Theorem remullem 10675

Description: Lemma for remul 10676, immul 10683, and cjmul 10689. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
remullem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∧ (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∧ (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵))))

Proof of Theorem remullem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 10663	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2		replim 10663	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
3	1, 2	oveqan12d 5801	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
4		recl 10657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
6	5	recnd 7818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
7		ax-icn 7739	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
8		imcl 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 7818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
11		mulcl 7771	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
12	7, 10, 11	sylancr 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
13	6, 12	addcld 7809	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) ∈ ℂ)
14		recl 10657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
15	14	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
16	15	recnd 7818	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
17		imcl 10658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
18	17	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
19	18	recnd 7818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
20		mulcl 7771	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
21	7, 19, 20	sylancr 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
22	13, 16, 21	adddid 7814	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))) = ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐵)) + (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (i · (ℑ‘𝐵)))))
23	6, 12, 16	adddird 7815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))))
24	6, 12, 21	adddird 7815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (i · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))))
25	23, 24	oveq12d 5800	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐵)) + (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))) + (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))))))
26	5, 15	remulcld 7820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
27	26	recnd 7818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
28	12, 21	mulcld 7810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ)
29	12, 16	mulcld 7810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
30	6, 21	mulcld 7810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ)
31	27, 28, 29, 30	add42d 7956	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) + (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))) + (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))))))
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
33	32, 10, 32, 19	mul4d 7941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))) = ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
34		ixi 8369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · i) = -1
35	34	oveq1i 5792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = (-1 · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
36	9, 18	remulcld 7820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
37	36	recnd 7818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
38	37	mulm1d 8196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1 · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
39	35, 38	syl5eq 2185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · i) · ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
40	33, 39	eqtrd 2173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
41	40	oveq2d 5798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
42	27, 37	negsubd 8103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
43	41, 42	eqtrd 2173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
44	9, 15	remulcld 7820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
45	44	recnd 7818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
46		mulcl 7771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℂ)
47	7, 45, 46	sylancr 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℂ)
48	5, 18	remulcld 7820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
49	48	recnd 7818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
50		mulcl 7771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ) → (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ)
51	7, 49, 50	sylancr 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ)
52	47, 51	addcomd 7937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) + (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))) = ((i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))
53	32, 10, 16	mulassd 7813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) = (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
54	6, 32, 19	mul12d 7938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) = (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
55	53, 54	oveq12d 5800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = ((i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) + (i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))))
56	32, 49, 45	adddid 7814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))) = ((i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))
58	43, 57	oveq12d 5800	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) + (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))))
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2179	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (ℜ‘𝐵)) + (((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) · (i · (ℑ‘𝐵)))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))))
60	3, 22, 59	3eqtrd 2177	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))))
61	60	fveq2d 5433	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (ℜ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))))
62	26, 36	resubcld 8167	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ)
63	48, 44	readdcld 7819	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℝ)
64		crre 10661	. . . 4 ⊢ (((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ ∧ (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℝ) → (ℜ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
65	62, 63, 64	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
66	61, 65	eqtrd 2173	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
67	60	fveq2d 5433	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (ℑ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))))
68		crim 10662	. . . 4 ⊢ (((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ ∧ (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∈ ℝ) → (ℑ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
69	62, 63, 68	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
70	67, 69	eqtrd 2173	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))))
71		mulcl 7771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
72		remim 10664	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)))))
73	71, 72	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)))))
74		remim 10664	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = ((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))))
75		remim 10664	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) = ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))))
76	74, 75	oveqan12d 5801	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))))
77	16, 21	subcld 8097	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))) ∈ ℂ)
78	6, 12, 77	subdird 8201	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) − (i · (ℑ‘𝐴))) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))))))
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 8145	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵)))) − (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) − (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)))))
80	6, 16, 21	subdid 8200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵)))))
81	12, 16, 21	subdid 8200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · (ℑ‘𝐴)) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) = (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))))
82	80, 81	oveq12d 5800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵)))) − (((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵))))))
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))))
84	70	oveq2d 5798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵))) = (i · (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))
85	54, 53	oveq12d 5800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))) = ((i · ((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) + (i · ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))))
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵))))
87	83, 86	oveq12d 5800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)))) = ((((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (i · (ℑ‘𝐵)))) − (((ℜ‘𝐴) · (i · (ℑ‘𝐵))) + ((i · (ℑ‘𝐴)) · (ℜ‘𝐵)))))
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2183	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵)))) − ((i · (ℑ‘𝐴)) · ((ℜ‘𝐵) − (i · (ℑ‘𝐵))))) = ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)))))
89	76, 78, 88	3eqtrd 2177	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵)) = ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) − (i · (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)))))
90	73, 89	eqtr4d 2176	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵)))
91	66, 70, 90	3jca 1162	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) ∧ (ℑ‘(𝐴 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵))) ∧ (∗‘(𝐴 · 𝐵)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  ℝcr 7643  1c1 7645  ici 7646   + caddc 7647   · cmul 7649   − cmin 7957  -cneg 7958  ∗ccj 10643  ℜcre 10644  ℑcim 10645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-2 8803  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648

This theorem is referenced by:  remul  10676  immul  10683  cjmul  10689