ℜ‘𝐴) ·
((ℜ‘𝐵) −
(i · (ℑ‘𝐵)))) − ((i ·
(ℑ‘𝐴)) ·
((ℜ‘𝐵) −
(i · (ℑ‘𝐵)))))) |
79 | 27, 30, 29, 28 | subadd4d 8265 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((((ℜ‘𝐴)
· (ℜ‘𝐵))
− ((ℜ‘𝐴)
· (i · (ℑ‘𝐵)))) − (((i ·
(ℑ‘𝐴)) ·
(ℜ‘𝐵)) −
((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i ·
(ℑ‘𝐴)) ·
(i · (ℑ‘𝐵)))) − (((ℜ‘𝐴) · (i ·
(ℑ‘𝐵))) + ((i
· (ℑ‘𝐴))
· (ℜ‘𝐵))))) |
80 | 6, 16, 21 | subdid 8320 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((ℜ‘𝐴) ·
((ℜ‘𝐵) −
(i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))))) |
81 | 12, 16, 21 | subdid 8320 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i
· (ℑ‘𝐴))
· ((ℜ‘𝐵)
− (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) − ((i ·
(ℑ‘𝐴)) ·
(i · (ℑ‘𝐵))))) |
82 | 80, 81 | oveq12d 5868 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(((ℜ‘𝐴) ·
((ℜ‘𝐵) −
(i · (ℑ‘𝐵)))) − ((i ·
(ℑ‘𝐴)) ·
((ℜ‘𝐵) −
(i · (ℑ‘𝐵))))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵)))) − (((i ·
(ℑ‘𝐴)) ·
(ℜ‘𝐵)) −
((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))))) |
83 | 65, 61, 43 | 3eqtr4d 2213 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(ℜ‘(𝐴 ·
𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i ·
(ℑ‘𝐴)) ·
(i · (ℑ‘𝐵))))) |
84 | 70 | oveq2d 5866 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i
· (ℑ‘(𝐴
· 𝐵))) = (i ·
(((ℜ‘𝐴) ·
(ℑ‘𝐵)) +
((ℑ‘𝐴) ·
(ℜ‘𝐵))))) |
85 | 54, 53 | oveq12d 5868 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(((ℜ‘𝐴) ·
(i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))) = ((i ·
((ℜ‘𝐴) ·
(ℑ‘𝐵))) + (i
· ((ℑ‘𝐴)
· (ℜ‘𝐵))))) |
86 | 56, 84, 85 | 3eqtr4d 2213 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i
· (ℑ‘(𝐴
· 𝐵))) =
(((ℜ‘𝐴) ·
(i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)))) |
87 | 83, 86 | oveq12d 5868 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((ℜ‘(𝐴 ·
𝐵)) − (i ·
(ℑ‘(𝐴 ·
𝐵)))) =
((((ℜ‘𝐴)
· (ℜ‘𝐵))
+ ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) −
(((ℜ‘𝐴) ·
(i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))))) |
88 | 79, 82, 87 | 3eqtr4d 2213 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(((ℜ‘𝐴) ·
((ℜ‘𝐵) −
(i · (ℑ‘𝐵)))) − ((i ·
(ℑ‘𝐴)) ·
((ℜ‘𝐵) −
(i · (ℑ‘𝐵))))) = ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵))))) |
89 | 76, 78, 88 | 3eqtrd 2207 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((∗‘𝐴)
· (∗‘𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵))))) |
90 | 73, 89 | eqtr4d 2206 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(∗‘(𝐴 ·
𝐵)) =
((∗‘𝐴)
· (∗‘𝐵))) |
91 | 66, 70, 90 | 3jca 1172 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((ℜ‘(𝐴 ·
𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∧ (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∧ (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵)))) |